Combinatoire et algèbre

Source: Zumthie at de.wikipedia [Public domain], via Wikimedia Commons

Description du programme

On constate de plus en plus de liens entre l'étude des structures discrètes, d'une part, et les mathématiques classiques, algèbre, analyse, géométrie, théorie des nombres, d'autre part. Il s'agit donc d'exploiter les interactions toujours profondes entre ces domaines en vue d'un enrichissement mutuel de ces spécialités ou, encore, de retombées significatives dans des domaines d'applications variés comme l'informatique, la physique, la géométrie algorithmique, la bioinformatique, la recherche opérationnelle ou la cryptographie.

Les outils modernes de l'informatique font évidemment partie intégrante du programme. En particulier, les logiciels et algorithmes de calcul formel algébrique seront d'utilisation courante et feront même l'objet de développements substantiels au sein du programme.

Les recherches poursuivies par les membres du groupe incluent : la combinatoire énumérative et la combinatoire algébrique, l'algèbre commutative et non commutative, l'informatique théorique, la combinatoire des mots, la bioinformatique.

Les chercheurs du groupe sont affiliés à deux groupes de recherches :

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation mathématique et voulant se spécialiser en mathématiques discrètes et/ou dans certains aspects de l'informatique théorique. À part les règlements des départements, aucun cours de base n'est obligatoire mais les premiers cours de base en combinatoire, en théorie des graphes et en algorithmique sont fortement recommandés.

Cours 2019-20

Automne

Combinatoire 1

Ce cours sert comme introduction au niveau des cycles supérieurs à la combinatoire algébrique et énumérative, avec une emphase sur les méthodes efficaces. Les sujets de base comprendront les séries formelles ordinaires et exponentielles, les objets classiques de la combinatoire (partages, chemins dans un réseau, graphes, permutations), méthodes asymptotiques, suites vérifiant des récurrences linéaires, et l'occurrence et le comportement des séries rationnelles, algébriques, et D-finies. Dépendant des intérêts des étudiants, on pourrait aussi regarder les séries formelles à plusieurs variables, l'application des logiciels pour la combinatoire, démonstrations algorithmique de transcendence des constants, questions de calculabilité et complexité dans l'énumération, et les liens avec les langues formelles 

This course serves as a graduate introduction to enumerative and algebraic combinatorics, with a focus on effective methods. Our core topics include ordinary and exponential generating functions, classical combinatorics objects (partitions, lattice paths, graphs, permutations), asymptotic methods, sequences satisfying linear recurrence relations, and the occurrence and behaviour of rational, algebraic, and D-finite functions. Depending on student interest, more advanced topics could include multivariate generating functions, computer algebra tools for combinatorics,  algorithmic transcendence of constants vs generating functions, computability and complexity questions in enumeration, and connections to formal languages.

Prof. Hugh Thomas

MAT 7352

Institution: Université du Québec à Montréal

Algèbre

Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17<+>e<+> problème de Hilbert.

Prof. Christophe Reutenauer

MAT 7600

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de recherche en combinatoire algébrique

Ce cours vise à explorer les riches interactions entre certaines représentations polynomiales du groupe général linéaire, aussi munies d’une action du groupe symétrique, et la combinatoire de Catalan rectangulaire qui s’est grandement développée ces dernières années. Plus spécifiquement, il s’agit d’étudier la structure d'espaces de polynômes en plusieurs jeux de variables qui sont "fortement harmoniques” (pour le groupe symétrique). Cela ouvre la porte à plusieurs questions dans de nombreux domaines, allant de la combinatoire algébrique, à la théorie de la représentation, en passant par la théorie des fonctions symétriques, la géométrie algébrique, la théorie des noeuds, et la physique théorique. Tous les concepts préliminaires nécessaires seront élaborés au besoin; et plusieurs nouvelles conjectures seront discutées en cours de route. Il est à noter que des outils de calcul formel sont aussi disponibles pour la majorité des notions abordées. 

Prof. François Bergeron

MAT 995F

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Combinatorics

Prof. Sergey Norin

MATH 550

Institution: Université McGill

Introduction à la théorie des graphes

Le contenu du cours sera en partie précisé suivant les intérêts des étudiants. Les grandes lignes sont les suivantes:

  • Définitions et résultats de base.
  • Arbres, arborescences.
  • Connexité : théorèmes de Menger et les équivalences entre les résultats de Menger, Dilworth, König, Hall, Ford-Fulkerson (flots).
  • Homomorphismes, colorations.
  • Graphes de Cayley.
  • Théorie extrémale : théorèmes de Turan, de Ramsey.
  • Graphes infinis : théorème de Ramsey, compacité.

Prof. Gena Hahn

MAT 6490

Institution: Université de Montréal

Combinatoire

L'objectif du cours est de présenter les structures discrètes standards et les principales méthodes d'énumération. Les sujets suivants seront présentés : 

  • Structures discrètes : permutations, dérangements, nombres de Sterling, graphes, partages, diagrammes de Ferrers et tableaux de Young, mots de Dyck, nombres de Catalan, partitions d'ensembles et nombres de Bell, polyominos;
  • Méthodes d'énumération : principe de bijection et d'inclusion-exclusion, récurrences, séries génératrices ordinaires et exponentielles, théorie de Polya, action de groupe, lemme de Burnside, polynômes indicateurs de cycles.

Prof. Alain Goupil

MAP6017

Institution: Université du Québec à Trois-Rivières

Algèbre homologique

Modules; suites exactes; complexes de chaînes; homologie d'un complexe de chaînes; homologie simpliciale et singulière; cohomologie; formule des coefficients universels; foncteurs Tor et Ext; formule de Künneth; anneau de cohomologie singulière.

Modules; exact sequences; chain complexes; homology of a chain complex; simplicial and singular homology; cohomology; universal coefficient theorems; Tor and Ext functors; the Künneth formula; the ring structure on singular cohomology. 

Prof. Hugh Thomas

MAT7200

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de combinatoire: Combinatoire algébrique et géométrique de Coxeter

Ce cours est une introduction aux groupes de Coxeter.  Les groupes de Coxeter apparaissent par exemple comme les groupes discrets engendrés par des réflexions sur un espace euclidien, affine ou bien hyperbolique. Ils sont aussi naturellement associés aux algèbres de Lie ou de Kac-Moody via les systèmes de racines. 

Après avoir couvert les bases de la théorie des groupes de Coxeter, nous discuterons des problèmes ouverts qui sont apparus récemment en lien avec l’étude du problème des mots  dans les groupes de tresses d’Artin-Tits, auxquels les groupes de Coxeter sont naturellement associés.

Prof. Christophe Hohlweg

MAT995P

Institution: Université du Québec à Montréal