Source: Zumthie at de.wikipedia [Public domain], via Wikimedia Commons
On constate de plus en plus de liens entre l'étude des structures discrètes, d'une part, et les mathématiques classiques, algèbre, analyse, géométrie, théorie des nombres, d'autre part. Il s'agit donc d'exploiter les interactions toujours profondes entre ces domaines en vue d'un enrichissement mutuel de ces spécialités ou, encore, de retombées significatives dans des domaines d'applications variés comme l'informatique, la physique, la géométrie algorithmique, la bioinformatique, la recherche opérationnelle ou la cryptographie.
Les outils modernes de l'informatique font évidemment partie intégrante du programme. En particulier, les logiciels et algorithmes de calcul formel algébrique seront d'utilisation courante et feront même l'objet de développements substantiels au sein du programme.
Les recherches poursuivies par les membres du groupe incluent : la combinatoire énumérative et la combinatoire algébrique, l'algèbre commutative et non commutative, l'informatique théorique, la combinatoire des mots, la bioinformatique.
Les chercheurs du groupe sont affiliés à deux groupes de recherches :
Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation mathématique et voulant se spécialiser en mathématiques discrètes et/ou dans certains aspects de l'informatique théorique. À part les règlements des départements, aucun cours de base n'est obligatoire mais les premiers cours de base en combinatoire, en théorie des graphes et en algorithmique sont fortement recommandés.
Lie groups, examples and general theory. Structure theory of Lie algebras. Solvable and nilpotent algebras. Engel's and Lie's theorems. Classification of semisimple Lie algebras. Representation theory of semisimple Lie algebras and compact Lie groups.
Étude approfondie des séries génératrices en combinatoire. Caractérisation des séries rationnelles algébriques. D-finies. Séries associées aux espèces de structures: séries génératrices et séries indicatrices, théorèmes de substitution. Application au dénombrement de types de structures et de structures asymétriques. Théorème de dissymétrie pour les arbres. Décompositions moléculaire et atomique d'une espèce. Foncteurs analytiques. Liens avec les fonctions symétriques et les représentations linéaires du groupe symétrique.
Dans ce cours, nous explorerons divers problèmes ouverts du domaine. Ceux-ci pourront comprendre certains des thèmes abordés au cours de la conférence:
qui s’est tenu en mai 2022, à la fois « in vitro » et « in vivo » à l’Université de Minnesota. Le site de la conférence contient plusieurs ressources pertinentes (vidéos, transparents, proceedings, blog). Au besoin, les notions préliminaires nécessaires seront abordées dans le cours, et chaque étudiant sera appelé à discuter un problème. Nous y explorerons aussi des approches par le calcul formel permettant d’étudier les questions considérées. Il est possible que de nouveaux outils de cette nature soient développés par le groupe.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Algebraic groups. Flag varieties and the Borel-Weil theorem. Quantum groups and crystals.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
Le contenu du cours sera en partie précisé suivant les intérêts des étudiants. Les grandes lignes sont les suivantes:
- Groupes de permutations: orbite et stabilisateur d'un élément; théorème de Schreier; certaines applications: ordre d'un groupe de permutations; test d'appartenance; forme normale pour les éléments du groupe. Algorithme de Todd-Coxeter pour l'énumération des classes à gauches d'un sous-groupe.
- Bases de Gröbner: bases de Gröbner d'un idéal d'un anneau de polynômes; unicité de la base de Gröbner réduite; applications: égalités d'idéaux; calcul d'intersection d'idéaux; correspondance entre idéaux et ensembles algébrique.
- Permutations et Tableaux: l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth (RSK); ombres de Viennot; jeu de taquin de Schützenberger; évacuation.
- Algorithme X de Knuth: algorithme récursif de parcours en profondeur et à retour sur trace; applications: problème de couverture exacte; Sudoku.
- Algorithmes sur les graphes: arbres étiquetés (code de Prüfer, bijections de Foata et de Joyal, formule de Cayley); arbres couvrants de poids minimal (théorème de Kirchhoff, algorithmes de Prim et de Kruskal); problème du plus court chemin (algorithme de Dijkstra); problème des mariages stables (théorème de Hall, algorithme de Gale-Shapley).
Voici le plan de cours, qui pourra changer légèrement en fonction de l'auditoire:
0. Introduction
1. Rappels de topologie générale
2. Rappels d'analyse des fonctions continues
3. Rappels d'algèbre (corps, anneaux, modules, théorie des catégories)
4. Homologie simpliciale et homologie singulière. Théorème d'approximation des fonctions continues par des fonctions PL. Isomorphisme entre les deux homologies.
5. Exemple: classification des surfaces. Généralisation aux complexes différentiels abstraits.
6. Suites exactes, théorème de Mayer-Vietoris et de Kunneth. Exemples.
7. Cohomologie et dualité de Poincaré.
8. Théorème des coefficients universels.
9. Fibrations. Suite spectrale de Leray. Théorie des faisceaux et cohomologie de Cech.
10. Introduction à la K-théorie.
11. Groupe fondamental et revêtements (galoisiens). Homologie de Novikov.