Dynamique non-linéaire

Description du programme

La dynamique non-linéaire s'intéresse aux phénomènes évoluant dans le temps, représentés par les équations différentielles (ordinaires, aux dérivées partielles et fonctionnelles) et les équations aux différences. Les questions étudiées sont: la description géométrique des solutions individuellement et dans leur ensemble, leur comportement asymptotique, les familles de systèmes dynamiques dépendant de paramètres et leurs bifurcations, la contrôlabilité des systèmes, la sensibilité aux perturbations, les conditions d'optimalité.

Le programme a comme objectif de développer en concomitance différents aspects de la dynamique non-linéaire pour favoriser les échanges entre tous les chercheurs intéressés par le sujet et pour offrir aux étudiants la formation la plus complète possible. Ces aspects sont:

  • systèmes dynamiques
  • équations différentielles
  • optimisation
  • théorie ergodique
  • modélisation.

Dans le cadre de ce programme, on traite de techniques variées, incluant les méthodes topologiques pour démontrer l'existence des solutions; les méthodes algébro-géométriques (la théorie des champs de vecteurs polynomiaux connaissant actuellement beaucoup d'activité); les méthodes variationnelles; la théorie du contrôle, comprenant de nouvelles méthodes théoriques (dont l'analyse non lisse) et numériques; la théorie des fractales avec des applications aux surfaces rugueuses, aux surfaces poreuses, aux différents types d'agrégation, ainsi qu'aux phénomènes de percolation; la théorie ergodique et les chaînes de Markov. Les phénomènes biologiques sont régulièrement modélisés avec références à la physiologie, à l'épidémiologie, à la dynamique des populations et à la génétique.

Membres du programme

Formation

On s'attend à ce que les étudiants aient une bonne formation de base en analyse, équations différentielles, et, le cas échéant, en théorie des probabilités, avant de suivre des cours plus spécialisés offerts dans le cadre du programme.

Cours 2018-19

Automne

Topics in Applied Mathematics: Delay Differential Equations

Many physical processes are modelled by differential equations which involve delays. This course will provide an introduction to delay differential equations (DDEs) concentrating on the key tools needed to understand the behaviour of these equations, and also some of numerical techniques used to approximate solutions. Throughout we will emphasise the similarities and differences between DDEs and ordinary differential equations (ODEs).

Topics covered will include: DDEs as infinite dimensional dynamical systems, breaking points and smoothing of DDE solutions, continuous Runge-Kutta methods for ODEs and DDEs, linear stability of steady states, bifurcation theory. A selection of more advanced topics will also be covered. The choice of topics will depend on time and the preferences of the participants, but may include state-dependent delays, distributed delays, numerical continuation and bifurcation techniques.

Prof. Tony Humphries

MATH 597

Institution: Université McGill

Équations différentielles non linéaires

Ce cours est une introduction au traitement des équations différentielles non linéaires et plus généralement, à la théorie des systèmes dynamiques. Il s’agit d’un cours de cycle supérieur. L’objectif est d’initier l’étudiant à la théorie des systèmes dynamiques et à ses applications. En un premier temps, des techniques classiques d’analyse de dynamique seront présentées : flots continus et discrets, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations et formes normales. En un deuxième temps, une introduction à la théorie ergodique et un survol d’applications modernes sera présentée : dynamique chaotique, attracteurs étranges, entropie dynamique, systèmes à haute dimension (ex. réseaux), dynamique entrainée et transformation d’information.
Une attention particulière sera accordée au traitement de systèmes dynamiques performant des computations.

À la fin du cours, l’étudiant sera en mesure d’appliquer des techniques d’analyse de systèmes dynamiques à des problèmes concrets, ainsi que de naviguer la littérature moderne de systèmes dynamiques. Plusieurs exemples et applications faisant usage de simulations numériques seront utilisés. Pour suivre ce cours, l’étudiant doit maîtriser, à un niveau de premier cycle, des notions de calcul, d’équations différentielles linéaires, d’algèbre linéaire et de probabilité.

Horaire des cours :

Mardi : 10h30 à 12h00, 5183 Pav. Andre-Aisenstadt
Jeudi : 10h30 à 12h00, 5183 Pav. Andre-Aisenstadt

Prof. Guillaume Lajoie

MAT 6115

Institution: Université de Montréal