Algèbre et théorie des nombres

Description du programme

L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.

Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.

Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.

Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.

Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.

Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.

Cours 2021-22

Automne

Modular Forms

This course will be an introduction to the theory of modular forms over the complex number. We shall cover the following topics: the modular group and the upper half-plane, Eisenstein series, Hecke operators, L-functions, modular curves, geometric interpretation of modular forms. If time allows it, further topics (Galois representations or Eichler--Shimura relations) will be considered. Knowledge of complex analysis, Riemann surfaces, and sheaves is useful but not necessary. Further reading on p-adic or Drinfeld modular forms will be available for motivated students.

Prof. Giovanni Rosso

MAST 699C/ MAST 833C

Institution: Concordia University

Algebraic Number Theory

This is a first course in the study of algebraic number fields. In the first part of the course, we will concentrate on proving the two main basic results in the subject: the ideal class group is finite and the unit group is finitely generated. Other topics will include: the distribution of ideals, the Dedekind zeta function and the class number formula.

Prof. Chantal David

699A / MAST 833A

Institution: Concordia University

Algèbre: thème choisi - Formes modulaires et courbes elliptiques

Le but de ce cours est d'étudier la théorie de Hida et la théorie d'Iwasawa des formes modulaires. Nous passerons d'abord en revue les propriétés arithmétiques de base des formes modulaires et des courbes elliptiques. Nous étudierons les fonctions L, les opérateurs de Hecke et les représentations galoisiennes associées à ces objets. Nous étudierons la théorie de la déformation des formes modulaires, les algèbres de Hecke et la théorie de Hida, ainsi que la conjecture principale des formes modulaires. Nous explorons les divers éléments et les techniques utilisés dans les démonstrations pour les différentes versions des conjectures principales d'Iwasawa développées dans les dernières années.

Lien Zoom

Prof. Antonio Lei

MAT 7395

Institution: Université Laval

Algèbre commutative et théorie de Galois

Théorie de Galois : théorie de base sur les extensions de corps, groupe de Galois d'un polynôme (groupe de permutations), correspondance de Galois, corps finis. 

Algèbre commutative : idéaux premiers, primaires; anneaux noethériens, de Dedekind; radicaux; anneaux simples, semi-simples, premiers, semi-premiers. Modules libres, projectifs, injectifs et indécomposables. Suites exactes. Foncteurs Hom et produit tensoriel.

Prof. Hugo Chapdelaine

MAT 7205

Institution: Université Laval

Théorie de la représentation des groupes finis

Représentations et module d'un groupe G, représentations équivalentes, sous-module. Représentations indécomposable, réductible, irréductible. Théorème de Maschke. Morphisme, lemme de Schur.

Algèbre de groupe, fonctions sur cette algèbre, fonction de classe. Caractères, relations d'orthogonalité, tables de caractères. Représentation régulière. Analyse de Fourier sur les groupes finis, identité de Parseval, théorème de Wedderburn.

Nombres algébriques, théorème de la dimension, théorème de Burnside. Action de groupe, lemme de Burnside, paires de Gelfand.

Représentations induites, théorème de réciprocité de Frobenius, critère d'irréductibilité de Mackey.

Marche aléatoire sur les groupes finis. Modèles de Gilbert–Shannon–Reeds, théorèmes de Diaconis.

Prof. Yvan Saint-Aubin

MAT 6621

Institution: Université de Montréal

Formes modulaires et groupes orthogonaux

This course will give an introduction to modular forms with emphasis on its connections with quadratic forms. Topics may include representations of integers by quadratic forms. theta functions, the Weil representation and the theta correspondence, as well as Hilbert and Siegel modular forms as forms on orthogonal groups.

Prof. Henri Darmon

MATH 596

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Compact Lie groups and their representations

Prof. Michael Lipnowski

MATH 599

Institution: Université McGill

Hiver

Rings and modules

Introduction to the theory of rings and modules: rings, ideals, quotients, ring of fractions, euclidean domains, principal ideals domain, unique factorisation domains, polynomial rings; modules and vector spaces.

Prof. Giovanni Rosso

MAST 699D/ MAST 833D

Institution: Concordia University

Algebraic Geometry: Schemes

The main reference is chapter 2 of Hartshorne's book: Algebraic Geometry. We will study the category of sheaves of abelian groups and rings on a topological space. Then, we will attach to every commutative ring such a sheaf of rings and the pair consisting of the commutative ring and its sheaf of rings will be called an affine scheme. A scheme is a ringed space which is locally an affine scheme. Then we will study the main properties of schemes: open and closed immersions, fiber product of schemes, separated and proper schemes. An important part of the course will be to solve the many exercises at the end of each section in Hartshorne's book.

Prof. Adrian Iovita

699F/ MAST 833F

Institution: Concordia University

Théorie des modules et représentations des groupes finis

Anneaux et modules: k-algèbre et anneaux de division, modules à gauche, à droite et bimodules, R-modules simples, semi-simples, cycliques et indécomposables, Théorème de structure pour les anneaux semi-simples et théorème du double centralisateur.

Théorie des représentations:  Représentations linéaires, théorème de structure pour les algèbres de groupes C[G], idempotents, relations d'orthogonalités, caractères et fonctions centrales, théorème de la dimension et théorème pq de Burnside. 

 

Prof. Hugo Chapdelaine

MAT 7305

Institution: Université Laval

Advanced Topics in Algebraic Geometry

Background: Background in algebraic geometry and schemes is assumed (say at the level of a first course in each), as well as algebraic number theory. A highly motivated student may be able to acquire this background on their own in preparation for the course. Please contact the instructor if you are not sure you have sufficient background.

Syllabus: Topics in the theory of Shimura varieties. The exact syllabus depends on the audience. Some topics I am considering are:
(1) A tour of Shimura varieties of low dimension - modular curves, Hilbert-Blumenthal surfaces, Picard modular surfaces, quaternionic modular surfaces, Siegel modular threefolds.
(2) Toric varieties and toroidal compactifications of Shimura varieties of low dimension.
(3) Group schemes, Dieudonné modules and stratification of moduli spaces of abelian varieties.
(4) Dimension formula for modular forms.
(5) Deformation theory of abelian varieties and local models.

Prof. Eyal Goren

MATH 722

Institution: Université McGill

Advanced Topics in Number Theory: Automorphic representations

Automorphic representations generalize the theory of classical modular forms and their Hecke operators, and have become both a central object of study and an indispensable tool in number theory. This course will be an introduction to automorphic representations. We will emphasize examples, and some structural theorems will be taken as black boxes. Some familiarity with algebraic number theory, modular forms, and Lie algebras will be assumed.

Prof. Patrick Allen

MATH 726

Institution: Université McGill

Courbes elliptiques et formes modulaires

Nous étudierons les points entiers et rationnels sur les courbes linéaires, quadratiques et cubiques, pour aboutir à la preuve du théorème de Mordell, qui décrit une structure surprenante parmi les points rationnels sur les courbes elliptiques.

Prof. Andrew Granville

MAT 6654

Institution: Université de Montréal

Algèbre commutative et géométrie algébrique

Anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d'un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière: clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications.

Prof. Emily Cliff

MAT 729

Institution: Université de Sherbrooke

Algèbre homologique

Modules projectifs, injectifs, et plats; suites exactes; complexes de chaînes; homologie d'un complexe de chaînes; foncteurs dérivés; foncteurs Tor et Ext; formule des coefficients universels; formule de Künneth. D'autres sujets seront choisis de l'algèbre commutative, l'algèbre non-commutative, et la topologie algébrique.

Prof. Hugh Thomas

MAT7200

Institution: Université du Québec à Montréal