Algèbre et théorie des nombres

Description du programme

L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.

Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.

Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.

Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.

Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.

Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.

Cours 2019-20

Automne

Modular Forms

This course will be an introduction to the theory of modular forms over the complex number. We shall cover the following topics: the modular group and the upper half-plane, Eisenstein series, Hecke operators, L-functions, modular curves, geometric interpretation of modular forms. 

If time allows it, further topics (Galois representations or Eichler--Shimura relations) will be considered.

Knowledge of complex analysis, Riemann surfaces, and sheaves is useful but not necessary.

Prof. Giovanni Rosso

MAST 833D / 699D

Institution: Concordia University

Sheaf Cohomology

This is a second course in Algebraic Geometry and it will follow chapter III of R. Hartshorne's book: Algebraic Geometry.

We will present the general theory of derived functors with applications to the sheaf cohomology of schemes. As main application we will present the Riemann-Roch theorem for smooth proper algebraic curves.

Prof. Adrian Iovita

MAST 699/2 A / MAST 833

Institution: Concordia University

Théorie de Lie

Groupes de Lie, espaces tangents et champs de vecteurs lisses, algèbres de Lie, application exponentielle, représentations adjointes et coadjointes, algèbres résolubles et nilpotentes, décomposition en espaces de racines, groupes de Weyl, matrices de Cartan, esquisse de la classification des algèbres de Lie semisimples complexes, présentation de Serre, théorème de Weyl, décomposition en espaces de poids, algèbres enveloppantes, modules de Verma, et un choix selon les intérêts et la formation des étudiants: Catégorie O, algèbres de Lie de dimension infinie, théorie géométrique des représentations, formules de caractère Weyl-Kac et propriétés modulaires.

Prof. Michael Lau

MAT 7355

Institution: Université Laval

Théorie des modules

Espaces vectoriels, R-modules, modules quotients, homomorphismes. Suites exactes, complexes de modules et exemples de foncteurs : produit tensoriel, Hom. Théorie des représentations des groupes finis. Introduction au langage des catégories. Ce cours ne peut être choisi par l'étudiant qui a suivi le cours de premier cycle MAT-4300.

Prof. Antonio Lei

MAT 7305

Institution: Université Laval

Théorie algébrique des nombres

Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.

Prof. Matilde Lalin

MAT 6617

Institution: Université de Montréal

Introduction to Elliptic Curves 1

We will study the integer and rational points on linear, quadratic and cubic curves, culminating in the proof of Mordell's Theorem, which describes a surprising structure amongst the rational points on elliptic curves.

Prof. Andrew Granville

MAT6630

Institution: Université de Montréal

Hiver

Topics in Number Theory / Topics in Algebra: Analytic Number Theory and Distribution of Prime Numbers

This course is an introduction to the subject of analytic number theory. Our main goal will be the proof of the prime number theorem, proving an asymptotic for the number of primes up to x with an explicit error term, and explain the links with the Riemann Hypothesis and zero free regions of the Riemann Zeta function. This will include generalization to counting primes in arithmetic progressions, and the study of Dirichlet L-functions.

Prof. Chantal David

MAST 833/4, E / 699/4, E

Institution: Concordia University

Algèbre commutative et théorie de Galois

Théorie de Galois : théorème fondamental; fermeture, normalité, groupe de Galois d'un polynôme; corps finis. Algèbre commutative : idéaux premiers, primaires; anneaux noethériens, de Dedekind; radicaux; anneaux simples, semi-simples, premiers, semi-premiers. Modules libres, projectifs, injectifs. Suites exactes. Foncteurs Hom et produit tensoriel.

Prof. Michael Lau

MAT 7205

Institution: Université Laval

Topics in Algebra and Number Theory: topic TBA

Prof. Michael Pichot

MATH 596

Institution: Université McGill