Physique mathématique

Description du programme

Les principaux domaines de recherches du groupe sont:

  • systèmes intégrables classiques et quantiques;
  • méthodes statistiques complètement résolubles;
  • méthodes de transformation spectrale directes et inverses;
  • applications aux systèmes nonlinéaires cohérents en mécanique des fluides, des solides, en optique et plasmas;
  • la théorie spectrale des matrices aléatoires et des opérateurs aléatoires;
  • processus aléatoires intégrables, partitions aléatoires, croissance aléatoire;
  • croissance laplacienne et gaz coulombien logarithmique;
  • méthodes asymptotiques en analyse spectrale;
  • problèmes de fondement en mécanique classique et en mécanique statistique quantique;
  • solutions aux équations nonlinéaires classiques des champs (théorie de jauge, gravité);
  • l'analyse des symétries d'équations aux dérivées partielles;
  • les quasi-cristaux;
  • la théorie des champs conformes;
  • la théorie de la représentation des groupes de Lie et des groupes quantiques;
  • phénomènes de percolation;
  • problèmes de fondement en quantification (quantification stochastique et géométrique; états cohérents);
  • structures mathématiques des théories des champs classiques et quantiques (théorie de jauge; gravité quantique).

La plupart des membres du groupe sont également membres du Laboratoire de physique mathématique du CRM.

Membres du programme

Formation

Le programme accueille des étudiants ayant de bonnes connaissances en physique et en mathématiques. Un diplôme de second cycle dans l'une de ces disciplines ainsi qu'une solide formation dans l'autre sont essentiels. L'étudiant intéressé intégrer ce programme doit être familier avec les sujets suivants:

Physique: mécanique classique; mécanique statistique; électrodynamique classique; mécanique quantique; relativité.
Mathématiques: analyse réelle, analyse fonctionnelle; analyse complexe; équations différentielles; théorie des groupes et algèbre; théorie de la mesure.

Outre les cours explicitement offerts cette année, le cadre général des cours ci-dessus est recommandé aux étudiants faisant leurs études dans ce programme. Les besoins et la préparation précédente de chaque étudiant(e) détermineront quels des cours devront être suivis. Le choix et l'horaire seront décidés en consultation avec le directeur de recherche. Quoique les cours listés pourront être disponibles en un ou plusieurs départements participants, les titres et numéros de sigles sont donnés afin de faciliter les correspondances. Dans la liste de cours qui suit, un astérisque (*) signifie un cours (niveau maîtrise) qui est obligatoire pour tous les étudiants dans le programme, et (*m) signifie un cours qui est obligatoire pour les étudiants qui n'ont pas suivi un cours équivalent au niveau du baccalauréat. La notation suivante est utilisée pour indiquer le niveau et la fréquence des cours offerts:

  • A= cours offert au moins une fois par année à une des universités participantes
  • B= cours offert tous les deux ans à une des universités participantes
  • C= cours offert selon la demande à une des universités participantes
  • b= cours de base (niveau maîtrise)
  • i= cours intermédiaire (maîtrise ou doctorat)
  • s= cours spécialisé (maîtrise ou doctorat)

(*) 1. Méthodes mathématiques en physique. (A, b)

  • McGill: Phys. 198-612 - Advanced Mathematical Physics I
  • McGill: Phys. 198-613 - Advanced Mathematical Physics II
  • McGill: Math 189-585 - Integral Equations and Transforms
  • McGill: Math 189-586 - Applied Partial Differential Equations
  • Univ. de Montréal: Mat 6435 - Equations de la physique

(*m) 2. Mécanique quantique mathématique (A, b)

  • Concordia: Math 684/854 - Quantum mechanics / Quantization techniques

(*m) 3. Mécanique analytique (B,b)

  • McGill: Math 189-561 - Analytic Mechanics

4. Théorie quantique des champs (A, i)

  • McGill: Phys. 198-673 Theoretical High Energy Physics
  • Univ. de Montréal: Phys. 6812 - Théorie des champs I
  • Univ. de Montréal: Phys. 6822 - Théorie des champs II

5. Mécanique statistique (A, i)

  • Concordia: Phys 661 - Nonequilibrium statistical mechanics
  • McGill: Phys 198-559 - Statistical mechanics

6. Rélativité générale (B, b)

7. Sujets spéciaux en physique mathématique (C, s)

  • Concordia MAST 856A- Selected Topics in Mathematical Physics

8. Algèbres de groupes de Lie (A, b)

  • Concordia: Math 694 - Lie groups
  • Univ. de Montréal: Math 6681Q - Algèbre: sujets spéciaux
  • Univ. de Montréal MAT 6633 - Théorie des groupes de Lie
  • UQAM: Mat 7410 - Groupes et algèbres de Lie

9. Variétés différentiables (A, b)

  • Concordia: Math 656 - Differential geometry
  • McGill: Math 189-576 - Geometry and topology I
  • McGill: Math 189-577 - Geometry and topology II
  • Univ. de Montréal: Math 6323 - Variétés différentiables
  • UQAM: Mat 8131 - Géométrie différentielle

10. Analyse fonctionnelle (A, b)

  • Concordia: Math 662 - Functional analysis I
  • McGill: Math 189-635 - Functional analysis
  • Univ. de Montréal: Math 6112- Analyse fonctionelle I

11. Equations différentielles (A, i)

  • Concordia: Math 666 - Differential equations
  • McGill: Math 189-575 - Partial differential equations
  • Univ. de Montréal: Math 6180 - Equations différentielles

Cours 2019-20

Automne

Topics in Algebra: Lie Algebras and Lie Groups

The course aims at introducing the notion of Lie group  and Lie algebra, with focus on concrete matrix representations. We will start with a minimalistic review of necessary notions of differential geometry  and move progressively into the theory of the classification of semisimple Lie algebras (and groups). We will also discuss some representation theory. 

After the introduction, the main topics  we aim at covering are: Connection between Lie groups and Lie Algebras (Baker-Cambpell-Hausdorff); general theory of Lie algebras; nilpotent, solvable and semisimple algebras; Classical simple Lie  groups and  algebras; classification (Dynkin diagrams); representation theory (Weyl theorem, weight spaces, irreducible reps, characters); integration over groups and Haar measure.

 We will keep the prerequisites to a minimum. 

Prof. Marco Bertola

MAST 699/2, B (MAST 840)

Institution: Concordia University

Topics in Analysis: Entropic Information Theory

The course concerns modern entropic information theory centred around coding algorithms. It will follow the book “The Ergodic Theory of Discrete Sample Paths” by Paul C. Shields AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol 13, 1996, with digressions concerning more recent developments. The course will continue with a research seminar in the Winter 2021. Various research opportunities (post-doctoral, PhD, masters, and undergraduate level) related to the material of the course and the seminar will be available starting Summer 2021. Besides the students in mathematics and statistics, this course might be of interest to mathematically inclined students in electrical engineering and computer science. Staring with the seminal work of Shannon, most of the central topics of the course originated in the field of electrical engineering/information transmission.

Prof. Vojkan Jaksic

McGill MATH 595 / 740

Institution: Université McGill

Hiver

Surfaces de Riemann

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.

Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.

Prof. Vasilisa Shramchenko

MAT 737

Institution: Université de Sherbrooke

Équations aux dérivées partielles (UQTR)

Ce cours s’adresse aux étudiants à la maîtrise et au doctorat. Il contient les conceptes de base des développements de la théorie de la résolution des systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP). Le contenu du cours est le suivant.
Équation aux dérivées partielles du premier ordre résolue par la méthode de Monge, Probème de Cauchy, Solution générée par enveloppes, Probème initial mal posé, Bifurcation, Intégrale compète et crochet de Jacobi, Équation de type Hamilton-Jacobi, Équation aux dérivées partielles du deuxème ordre, Méthodes de construction de solutions classiques fondamentales des EDP, Preuves des théoèmes d’existence et d’unicité, Preuve de la dépendance continue des solutions classiques par rapport aux conditions initiales, Preuve de l’exactitude et de la resolvabilité du probème de Cauchy, Méthodes analytique de construction de solutions des sysèmes d’EDP en plusieures dimensions, Conditions pour la formation de discontinuités dans les solutions des sysèmes quasilinéaires d’EDP, Applications à la mécanique continue.

Prof. Michel Grundland

MAP-6019-00

Institution: Université du Québec à Trois-Rivières