Physique mathématique

Description du programme

Les principaux domaines de recherches du groupe sont:

  • systèmes intégrables classiques et quantiques;
  • méthodes statistiques complètement résolubles;
  • méthodes de transformation spectrale directes et inverses;
  • applications aux systèmes nonlinéaires cohérents en mécanique des fluides, des solides, en optique et plasmas;
  • la théorie spectrale des matrices aléatoires et des opérateurs aléatoires;
  • processus aléatoires intégrables, partitions aléatoires, croissance aléatoire;
  • croissance laplacienne et gaz coulombien logarithmique;
  • méthodes asymptotiques en analyse spectrale;
  • problèmes de fondement en mécanique classique et en mécanique statistique quantique;
  • solutions aux équations nonlinéaires classiques des champs (théorie de jauge, gravité);
  • l'analyse des symétries d'équations aux dérivées partielles;
  • les quasi-cristaux;
  • la théorie des champs conformes;
  • la théorie de la représentation des groupes de Lie et des groupes quantiques;
  • phénomènes de percolation;
  • problèmes de fondement en quantification (quantification stochastique et géométrique; états cohérents);
  • structures mathématiques des théories des champs classiques et quantiques (théorie de jauge; gravité quantique).

La plupart des membres du groupe sont également membres du Laboratoire de physique mathématique du CRM.

Membres du programme

Formation

Le programme accueille des étudiants ayant de bonnes connaissances en physique et en mathématiques. Un diplôme de second cycle dans l'une de ces disciplines ainsi qu'une solide formation dans l'autre sont essentiels. L'étudiant intéressé intégrer ce programme doit être familier avec les sujets suivants:

Physique: mécanique classique; mécanique statistique; électrodynamique classique; mécanique quantique; relativité.
Mathématiques: analyse réelle, analyse fonctionnelle; analyse complexe; équations différentielles; théorie des groupes et algèbre; théorie de la mesure.

Outre les cours explicitement offerts cette année, le cadre général des cours ci-dessus est recommandé aux étudiants faisant leurs études dans ce programme. Les besoins et la préparation précédente de chaque étudiant(e) détermineront quels des cours devront être suivis. Le choix et l'horaire seront décidés en consultation avec le directeur de recherche. Quoique les cours listés pourront être disponibles en un ou plusieurs départements participants, les titres et numéros de sigles sont donnés afin de faciliter les correspondances. Dans la liste de cours qui suit, un astérisque (*) signifie un cours (niveau maîtrise) qui est obligatoire pour tous les étudiants dans le programme, et (*m) signifie un cours qui est obligatoire pour les étudiants qui n'ont pas suivi un cours équivalent au niveau du baccalauréat. La notation suivante est utilisée pour indiquer le niveau et la fréquence des cours offerts:

  • A= cours offert au moins une fois par année à une des universités participantes
  • B= cours offert tous les deux ans à une des universités participantes
  • C= cours offert selon la demande à une des universités participantes
  • b= cours de base (niveau maîtrise)
  • i= cours intermédiaire (maîtrise ou doctorat)
  • s= cours spécialisé (maîtrise ou doctorat)

(*) 1. Méthodes mathématiques en physique. (A, b)

  • McGill: Phys. 198-612 - Advanced Mathematical Physics I
  • McGill: Phys. 198-613 - Advanced Mathematical Physics II
  • McGill: Math 189-585 - Integral Equations and Transforms
  • McGill: Math 189-586 - Applied Partial Differential Equations
  • Univ. de Montréal: Mat 6435 - Equations de la physique

(*m) 2. Mécanique quantique mathématique (A, b)

  • Concordia: Math 684/854 - Quantum mechanics / Quantization techniques

(*m) 3. Mécanique analytique (B,b)

  • McGill: Math 189-561 - Analytic Mechanics

4. Théorie quantique des champs (A, i)

  • McGill: Phys. 198-673 Theoretical High Energy Physics
  • Univ. de Montréal: Phys. 6812 - Théorie des champs I
  • Univ. de Montréal: Phys. 6822 - Théorie des champs II

5. Mécanique statistique (A, i)

  • Concordia: Phys 661 - Nonequilibrium statistical mechanics
  • McGill: Phys 198-559 - Statistical mechanics

6. Rélativité générale (B, b)

7. Sujets spéciaux en physique mathématique (C, s)

  • Concordia MAST 856A- Selected Topics in Mathematical Physics

8. Algèbres de groupes de Lie (A, b)

  • Concordia: Math 694 - Lie groups
  • Univ. de Montréal: Math 6681Q - Algèbre: sujets spéciaux
  • Univ. de Montréal MAT 6633 - Théorie des groupes de Lie
  • UQAM: Mat 7410 - Groupes et algèbres de Lie

9. Variétés différentiables (A, b)

  • Concordia: Math 656 - Differential geometry
  • McGill: Math 189-576 - Geometry and topology I
  • McGill: Math 189-577 - Geometry and topology II
  • Univ. de Montréal: Math 6323 - Variétés différentiables
  • UQAM: Mat 8131 - Géométrie différentielle

10. Analyse fonctionnelle (A, b)

  • Concordia: Math 662 - Functional analysis I
  • McGill: Math 189-635 - Functional analysis
  • Univ. de Montréal: Math 6112- Analyse fonctionelle I

11. Equations différentielles (A, i)

  • Concordia: Math 666 - Differential equations
  • McGill: Math 189-575 - Partial differential equations
  • Univ. de Montréal: Math 6180 - Equations différentielles

Cours 2018-19

Automne

Généralisations de l’analyse complexe et leurs applications

Les thèmes principaux qui seront étudiés dans ce cours sont les quaternions, les algèbres de Clifford ainsi que la théorie des fonctions analytiques généralisées (fonctions pseudo-analytiques). Ces structures seront également utilisées pour considérer certaines applications, principalement en physique quantique. Pour toutes ces structures, nous allons porter une attention particulière aux généralisations des fonctions analytiques complexes. Dans le cas des quaternions et des algèbres de Clifford, les propriétés algébriques ainsi que géométriques seront considérées. La théorie des fonctions pseudo-analytiques généralise et préserve plusieurs caractéristiques de la théorie des fonctions analytiques complexes. Le système de Cauchy-Riemann est alors substitué par un système plus général, appelé équations de Vekua, qui apparaît dans plusieurs problèmes de la physique mathématique.

Prof. Sébastien Tremblay

UQTR MAP6021-00

Institution: Université du Québec à Trois-Rivières

Hiver

Topics in Geometry and Topology : Introduction to mathematical treatment of Einstein's general relativity theory

If you have taken or are taking the physics GR course, the two courses should complement each other nicely. In particular, there will not be much overlap. While a considerable part of the physics course is (probably) spent on introducing differential geometry, we will assume that the students are comfortable with basic differential geometry. Exact solutions with high degree of symmetry will be studied as prototypical examples of spacetimes, but our focus will be on the properties of realistic spacetimes with no or very little symmetry.

 The following topics will be treated.

• Some exact solutions, including black hole and cosmological solutions.

• Lorentzian geometry, geodesic congruences, variational characterization of geodesics.

• Singularity theorems of Penrose and Hawking. These theorems are the highlight of the course, and basically show that spacetimes cannot avoid developing singularities.

• Cauchy problem, if time permits. This result says that the state of the universe "today" completely determines what happens in the future in a certain sense.

 The grading will be based on a few homework, and a course project, where the student studies a special topic and gives a presentation.

Prof. Gantumur Tsogtgerel

MATH 599

Institution: Université McGill

Surfaces de Riemann

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.

 Contenu:

Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.

Prof. Vasilisa Shramchenko

MAT 737

Institution: Université de Sherbrooke