Physique mathématique

Description du programme

Les principaux domaines de recherches du groupe sont:

  • systèmes intégrables classiques et quantiques;
  • méthodes statistiques complètement résolubles;
  • méthodes de transformation spectrale directes et inverses;
  • applications aux systèmes nonlinéaires cohérents en mécanique des fluides, des solides, en optique et plasmas;
  • la théorie spectrale des matrices aléatoires et des opérateurs aléatoires;
  • processus aléatoires intégrables, partitions aléatoires, croissance aléatoire;
  • croissance laplacienne et gaz coulombien logarithmique;
  • méthodes asymptotiques en analyse spectrale;
  • problèmes de fondement en mécanique classique et en mécanique statistique quantique;
  • solutions aux équations nonlinéaires classiques des champs (théorie de jauge, gravité);
  • l'analyse des symétries d'équations aux dérivées partielles;
  • les quasi-cristaux;
  • la théorie des champs conformes;
  • la théorie de la représentation des groupes de Lie et des groupes quantiques;
  • phénomènes de percolation;
  • problèmes de fondement en quantification (quantification stochastique et géométrique; états cohérents);
  • structures mathématiques des théories des champs classiques et quantiques (théorie de jauge; gravité quantique).

La plupart des membres du groupe sont également membres du Laboratoire de physique mathématique du CRM.

Membres du programme

Formation

Le programme accueille des étudiants ayant de bonnes connaissances en physique et en mathématiques. Un diplôme de second cycle dans l'une de ces disciplines ainsi qu'une solide formation dans l'autre sont essentiels. L'étudiant intéressé intégrer ce programme doit être familier avec les sujets suivants:

Physique: mécanique classique; mécanique statistique; électrodynamique classique; mécanique quantique; relativité.
Mathématiques: analyse réelle, analyse fonctionnelle; analyse complexe; équations différentielles; théorie des groupes et algèbre; théorie de la mesure.

Outre les cours explicitement offerts cette année, le cadre général des cours ci-dessus est recommandé aux étudiants faisant leurs études dans ce programme. Les besoins et la préparation précédente de chaque étudiant(e) détermineront quels des cours devront être suivis. Le choix et l'horaire seront décidés en consultation avec le directeur de recherche. Quoique les cours listés pourront être disponibles en un ou plusieurs départements participants, les titres et numéros de sigles sont donnés afin de faciliter les correspondances. Dans la liste de cours qui suit, un astérisque (*) signifie un cours (niveau maîtrise) qui est obligatoire pour tous les étudiants dans le programme, et (*m) signifie un cours qui est obligatoire pour les étudiants qui n'ont pas suivi un cours équivalent au niveau du baccalauréat. La notation suivante est utilisée pour indiquer le niveau et la fréquence des cours offerts:

  • A= cours offert au moins une fois par année à une des universités participantes
  • B= cours offert tous les deux ans à une des universités participantes
  • C= cours offert selon la demande à une des universités participantes
  • b= cours de base (niveau maîtrise)
  • i= cours intermédiaire (maîtrise ou doctorat)
  • s= cours spécialisé (maîtrise ou doctorat)

(*) 1. Méthodes mathématiques en physique. (A, b)

  • McGill: Phys. 198-612 - Advanced Mathematical Physics I
  • McGill: Phys. 198-613 - Advanced Mathematical Physics II
  • McGill: Math 189-585 - Integral Equations and Transforms
  • McGill: Math 189-586 - Applied Partial Differential Equations
  • Univ. de Montréal: Mat 6435 - Equations de la physique

(*m) 2. Mécanique quantique mathématique (A, b)

  • Concordia: Math 684/854 - Quantum mechanics / Quantization techniques

(*m) 3. Mécanique analytique (B,b)

  • McGill: Math 189-561 - Analytic Mechanics

4. Théorie quantique des champs (A, i)

  • McGill: Phys. 198-673 Theoretical High Energy Physics
  • Univ. de Montréal: Phys. 6812 - Théorie des champs I
  • Univ. de Montréal: Phys. 6822 - Théorie des champs II

5. Mécanique statistique (A, i)

  • Concordia: Phys 661 - Nonequilibrium statistical mechanics
  • McGill: Phys 198-559 - Statistical mechanics

6. Rélativité générale (B, b)

7. Sujets spéciaux en physique mathématique (C, s)

  • Concordia MAST 856A- Selected Topics in Mathematical Physics

8. Algèbres de groupes de Lie (A, b)

  • Concordia: Math 694 - Lie groups
  • Univ. de Montréal: Math 6681Q - Algèbre: sujets spéciaux
  • Univ. de Montréal MAT 6633 - Théorie des groupes de Lie
  • UQAM: Mat 7410 - Groupes et algèbres de Lie

9. Variétés différentiables (A, b)

  • Concordia: Math 656 - Differential geometry
  • McGill: Math 189-576 - Geometry and topology I
  • McGill: Math 189-577 - Geometry and topology II
  • Univ. de Montréal: Math 6323 - Variétés différentiables
  • UQAM: Mat 8131 - Géométrie différentielle

10. Analyse fonctionnelle (A, b)

  • Concordia: Math 662 - Functional analysis I
  • McGill: Math 189-635 - Functional analysis
  • Univ. de Montréal: Math 6112- Analyse fonctionelle I

11. Equations différentielles (A, i)

  • Concordia: Math 666 - Differential equations
  • McGill: Math 189-575 - Partial differential equations
  • Univ. de Montréal: Math 6180 - Equations différentielles

Cours 2021-22

Automne

Topics in Mathematics and Statistics: Large Deviation Principle and Statistical Mechanics of Lattice Gases

This topic course concerns the interplay between the Large Deviation Principle (LDP) of probability theory and the mathematical foundations of statistical mechanics (SM). Although this fundamental link goes back to the pioneering work of Boltzmann and has played a central role in the development of both subjects, it is rarely discussed at the introductory level. The goal of the course is to describe the basic theory of LDP and SM with an emphasis on the foundational link between them.

Topics to be covered:

LDP. Cramér’s theorem in the i.i.d. setting. General structure of LDP. Gärtner-Ellis theorem. Boltzmann-Sanov theorems. Method of Ruelle-Lanford’s functions. Varadhan’s Lemma. Applications.

SM of Lattice Gasses. Interactions and pressure. Entropy. Boltzmann and Gibbs equilibrium states. Equivalence of ensembles. Theory of Gibbs states. Hausdorff dimension and Boltzmann entropy. Information theory perspective. Beyond Gibbsianity.

Additional topics will include: LDP and SM in the general dynamical systems setting. Thermodynamic formalism of dynamical systems. Rotators, dynamics, and the 0- Law of Thermodynamics.

Prerequisites. Honours Analysis 3-Math 454, Honours Probability-Math 356, and willingness to pick up on the pre-requisite topics (which are of independent interest) as we proceed. The references, and in some cases pre-recorded videos with pre-requisites, will be provided. In exceptional cases (and this in particular applies to the Joint Honours Math. Phys students), the course can be taken with Math 454 and Math 356 or Phys 362 as co-prerequisites. If you are interested to do so, please contact the instructor.

Prof. Vojkan Jaksic

MATH 594

Institution: Université McGill

Théorie de la représentation des groupes finis

Représentations et module d'un groupe G, représentations équivalentes, sous-module. Représentations indécomposable, réductible, irréductible. Théorème de Maschke. Morphisme, lemme de Schur.

Algèbre de groupe, fonctions sur cette algèbre, fonction de classe. Caractères, relations d'orthogonalité, tables de caractères. Représentation régulière. Analyse de Fourier sur les groupes finis, identité de Parseval, théorème de Wedderburn.

Nombres algébriques, théorème de la dimension, théorème de Burnside. Action de groupe, lemme de Burnside, paires de Gelfand.

Représentations induites, théorème de réciprocité de Frobenius, critère d'irréductibilité de Mackey.

Marche aléatoire sur les groupes finis. Modèles de Gilbert–Shannon–Reeds, théorèmes de Diaconis.

Prof. Yvan Saint-Aubin

MAT 6621

Institution: Université de Montréal