Probabilités

Description du programme

La théorie des probabilités est l’étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l’incertitude. Les spécialistes de cette discipline au sein de l’ISM s’intéressent à un large éventail de problèmes théoriques et appliqués où les probabilités discrètes et continues ont un rôle à jouer. Leurs travaux concernent notamment le développement et l’analyse de modèles probabilistes pour des phénomènes physiques, biologiques, statistiques et informatiques. Ils étudient entre autres la physique statistique dans un environnement aléatoire, les processus évolutifs en biologie, les systèmes à portée variable, les paysages énergétiques aléatoires, l’analyse de la structure de données au moyen d’arborescences aléatoires, la génétique et la biologie des populations.

Plusieurs membres du groupe font également partie du laboratoire de probabilités du CRM.

Membres du programme

Formation

Les étudiants intéressés à poursuivre leurs études graduées dans l'un ou l'autre des domaines mentionnés ci-dessus sont invités s'inscrire au programme. Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Les étudiants intégrés au programme devraient maîtriser les fondements de la théorie des probabilités. Ces étudiants devront prendre les cours intermédiaires suivants: théorie de la mesure et théorie des probabilités. Ils devront ensuite suivre des cours spécialisés.

Cours 2021-22

Automne

Probability Theory

This course covers most of the materials in the first seven chapters of Probability and Random Processes by Grimmett and Stirzaker.  In particular, it covers topics such as generating and characteristic functions and their applications in random walk and branching process, different modes of convergence and an introduction of martingales.

Prof. Xiaowen Zhou

MAST 671/2 / MAST 881B

Institution: Concordia University

Advanced Probability Theory 1

Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.

Prof. Linan Chen

MATH 587

Institution: Université McGill

Probabilités - Université de Montréal

Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.

Prof. François Perron

MAT 6701

Institution: Université de Montréal

Hiver

High-Dimensional Probability with Applications to Data Science

Topics will include (time permitting) concentration of sum or random variables, random vectors in high-dimensions, random matrices, symmetrization, random processes, chaining. We will also discuss applications in key data science areas, such as random graphs, community detection in networks, dimensionality reduction, statistical learning theory, and sparse recovery.

Prof. Simone Brugiapaglia

MAST 679P / MAST 881P

Institution: Concordia University

Stochastic Calculus

This course introduces the basic ideas and methods of stochastic calculus. Topics covered include:

1. Martingales. 

2. Brownian motion and Markov processes. 

3. Stochastic integrals, Ito's formula and Girsanov theorem. 

4. Stochastic differential equations. 

 If time allows additional topics might be covered. 

Prof. Wei Sun

MAST 729/MAST 881/4

Institution: Concordia University

Advanced Probability Theory 2

Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.

Prof. Linan Chen

MATH 589

Institution: Université McGill

Topics in Probability and Statistics: Random matrices and their applications

Random matrix theory is a relatively new branch of probability, which has arisen to answer questions in high-dimensional statistics, disordered quantum mechanical systems, the smoothed analysis of algorithms and machine learning.  This course aims to give a broad foundation in random matrix theory and illustrate some of the applications.

Core course content: 

  • Brief overview of (deterministic) matrix analysis
  • Canonical random matrices (orthogonal, unitary, and Gaussian ensembles)
  • The semicircle law & the Marchenko-Pastur law
  • Local limits: extremal and bulk eigenvalue limits (via stochastic calculus)

We also briefly cover one or two of the topics below.

  • The Stieltjes transform: Wigner matrices & universality
  • Sample—covariance matrices, structured random matrices, and free probability
  • Spike models and outliers, PCA, and the BBP transition

Prerequisite: measure-theoretic probability (in particular, familiarity with weak/almost sure/in-probability convergence), linear algebra

Corequisite: stochastic calculus

Suggested course: complex analysis.

Prof. Elliot Paquette

MATH 598

Institution: Université McGill

Calcul stochastique

Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.

Prof. Sabin Lessard

MAT 6703

Institution: Université de Montréal

Probabilités - Université de Sherbrooke

Révision de la théorie des probabilités. Espérances conditionnelles. Martingales à temps discret et théorème de convergence de Doob.  Convergence étroite, tension et théorème de la limite centrale.

Prof. Klaus Herrmann

STT 701

Institution: Université de Sherbrooke