Analyse

Description du programme

Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :

  • Analyse sur les variétés : la géométrie spectrale (valeurs propres et fonctions propres des Laplaciens), le chaos quantique.
  • Analyse classique
  • Analyse complexe : approximation complexe, les groupes discrets à deux générateurs, la dynamique complexe, l’analyse à plusieurs variables complexes et les multifonctions analytiques.
  • Théorie ergodique : la théorie spectrale des transformations qui préservent la mesure, les résultats de type Baire en théorie ergodique et les généralisations des théorèmes ergodiques aux suites de projections généralisées.
  • Analyse fonctionnelle : les algèbres de Banach, les résolvantes et la contrôlabilité des opérateurs, le théorème spectral généralisé et les suites d’opérateurs auto-adjoints et leurs limites faibles, l’analyse des matrices et les inégalités, la théorie spectrale et la physique mathématique.
  • Analyse harmonique : les séries trigonométriques, les formes automorphes, les intégrales singulières, les transformées de Fourier, les opérateurs multiplicateurs, la théorie de Littlewood-Paley, les fonctions harmoniques sur Rn, les espaces de Hardy, les fonctions carrées, les liens entre l’analyse harmonique et la théorie des probabilités et la théorie ergodique.
  • Équations aux dérivées partielles : les liens avec l’analyse fonctionnelle, géométrique et harmonique.
  • Théorie du potentiel : la dualité dans la théorie du potentiel, l’approximation harmonique, le comportement aux frontières et la théorie du potentiel sur les arbres.

Membres du programme

Formation

Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.

Prérequis:

Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.

  • Measure Theory (Concordia MAST 669)
    Functional Analysis I (Concordia MAST 662)
  • ou
  • Advanced Real Analysis I (McGill MATH-564)
    Advanced Real Analysis II (McGill MATH-565)
    Advanced Complex Analysis (McGill MATH-566)
  • ou
  • Mesure et intégration (Université de Montréal MAT 6111)
    Analyse fonctionnelle (Université de Montréal MAT 6112)
    Topologie générale (Université de Montréal MAT 6310)
    Analyse complexe: sujets spéciaux (Université de Montréal MAT 6182K)
  • ou
  • Analyse fonctionnelle I (Laval MAT-7100)
    Théorie de la mesure et intégration (Laval MAT-6000)
    Équations aux derivées partielles (Laval MAT-7220)

Cours 2019-20

Automne

Non-linear Programming

Prof. Ron Stern

MAST 661 A

Institution: Concordia University

Complex Analysis

Review of Cauchy-Riemann equations, holomorphic and meromorphic functions, Cauchy integral theorem, calculus of residues, Laurent series, elementary multiple-valued functions, periodic meromorphic functions, elliptic functions of Jacobi and Wierstrass, elliptic integrals, theta functions. Riemann surfaces, uniformization, algebraic curves, abelian integrals, the Abel map, Riemann theta functions, Abel’s theorem, Jacobi varieties, Jacobi inversion problem. Applications to differential equations.

Prof. Alexey Kokotov

MAST 665, MAST 837, B

Institution: Concordia University

Selected Topics in Analysis: Topological Vector Spaces and Distributions

Topological vector spaces, test functions, distributions, the Schwartz space, tempered distributions, the Fourier transform, Sobolev spaces, Sobolev lemma, embedding theorems, connections with harmonic analysis (singular integral operators, function spaces) and partial differential equations.

Prof. Galia Dafni

MAST 661, MAST 837, C

Institution: Concordia University

Théorie de la mesure et intégration

Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym.

Prof. Thomas Ransford

MAT 6005

Institution: Université Laval

Analyse fonctionnelle

Ce cours vise l'acquisition des notions fondamentales de l'analyse fonctionnelle. Les thèmes traités sont les suivants : espaces normés, opérateurs linéaires, espaces de Banach et espaces de Hilbert; théorème de Hahn-Banach, théorème de Baire, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, théorème de Stone-Weierstrass et théorème d'Arzelà-Ascoli; opérateurs compacts; introduction à la théorie spectrale; topologies faibles, théorème d'Alaoglu.

Prof. Line Baribeau

MAT 7105

Institution: Université Laval

Théorie des opérateurs

Le thème central du cours sera l’étude du spectre d’opérateurs sur les espaces de Hilbert.

Dans une première partie, la théorie des algèbre de Banach sera développée. Nous utiliserons les représentations de Gelfand pour prouver le théorème spectral pour les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert. Ce théorème est une vaste généralisation du théorème de diagonalisation pour les matrices symétriques. Par la suite nous nous intéresserons aux opérateurs compacts et à la théorie de Fredholm.

La deuxième partie du cours portera sur les opérateurs non-bornés. Nous utiliserons la transformée de Cayley pour étudier les extensions auto-adjointes d'opérateurs symétriques et nous prouverons le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints. Des applications aux opérateurs différentiels seront présentées.

L'évaluation de ce cours sera constituée de devoirs et de deux examens.

Prérequis: analyse complexe, mesure et intégration, analyse fonctionnelle.

Références:

Première partie:

  • W. Arveson, A short course on spectral theory. Springer, 2002. 
  • G. Murphy, C^*-algebras and operator theory. Academic Press, 1990.
  • W. Rudin, Functional analysis. McGraw-Hill, 1973. 

Deuxième partie:

  • B. Davies, Spectral theory and differential operators. Cambrdige University Press, 1995.
  • P. Hislop, I. Sigal, Introduction to spectral theory. Springer, 1996. 
  • J. Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces. Springer, 1980.

Prof. Alexandre Girouard

Laval MAT 7108

Institution: Université Laval

Équations aux dérivées partielles - Université Laval

Ce cours porte sur les méthodes classiques de résolution des équations aux dérivées partielles : équations du premier ordre, caractéristiques, théorie de Hamilton Jacobi, classification des équations du second ordre, fonctions de Green, méthode de Riemann, etc. Il s'adresse à un public n'ayant du sujet qu'une idée sommaire et il est accessible même à des non-mathématiciens.

Prof. Damir Kinzebulatov

MAT 7225

Institution: Université Laval

Advanced Real Analysis 1

Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.

Prof. John Toth

MATH 564

Institution: Université McGill

Topics in Analysis: Introduction to Semiclassical Analysis

The course will be an introduction to semiclassical microlocal analysis with appli- cations to spectral theory. I will first cover the rudiments of semiclassical pseudodifferential and Fourier integral operatorl calculus, wave front sets and propagation of singularities.

I will then discuss applications to quantum ergodic restriction, the Steklov problem and if time permits, other interesting potential research topics.

Prof. John Toth

MATH 595

Institution: Université McGill

Équations aux dérivées partielles, sujets spéciaux : géométrie spectrale

The course will cover the fundamentals of geometric spectral theory as well as some recent developments in the area. Main topics include: Laplace spectrum of Riemannian manifolds and Euclidean domains, geometric eigenvalue inequalities, nodal geometry of eigenfunctions, spectral invariants, "Can one hear the shape of a drum?", Steklov eigenvalue problem, spectral asymptotics.

Basic knowledge of PDEs and differential geometry will be assumed.

Prof. Iosif Polterovich

MAT 6120

Institution: Université de Montréal

Mesure et intégration

Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.

Prof. Dimitris Koukoulopoulos

MAT 6111

Institution: Université de Montréal

Analyse fonctionnelle I

  • Espaces métriques
  • Topologiques, d'Hilbert, de Banach
  • Théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé
  • Topologies faibles
  • Espaces réflexifs
  • Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Prof. Marlène Frigon

MAT 6112

Institution: Université de Montréal

Hiver

Discrete Dynamical Systems, Chaos and Fractals

Iteration of functions, periodic and fixed points bifurcations, Sharkovsky Theory (periodic points of continuous maps of interval), Henon map, complex dynamics, Julia and Mandelbrot Sets, metric spaces, Hausdorff metric, Iterated Function Systems and their attractors, computer graphics using IFS attractors, fractal dimension.

Additional topics may be covered if time permits.

Prof. Pawel Gora

MAST 661 (MAST 865, D)

Institution: Concordia University

Analyse complexe avancée

Fonctions holomorphes, principe d'identité, théorème de l'application ouverte, théorème d'inversion locale, lemme de Schwarz, principe de Phragmén-Lindelöf. Familles normales. Fonctions univalentes, théorèmes de Riemann et de Koebe. Théorème de Runge. Produits infinis. Métriques riemanniennes, théorème de Schwarz-Pick, courbure, théorèmes d'Ahlfors, de Picard et de Montel.

Prof. Javad Mashreghi

MAT 7115

Institution: Université Laval

Analyse géométrique

Le laplacien et la théorie elliptique. La géométrie spectrale. Surfaces minimales. Applications analytiques à la géométrie riemannienne, symplectique et kahlerienne, et en physique et sciences informatiques.

Prof. Egor Shelukhin

MAT6230

Institution: Université de Montréal