Analyse

Description du programme

Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :

  • Analyse sur les variétés : la géométrie spectrale (valeurs propres et fonctions propres des Laplaciens), le chaos quantique.
  • Analyse classique
  • Analyse complexe : approximation complexe, les groupes discrets à deux générateurs, la dynamique complexe, l’analyse à plusieurs variables complexes et les multifonctions analytiques.
  • Théorie ergodique : la théorie spectrale des transformations qui préservent la mesure, les résultats de type Baire en théorie ergodique et les généralisations des théorèmes ergodiques aux suites de projections généralisées.
  • Analyse fonctionnelle : les algèbres de Banach, les résolvantes et la contrôlabilité des opérateurs, le théorème spectral généralisé et les suites d’opérateurs auto-adjoints et leurs limites faibles, l’analyse des matrices et les inégalités, la théorie spectrale et la physique mathématique.
  • Analyse harmonique : les séries trigonométriques, les formes automorphes, les intégrales singulières, les transformées de Fourier, les opérateurs multiplicateurs, la théorie de Littlewood-Paley, les fonctions harmoniques sur Rn, les espaces de Hardy, les fonctions carrées, les liens entre l’analyse harmonique et la théorie des probabilités et la théorie ergodique.
  • Équations aux dérivées partielles : les liens avec l’analyse fonctionnelle, géométrique et harmonique.
  • Théorie du potentiel : la dualité dans la théorie du potentiel, l’approximation harmonique, le comportement aux frontières et la théorie du potentiel sur les arbres.

Membres du programme

Formation

Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.

Prérequis:

Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.

  • Measure Theory (Concordia MAST 669)
    Functional Analysis I (Concordia MAST 662)
  • ou
  • Advanced Real Analysis I (McGill MATH-564)
    Advanced Real Analysis II (McGill MATH-565)
    Advanced Complex Analysis (McGill MATH-566)
  • ou
  • Mesure et intégration (Université de Montréal MAT 6111)
    Analyse fonctionnelle (Université de Montréal MAT 6112)
    Topologie générale (Université de Montréal MAT 6310)
    Analyse complexe: sujets spéciaux (Université de Montréal MAT 6182K)
  • ou
  • Analyse fonctionnelle I (Laval MAT-7100)
    Théorie de la mesure et intégration (Laval MAT-6000)
    Équations aux derivées partielles (Laval MAT-7220)

Cours 2021-22

Automne

Topics in Analysis: Fourier Analysis

The course will cover the basics of Fourier analysis: convergence of Fourier series on the circle; the Hardy-Littlewood maximal function; harmonic functions, Poisson integrals and the conjugate function; Fourier transforms on the line and in Euclidean space; the Schwartz space and tempered distributions; the Poisson Summation Formula.

Additional topics from among the following will be covered if time permits, as well as in student projects or presentations: interpolation; Hardy spaces and BMO; singular integrals; Littlewood-Paley theory; distributions, Sobolev spaces and applications to PDE; spherical harmonics; Fourier analysis on groups, the discrete Fourier transform and applications; wavelets.

Prof. Galia Dafni

MAST 661B/2 / MAST 837B

Institution: Concordia University

Reproducing Kernel Hilbert Space of Analytic Functions

RKHS is a fast-growing topic with numerous connections to other areas of mathematics, as well as profound applications in other basic sciences and engineering. This theory plays a decisive role in complex analysis, statistics, probability, functional analysis and integral operator theory, matrix theory, group representations, machine learning, signal processing and telecommunication, etc. In this course, the emphasize is on the abstract theory of RKHS with a glance to analytic function spaces such as Hardy, Dirichlet, Bergman, model and de Branges-Rovnyak spaces as special cases.

References:

-V. Paulsen, M. Raghupathi, An Introduction to the Theory of Reproducing Kernel Hilbert Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 152, Cambridge University Press, 2016.

-J. Agler, J. McCarthy, Pick Interpolation and Hilbert function spaces, Graduate Studies in Mathematics 44, American Mathematical Society, 2002.

-J. Mashreghi, Representation Theorems in Hardy Spaces, London Mathematical Society Student Texts (74), Cambridge University Press, 2013.

Prof. Javad Mashreghi

MAT 7195

Institution: Université Laval

Advanced Real Analysis 1

Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.

Prof. John Toth

MATH 564

Institution: Université McGill

Introduction to Functional Analysis

Banach and Hilbert spaces, theorems of Hahn-Banach and Banach-Steinhaus, open mapping theorem, closed graph theorem, Fredholm theory, spectral theorem for compact self-adjoint operators, spectral theorem for bounded self-adjoint operators.

Prof. Gantumur Tsogtgerel

MATH 567

Institution: Université McGill

Mesure et intégration (UdeM)

Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.

 

Prof. Maxime Fortier Bourque

MAT 6117

Institution: Université de Montréal

Équations aux dérivées partielles, sujets spéciaux : théorie spectrale géométrique

Le cours portera sur les notions de base de la théorie spectrale géométrique ainsi que sur certains développements récents dans le domaine.

Les sujets principaux comprennent: le théorème spectral pour le laplacien sur les domaines euclidiens et les variétés riemanniennes, les inégalités géométriques pour les valeurs propres, la  géométrie nodale des fonctions propres, les invariants spectraux, "Peut-on entendre la forme d'un tambour?", le problème de Steklov, les asymptotiques spectrales.

Une connaissance de base des ÉDP et de la géométrie différentielle est un prérequis.

 

Prof. Iosif Polterovich

MAT 6229A

Institution: Université de Montréal

Hiver

Manifolds

Topics from differentiable manifolds, tangent space, cotangent space, immersions, orientation, vector fields, differentiable forms, integration on manifolds, Riemannian metrics, curvature tensors, Bonnet-Myers Theorem and Synge Theorem, fundamental group, manifolds of negative curvature, the sphere theorem, eigenvalues of Riemannian manifolds, and de Rham theory.

Prof. Alina Stancu

MAST657/4 / MAST857A

Institution: Concordia University

Measure Theory

Measure and integration, measure spaces, convergence theorems, Radon-Nikodem theorem, measure and outer measure, extension theorem, product measures, Hausdorf measure, LP-spaces, Riesz theorem, bounded linear functionals on C(X), conditional expectations and martingales.

Prof. Galia Dafni

MAST 669/4 / MAST837D

Institution: Concordia University

Functional Analysis II

The course is devoted to the theory of unbounded operators in Hilbert spaces. The main themes are extensions of symmetric operators and criteria of self-adjointness, proofs of the spectral theorem for unbounded operators, applications to PDE. As an additional topic I am planning to include some versions of the adiabatic theorem for time-dependent Hamiltonians and elements of Berry phase theory.        

Prof. A. Kokotov

MAST 661E / MAST837E

Institution: Concordia University

Partial Differential Equations

Linear and quasilinear 1-st order equations. Transport equation. Shock waves and rarefactions.  D'Alembert solution to the one-dimensional wave equation. Infinite, semiinfinite and finite string.  Separation of variables, Fourier method for the 1-d wave equation.  Solution of the wave equation in 2-d and 3-d. Duhamel formula. Energy method, finite speed of propagation.  Laplace and Poisson equations in 2-d and 3-d. Green's formula. Hydrodynamical interpretation.  Properties of harmonic functions. Maximum principle, mean value theorem, Liouville and Harnack's theorems.  Dirichlet's and Neumann's problems for the Laplace equation. Variational method.  Heat equation. Solution in the whole space. Energy method for the proof of existence and uniqueness of solution.

Prof. Alexander Shnirelman

MAST 666/4 / MAST841

Institution: Concordia University

Analyse harmonique et ondelettes

Séries de Fourier, théorèmes de convergence, théorème de Fejér. Transformée de Fourier, théorème de convolution, théorème d'inversion, théorème de Plancherel, formule de Poisson. Transformée de Fourier rapide. Espaces de Hilbert : bases orthonormées, polynômes orthogonaux, ondelettes de Haar. Théorie des ondelettes : analyses multirésolutions, ondelettes père et mère, transformée d'ondelette rapide, intégrabilité et moments. Exemples.

Prof. Thomas Ransford

MAT 7126

Institution: Université Laval

Advanced Real Analysis 2

Continuation of topics from MATH 564. Signed measures, Hahn and Jordan decompositions. Radon-Nikodym theorems, complex measures, differentiation in Rn, Fourier series and integrals, additional topics.

Prof. John Toth

MATH 565

Institution: Université McGill

Analyse fonctionnelle (UdeM)

Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Prof. Marlène Frigon

MAT 6124

Institution: Université de Montréal

Analyse fonctionnelle (Sherbrooke)

Espaces de Hilbert, espaces de Banach, algèbres de Banach. Étude particulière de l'algèbre des opérateurs sur un espace de Hilbert. Espace de Banach des fonctions à variation bornée et intégrale de Stieltjes. Fonctionnelles linéaires. Théorème de représentation de Riesz. Théorèmes de Hahn-Banach, de la borne uniforme et du graphe fermé. Topologies faibles. Convexité : théorèmes de séparation, inégalité de Jensen, théorème de Krein-Milman.

Prof.

MAT 745

Institution: Université de Sherbrooke