La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.
Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.
La plupart des chercheurs du groupe font partie du CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.
Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
Les premiers deux tiers de ce cours vont introduire, respectivement, la théorie de catégorie triangulées et la théorie de persistence - qui a pour origine l’analyse topologique des donnée en IA. Le dernier tier est dédié à mettre ces deux structures ensemble et expliquer comment ceci permet l’étude de classes très larges d’objets géométriques: sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique; espaces métriques; graphes métriques et bien d’autres.
Le cours se veut une introduction à certains outils d'analyse pour étudier des équations aux dérivées partielles ayant des origines géométriques. Les sujets suivants seront couverts: équation de Laplace, principe du maximum, espaces de Hölder, estimations de Schauder, théorèmes du point fixe, équations elliptiques quasi-linéaires, espaces de Hölder paraboliques, équations paraboliques quasi-linéaires et flots géométriques.
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
Le but de ce cours est de développer les éléments de base de la théorie de classes caractéristiques. Nous commençons avec la classification homotopique des fibrés localement triviaux, avec groupe de structure, sur des espaces paracompact. Nous considérons, plus particulièrement, les fibrés vectoriels et leurs opérations naturelles : $\oplus, \times, \otimes, \wedge$, etc. Ensuite, nous étudions la
théorie des classes caractéristiques : classes de Stiefel-Whitney, classe de Thom, classe d'Euler, classes de Chern, classes de Pontryagin. Nous discutons des approches et interprétations différentes pour ces invariants : axiomatisation, obstructions, cohomologie des espaces classifiant, théorie de Chern-Weil. Chaque approche mène à des applications frappantes.
Ce cours porte sur les fondements mathématiques de la théorie de Yang-Mills et ses applications à la topologie. Dans la première partie du cours, je présenterai le contexte mathématique nécessaire à la construction de l'espace modulaire des connexions doubles « anti-self » (solutions des équations de Yang-Mills en dimension quatre). Dans la deuxième partie, je montrerai comment cette technologie peut être employée pour étudier les 4-variétés et les 3-variétés (homologie de Floer instantanée). Si le temps le permet, je parlerai des espaces modulaires des faisceaux de vecteurs sur les courbes de Riemann, ou peut-être de la preuve de Donaldson du théorème de Narasimhan-Seshadri, qui a des applications en géométrie algébrique et en théorie des nombres.
Pré-requis : Notions et techniques de base en géométrie algébrique ; Il serait bon d'avoir des notions de base des diviseurs et de la théorie de faisceau et leur cohomologie comme normalement fait dans un cours sur les surfaces de Riemann mais absolument pas nécessaire. Un bon cours en analyse complexe.
Résumé du contenu : Après une brève revision de la géométrie Kahlérienne, de la décomposition de Hodge et des faisceaux cohérents et leur cohomologie (une semaine), des notions de positivité et les théorèmes d'annulation, et des cônes variés dans le groupe de diviseurs (ou fibré holomorphe en droites) à équivalence numérique près (par la théorie d'intersection), on fait un bref tour de ce qui est prouvé ou conjecturé par le MMP (Programme du modèle minimal) de Mori sur les structures et la classification birationnelle des variétés (deux semaines de plus). On concentre dans la première partie de la suite du cours à la vérification du cas des surfaces algébriques et mentionne un peu l'idée comment le cas de dimension 3 est résolu en utilisant l'approche de Mori. Le reste du cours discutera le lien entre (non)hyperbolicité complexe et les résultats de BCHM qui ont résolu le (bon) MMP pour le cas des variétés de type général et, si le temps le permet, le résultat de médaille Fields récente de Caucher Birkar pour les variétés de Fano.
On utilisera plusieurs références, en particulier le livre de Kollar-Mori pour le MMP de Mori et le livre de Barth, Peters et Van-de-Ven sur le cas des surfaces.
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
Voici le plan de cours, qui pourra changer légèrement en fonction de l'auditoire:
0. Introduction
1. Rappels de topologie générale
2. Rappels d'analyse des fonctions continues
3. Rappels d'algèbre (corps, anneaux, modules, théorie des catégories)
4. Homologie simpliciale et homologie singulière. Théorème d'approximation des fonctions continues par des fonctions PL. Isomorphisme entre les deux homologies.
5. Exemple: classification des surfaces. Généralisation aux complexes différentiels abstraits.
6. Suites exactes, théorème de Mayer-Vietoris et de Kunneth. Exemples.
7. Cohomologie et dualité de Poincaré.
8. Théorème des coefficients universels.
9. Fibrations. Suite spectrale de Leray. Théorie des faisceaux et cohomologie de Cech.
10. Introduction à la K-théorie.
11. Groupe fondamental et revêtements (galoisiens). Homologie de Novikov.
Pour un cours d’introduction aux surfaces de Riemann en un trimestre, il faut forcément faire des choix. Le plan de cours proposé consiste à partir de l’origine du sujet dans la théorie des fonctions d’une variable complexe et viser une compréhension du Théorème de Riemann-Roch selon deux approches distinctes relevant de la géométrie algébrique classique puis de l’analyse moderne. Selon son penchant personnel, chaque inscrit au cours pourra alors approfondir le sujet par des lectures personnelles autour des outils les mieux maîtrisés.
Chapitre I : Théorie élémentaire des surfaces de Riemann
- Rappels d’Analyse complexe
- Origines de la notion de surface de Riemann
- Surfaces, structures et atlas complexes, définition d’une surface de Riemann
- Exemples de surfaces de Riemann
- Lien avec les courbes algébriques planes
- Interlude : vision panoramique (suivant Eric Reyssat)
- Fonctions holomorphes et méromorphes, forme normale locale, notion de degré
- Formule de Riemann-Hurwitz
- Prolongement analytique, monodromie et Théorème d’existence de Riemann
- Calcul différentiel et intégral sur les surfaces de Riemann
Chapitre II: Géométrie algébrique classique des surfaces de Riemann
- Fonctions méromorphes et notion de diviseur sur une surface de Riemann
- Equivalence linéaire de diviseurs
- Diviseurs d’intersection, degré d’une courbe projective lisse, Théorème de Bézout
- Problèmes de Mittag-Leffler et H1(D)
- Théorème de Riemann-Roch, Dualité de Serre
- Quelques applications de Riemann-Roch
Chapitre III: Analyse sur les surfaces de Riemann compactes
- Cohomologie de Cech, notion de faisceau, Lemme de Dolbeault, finitude cohomologique
- Suite exacte en cohomologie, Théorème de Dolbeault
- Nouvelle formulation de Riemann-Roch
- Dualité de Brill-Noether-Serre et conséquences
Selon le temps disponible et les intérêts exprimés par les participantes et participants au cours, des sujets spéciaux seront abordés, notamment sous forme d’exposés ou travaux personnels pour conclure ce cours d’introduction aux surfaces de Riemann.
En 1958, Milnor a réfuté la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures en démontrant l'existence de 7-sphères exotiques (c'est-à-dire des variétés lisses qui sont homéomorphes mais pas difféomorphes à la 7-sphère). Quelques années plus tard, Milnor et Kervaire ont montré que pour toute dimension n plus grande que cinq, il n'existe qu'un nombre fini de sphères exotiques de dimension n. Leur travail est une combinaison de nombreuses belles idées en topologie lisse et algébrique. Ce cours donnera le contexte nécessaire pour comprendre les résultats de Milnor et Kervaire et certains des développements ultérieurs.
Les sujets abordés comprendront le théorème du h-cobordisme, la théorie de la chirurgie, le J-homorphisme et la théorie des cobordismes. D'autres sujets pourront être inclus selon temps et de l'intérêt. Des connaissances de base en topologie algébrique (homologie et groupes d'homotopie) sont un prérequis pour ce cours. Une connaissance des classes caractéristiques et de la topologie différentielle (transversalité et théorie de Morse) est souhaitable, mais pas essentielle.
Le fil directeur de ce cours est un concept central en géométrie kählérienne actuelle : la K-stabilité. Après un survol de la théorie "classique" des variétés kählériennes, on introduira cette notion, dérivée de la Théorie géométrique des invariants, en précisant les motivations de Yau, Tian et Donaldson à la faire émerger, eu égard, notamment, au problème de Calabi, et on dressera un panorama (le plus complet possible) de l'état de la recherche dans ce domaine.