Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la quantification des systèmes de Hitchin et le programme de Langlands géométrique, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2019-20

Automne

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Daniel T. Wise

MATH 576

Institution: Université McGill

Géométrie différentielle - UdeM

S’introduire aux notions de base de la géométrie différentielle. Nous allons couvrir: éléments de topologie générale (rappels sur les ouverts, fermés, continuité, séparation, compacité, connexité, produits, quotients); variétés différentiables; espaces tangent et co-tangent, champs de vecteurs; fibrés vectoriels; formes différentielles; complexe de de Rham; métriques Riemanniennes; connexions; géodésiques et transport parallèle; courbure.

Prof. Octav Cornea

MAT6381U

Institution: Université de Montréal

Équations aux dérivées partielles, sujets spéciaux : géométrie spectrale

The course will cover the fundamentals of geometric spectral theory as well as some recent developments in the area. Main topics include: Laplace spectrum of Riemannian manifolds and Euclidean domains, geometric eigenvalue inequalities, nodal geometry of eigenfunctions, spectral invariants, "Can one hear the shape of a drum?", Steklov eigenvalue problem, spectral asymptotics.

Basic knowledge of PDEs and differential geometry will be assumed.

Prof. Iosif Polterovich

MAT 6120

Institution: Université de Montréal

Topics in Geometry and Topology: Compact Lie Groups

I will hold an organizational meeting for Math 599- Compact Lie groups on Wednesday, September 4th in Burnside 1104, from 1 to 2pm.

The prerequisites for the course are not too many; some familiarity with manifolds, and linear algebra.

In this course I plan to cover the basic material about compact Lie groups Material should include:

• Basics on Lie groups and their Lie algebras;
• The classical groups: SU(n), SO(n), Spin(n), Sp(n);
• Basic representation theory;
• Maximal tori and Weyl groups;
• Root systems- making everything discrete;
• Characters, weights and representations; the Weyl character formula.

References. The main textbooks for this course, as announced, is Bröcker and Tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups (Springer GTM 98). Slightly more thorough introduction can be found in Fulton and Harris Representation Theory, or in Duistermaat and Kolk Lie groups.

Prof. Jacques Hurtubise

MATH 599

Institution: Université McGill

Topologie algébrique I

Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.

Prof. Steven Boyer

MAT 7032

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie: Géométrie Analytique et Géométrie Algébrique Complexe

Ce cours sert comme introduction à la fois à l’analyse complexe de plusieurs variables et à la géométrie algébrique complexe. On concentre sur l’aspect analytique de la géométrie des varieties complexes (projectives) en général en commençant avec la théorie en dimension un, le cas de surface de Riemann, et son rôle en plusieurs dimensions. Après une revision rapide de l’analyse complexe en un et en plusieurs variable(s), incluant l’analyticité et les théorèmes de prolongements des fonctions holomorphes, on introduit les notions de base de la géométrie analytique/algébrique (variété complexe, fibré vectoriel, diviseur, application propre, fonction méromorphe/rationnelle, système linéaire, théorie élémentaire de degré et d’intersection) et développe des résultats saillants en détaillant au moins leur preuves en dimension un et par fois deux (formule d’adjonction, de Riemann-Hurwitz, d’indice de Hopf, etc; théorème de Bezout et, en dimension un, de Riemann-Roch).  Pour y arriver et aller en profondeur à la fin, on introduit et utilise la théorie du faisceau: resolutions naturelles (de Rham, Dolbeault et singulière), leur cohomologies et les isomorphismes associés (e.g. entre celui de de Rham et la cohomologie singulière), dualité de Poincaré, respectivement de Serre, théorème d'annulation de Grothendieck, théorème de la decomposition L_2 (de Hodge) et le principe de GAGA. Si le temps le permet, on pourrait discuter les théorèmes classique d’annulation des cohomologies (de Serre et de Kodaira) en indiquant au moins l'idée des preuves au cas projectif et des consequences comme le théorème d’indices de Hodge, ceux de Lefschetz sur sections hyperplanes et sur les classe cohomologiques de type (1,1), et/ou aborder le programme de la classification birationnelle des varieties projectives complexe (le programme du modèle minimal de Mori, MMP).

Donc, on couvra l’essentiel du Chapitre 0 et des premières demi-parties du Chapitre 1 et 2 du livre de Griffiths et Harris.

Prof. Steven Lu

MAT993L

Institution: Université du Québec à Montréal

Théorie des catégories

Ce cours offert à la session Automne 2019 se veut une introduction à la fois rigoureuse et, à travers de nombreux exemples, ouverte sur différentes branches des mathématiques où la théorie des catégories joue un rôle unificateur. Les seuls pré-requis sont ceux couverts par des cours de premier cycle en algèbre (espaces vectoriels, groupes, anneaux) et une certaine familiarité avec les espaces topologiques sera utile à l’occasion.

 This course will be offered in the Fall of 2019 and aims at a rigorous introduction to the subject through many examples which will also lead students towards areas of mathematics where category theory plays a unifying role. The only prerequisites are covered in undergraduate algebra courses (vector spaces, groups, rings) and some familiarity with topological spaces might occasionally be useful. The lectures will be in french but the references are all in english (and categorical language is pretty much universal anyway!).

 Voici une ébauche de plan de cours:

 Introduction au sujet à travers la théorie des ensembles et quelques propriétés universelles en algèbre. Catégories, foncteurs et transformations naturelles. Exemples choisis parmi les notions d’ensemble, de groupe, d’anneau, d’espace vectoriel ou module et d’espace topologique. Catégorie opposée et principe de dualité. Notions de foncteur adjoint, fonceur représentable, Lemme de Yoneda et applications. Limites et colimites.

Selon le temps disponible dans en arrière-saison, nous aborderons certains parmi les éléments suivants en algèbre homologique dans les catégories additives et abéliennes: catégories de complexes, suites exactes et foncteurs dérivés, localisation de catégories et de foncteurs, introduction aux catégories triangulées et dérivées.

 

Prof. Olivier Collin

MAT7000

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Geometry and Topology 2

1. Differentiable manifolds:
Differentiable manifolds, tangent and cotangent spaces, smooth maps, submanifolds, tangent and cotangent bundles, implicit function theorem, partition of unity. Examples include real projective spaces, real Grassmannians and some classical matrix Lie groups.
2. Differential forms and de Rham cohomology:
Review of exterior algebra, the exterior differential and the definition of de Rham cohomology. The Poincaré Lemma and the homotopy invariance of de Rham cohomology. The Mayer-Vietoris sequence, computation of de Rham cohomology for spheres and real projective spaces. Finite-dimensionality results for manifolds with good covers, the Kunneth formula and the cohomology of tori. Integration of differential forms and Poincare duality on compact orientable manifolds.
3. An introduction to Riemannian geometry:
Existence of Riemannian metrics, isometric immersions, parallel transport and the Levi-Civita connection, the fundamental theorem of Riemannian geometry, Riemannian curvature. Geodesics, normal coordinates, geodesic completeness and the Hopf-Rinow Theorem.

Textbooks:

W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press.
R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology, Springer.

Prof. Niky Kamran

MATH 577

Institution: Université McGill

Geometric Group Theory

Prof. Daniel T. Wise

MATH 583

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Introduction to Algebraic Geometry

This course will serve as an introduction to algebraic geometry, focusing on the classical geometry of algebraic varieties, on the level of Harris' book, "Algebraic Geometry: A First Course", and Chapter 1 of Hartshorne's book, "Algebraic Geometry".

The aim will be to cover the basic theory and beautiful examples that form the backbone of the subject, and to prepare the audience for a more advanced treatment (involving sheaves and schemes) in a later course, should they choose to pursue it.

We plan to cover:

  • affine and projective varieties
  • regular and rational maps
  • geometric constructions, such as blowups, cones and secant varieties
  • examples such as algebraic groups, Grassmannians and quadrics
  • basic properties of varieties, such as smoothness, dimension, degree and Hilbert polynomials
  • plane curves, their singularities and Bézout's theorem

We hope to end the course with a sketch of some more advanced topic(s), depending on the taste of the audience. Possibilities include (but are not limited to) the moduli space of curves; the birational classification of surfaces; the 27 lines on a cubic surface; rudiments of scheme theory; and computational aspects such as Gröbner bases.

Prerequisites: we will assume familiarity with basic ring theory (at the level of MATH 456/457 or MATH 570).  Some previous exposure to differential geometry/topology (such as MATH 458 or MATH 577/578) will be helpful, but is not formally required.

Prof. Brent Pym

MATH 599

Institution: Université McGill

Analyse géométrique

Le laplacien et la théorie elliptique. La géométrie spectrale. Surfaces minimales. Applications analytiques à la géométrie riemannienne, symplectique et kahlerienne, et en physique et sciences informatiques.

Prof. Egor Shelukhin

MAT6230

Institution: Université de Montréal

Groupes et algèbres de Lie

1. Groupes de Lie: Groupes de Lie et leurs algèbres de Lie; exemples de base; homomorphismes; sous-groupes; revêtements; groupes de Lie simplement connexes; l’application exponentielle; homomorphismes continus; sous-groupes fermés; la représentation adjointe; formes bi-liniéaires invariantes.

2. Algèbres de Lie: Idéaux, homomorphismes et représentations; algèbres de Lie résolubles et nilpotentes: théorème d’Engel; algèbres de Lie semi-simples: classification des algèbres de Lie simples.

3. Espaces symmétriques: Espaces localement symmétriques par rapport à une connexion affine; groupes d’isométrie et espaces homogènes. Espaces globalement symmétriques riemanniennes; Groupes de Lie compacts. Triplets de Lie.

Prof. Vestislav Apostolov

MAT 7410

Institution: Université du Québec à Montréal

Topologie algébrique II

Homologie avec coefficients, théorème des coefficients universels. Cohomologie singulière, théorème de coefficients universels pour la cohomologie. Produits, théorème de Künneth. Orientation et dualité dans les variétés. Axiomes d'Eilenberg-Steenrod. Cohomologie de de Rham, de Cech, d'Alexander. Théorème de de Rham. Foncteurs d'homotopie et foncteurs représentables. Théories d'homologie et cohomologie généralisées: K-théorie, cobordisme. Quelques applications élémentaires de la K-théorie et du cobordisme. Homologie avec coefficients locaux.

Prof. Duncan McCoy

MAT 8230

Institution: Université du Québec à Montréal

Topologie

Ce cours est divisé en deux parties. La première partie donne une introduction à la topologie générale, alors que la deuxième partie donne une introduction à la topologie algébrique.

Topologie générale: fonctions continues. Connexité et compacité. Dénombrabilité et axiomes de séparation : espaces de Hausdorff, réguliers, normaux; lemme d'Urysohn; espaces métrisables; théorème de partition de l'unité. Introduction aux groupes topologiques.

Topologie algébrique : groupe fondamental, espaces de revêtements. Exemples et calculs de groupes fondamentaux. Espaces de revêtements, revêtement universel et correspondance de Galois.  Équivalence homotopique et déformation par rétraction. Introduction à l'homologie et la cohomologie. Exemples simples de calculs de groupes d'homologie.

Prof. Line Baribeau

MAT 7175

Institution: Université Laval

Séminaire de combinatoire: Combinatoire algébrique et géométrique de Coxeter

Ce cours est une introduction aux groupes de Coxeter.  Les groupes de Coxeter apparaissent par exemple comme les groupes discrets engendrés par des réflexions sur un espace euclidien, affine ou bien hyperbolique. Ils sont aussi naturellement associés aux algèbres de Lie ou de Kac-Moody via les systèmes de racines. 

Après avoir couvert les bases de la théorie des groupes de Coxeter, nous discuterons des problèmes ouverts qui sont apparus récemment en lien avec l’étude du problème des mots  dans les groupes de tresses d’Artin-Tits, auxquels les groupes de Coxeter sont naturellement associés.

Prof. Christophe Hohlweg

MAT995P

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie: Méthodes transcendantes en géométrie complexe

Ce cours comporte 2 parties. Tout d'abord une partie classique d'introduction à la géométrie complexe pour des variétés de dimension quelconque (en présentant à la fois des aspect analytiques et algébriques). Puis une deuxième partie se concentre sur des aspects plus modernes. L'objectif est alors de voir l'interaction des notions vues précédemment sur des applications concrètes qui sont à l'intersection de la géométrie analytique (étude d'EDP non linéaires), la géométrie algébrique (variétés algébriques projectives) et la géométrie symplectique (action hamiltonienne d'un groupe de Lie).
 
Nous commencerons par introduire les notion de connexion, de métrique hermitienne, de courbure, pour des fibrés vectoriels différentiables complexes. Dans le cas de fibrés vectoriels holomorphes, nous introduirons la connexion de Chern et les classes de Chern. Nous pourrons alors introduire la notion de formule d'intersection et verrons quelques applications élémentaires.
Les variétés Kähler forment une classe importante de variétés complexes. Pour une variété Kähler compacte de dimension quelconque, nous verrons les bases de la théorie de Hodge (théorème de décomposition, théorème d'indice, etc) à partir de l'étude d'opérateurs Laplaciens. 
A partir des théorèmes classiques d'annulation, nous établirons le théorème de plongement de Kodaira qui permet de relier géométrie analytique et géométrie algébrique complexe: une variété compacte complexe est projective si et seulement si elle admet un fibré holomorphe de rang 1 à courbure positive. 
Pour une variété compacte Kähler, nous verrons que dans une classe Kähler l'on peut trouver une métrique Kähler qui réalise une forme volume fixée a priori (théorème de Calabi-Yau) en résolvant une EDP de type Monge-Ampère. Pour des variétés projectives avec première classe de Chern triviale, ce théorème fournit des métriques Kähler avec courbure de Ricci plate que nous étudierons à l'aide du théorème de plongement de Kodaira. L'un des outils essentiel sera l'étude du noyau de Bergman que l'on peut faire en utilisant les estimées L2 d'Hörmander.

Prérequis conseillé : algèbre linéaire, géométrie différentielle

Prof. Julien Keller

MAT 993

Institution: Université du Québec à Montréal

Topics in Algebra and Number Theory: Analysis and group theory

Course overview: The course will start where Math 456 (algebra 3) ends; the emphasis will be on group theory. We shall focus on infinite discrete groups and their actions, using techniques from ergodic theory and functional analysis (e.g., spectral theory, representation theory).  Time permitting, the more recent developments in ergodic theory and the orbit equivalence of group actions will also be covered. 

References: No textbook is required for this course. Suggested reading includes:

V.F.R. Jones. von Neumann algebras.

R.J. Zimmer. Ergodic theory and semisimple groups.

Prof. Michael Pichot

MATH 596

Institution: Université McGill