Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2022-23

Automne

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Daniel T. Wise

MATH 576

Institution: Université McGill

Advanced Topics in Group Theory

Prof. Mikael Pichot

MATH 723

Institution: Université McGill

Topologie: Persistence et triangulation

Les premiers deux tiers de ce cours vont introduire, respectivement, la théorie de catégorie triangulées et la théorie de  persistence - qui a pour origine l’analyse topologique des donnée en IA. Le dernier tier est dédié à mettre ces deux structures ensemble et expliquer comment ceci permet l’étude de classes très larges d’objets géométriques: sous-variétés lagrangiennes d’une variété symplectique; espaces métriques; graphes métriques et bien d’autres. 

Prof. Octav Cornea

MAT6359A

Institution: Université de Montréal

Analyse

Le cours se veut une introduction à certains outils d'analyse pour étudier des équations aux dérivées partielles ayant des origines géométriques.  Les sujets suivants seront couverts:  équation de Laplace, principe du maximum, espaces de Hölder, estimations de Schauder, théorèmes du point fixe, équations elliptiques quasi-linéaires, espaces de Hölder paraboliques, équations paraboliques quasi-linéaires et flots géométriques.

Prof. Frédéric Rochon

MAT 7610

Institution: Université du Québec à Montréal

Géométrie différentielle

Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.

Prof. Olivier Collin

MAT 8131

Institution: Université du Québec à Montréal

Théorie cohomologique: Classes caractéristiques

Le but de ce cours est de développer les éléments de base de la théorie de classes caractéristiques. Nous commençons avec la classification homotopique des fibrés localement triviaux, avec groupe de structure, sur des espaces paracompact. Nous considérons, plus particulièrement, les fibrés vectoriels et leurs opérations naturelles : $\oplus, \times, \otimes, \wedge$, etc. Ensuite, nous étudions la 
théorie des classes caractéristiques : classes de Stiefel-Whitney, classe de Thom, classe d'Euler, classes de Chern, classes de Pontryagin. Nous discutons des approches et interprétations différentes pour ces invariants : axiomatisation, obstructions, cohomologie des espaces classifiant, théorie de Chern-Weil. Chaque approche mène à des applications frappantes. 

Prof. Steven Boyer

MAT 9330

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire en géométrie et topologie: Introduction à la théorie de Yang-Mills et à ses applications à la géométrie et à la topologie de basse dimension

Ce cours porte sur les fondements mathématiques de la théorie de Yang-Mills et ses applications à la topologie. Dans la première partie du cours, je présenterai le contexte mathématique nécessaire à la construction de l'espace modulaire des connexions doubles « anti-self » (solutions des équations de Yang-Mills en dimension quatre). Dans la deuxième partie, je montrerai comment cette technologie peut être employée pour étudier les 4-variétés et les 3-variétés (homologie de Floer instantanée). Si le temps le permet, je parlerai des espaces modulaires des faisceaux de vecteurs sur les courbes de Riemann, ou peut-être de la preuve de Donaldson du théorème de Narasimhan-Seshadri, qui a des applications en géométrie algébrique et en théorie des nombres.

Prof. Antonio Alfieri

MAT993G

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire en géométrie complexe: un cours rapide du MMP de Mori

Pré-requis : Notions et techniques de base en géométrie algébrique ; Il serait bon d'avoir des notions de base des diviseurs et de la théorie de faisceau et leur cohomologie comme normalement fait dans un cours sur les surfaces de Riemann mais absolument pas nécessaire. Un bon cours en analyse complexe.

Résumé du contenu : Après une brève revision de la géométrie Kahlérienne, de la décomposition de Hodge et des faisceaux cohérents et leur cohomologie (une semaine), des notions de positivité et les théorèmes d'annulation, et des cônes variés dans le groupe de diviseurs (ou fibré holomorphe en droites)  à équivalence numérique près (par la théorie d'intersection), on fait un bref tour de ce qui est prouvé ou conjecturé par le MMP (Programme du modèle minimal) de Mori sur les structures et la classification birationnelle des variétés (deux semaines de plus). On concentre dans la première partie de la suite du cours  à la vérification du cas des surfaces algébriques et mentionne un peu l'idée comment le cas de dimension 3 est résolu en utilisant l'approche de Mori. Le reste du cours discutera le lien entre (non)hyperbolicité complexe et les résultats de BCHM qui ont résolu le (bon) MMP pour le cas des variétés de type général et, si le temps le permet, le résultat de médaille Fields récente de Caucher Birkar pour les variétés de Fano.

On utilisera plusieurs références, en particulier le livre de Kollar-Mori pour le MMP de Mori et le livre de Barth, Peters et Van-de-Ven sur le cas des surfaces.

Prof. Steven Lu

MAT993R-020

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Geometry and Topology 2

Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.

Prof. Brent Pym

MATH 577

Institution: Université McGill

Introduction to Algebraic Geometry

Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz.  The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities.  Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy.  Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves.  Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.

Prof. Brent Pym

MATH 518

Institution: Université McGill

Algebraic Topology

CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.

Prof. Piotr Przytycki

MATH 582

Institution: Université McGill

Analyse géométrique

Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.

Prof. Egor Shelukhin

MAT6230

Institution: Université de Montréal

Topologie algébrique

Ce cours est destiné à introduire les bases de la topologie algébrique moderne, un des outils fondamentaux dans bien d'autres branches des mathématiques. Les premiers deux tiers du cours vont couvrir les notions de base liées à l'homotopie, l'homologie singulière ainsi que la co-homologie singulière et les operations homologiques comme le cup-produit. Le dernier tiers du cours va se pencher sur les propriétés homologiques des variétés différentiables en introduisant quelques éléments de la théorie de Morse. Les pré-réquis pour ce cours sont: pour l'algèbre, des éléments de base de la théorie des groupes, anneaux et modules et, pour la topologie, des éléments de base de topologie générale et la definition du groupe fondamental.

Prof. François Lalonde

MAT 6354

Institution: Université de Montréal

Surfaces de Riemann (UQAM)

Prof. Olivier Collin

MAT 7113

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie et topologie - Sphères exotiques en dimensions supérieures

En 1958, Milnor a réfuté la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures en démontrant l'existence de 7-sphères exotiques (c'est-à-dire des variétés lisses qui sont homéomorphes mais pas difféomorphes à la 7-sphère). Quelques années plus tard, Milnor et Kervaire ont montré que pour toute dimension n plus grande que cinq, il n'existe qu'un nombre fini de sphères exotiques de dimension n. Leur travail est une combinaison de nombreuses belles idées en topologie lisse et algébrique. Ce cours donnera le contexte nécessaire pour comprendre les résultats de Milnor et Kervaire et certains des développements ultérieurs.

 Les sujets abordés comprendront le théorème du h-cobordisme, la théorie de la chirurgie, le J-homorphisme et la théorie des cobordismes. D'autres sujets pourront être inclus selon temps et de l'intérêt. Des connaissances de base en topologie algébrique (homologie et groupes d'homotopie) sont un prérequis pour ce cours. Une connaissance des classes caractéristiques et de la topologie différentielle (transversalité et théorie de Morse) est souhaitable, mais pas essentielle.

Prof. Duncan McCoy

MAT993C

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie - Géométrie kählérienne : une introduction à la K-stabilité

Le fil directeur de ce cours est un concept central en géométrie kählérienne actuelle : la K-stabilité.  Après un survol de la théorie "classique" des variétés kählériennes, on introduira cette notion, dérivée de la Théorie géométrique des invariants, en précisant les motivations de Yau, Tian et Donaldson à la faire émerger, eu égard, notamment, au problème de Calabi, et on dressera un panorama (le plus complet possible) de l'état de la recherche dans ce domaine.

Prof. Hugues Auvray

MAT993S

Institution: Université du Québec à Montréal