La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.
Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.
La plupart des chercheurs du groupe font partie du CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.
Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:
Topics from differentiable manifolds, tangent space, cotangent space, immersions, orientation, vector fields, differentiable forms, integration on manifolds, Riemannian metrics, curvature tensors, Bonnet-Myers Theorem and Synge Theorem, fundamental group, manifolds of negative curvature, the sphere theorem, eigenvalues of Riemannian manifolds, and de Rham theory.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
Textbook: Martin Bridson and André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature, complementary reading: Michael W.Davis: The geometry and topology of Coxeter groups.
Syllabus: This will be a course on curvature defined in metric terms instead of differential-geometric. We will start with studying a handful of examples: hyperbolic geometry, complex hyperbolic geometry, symmetric spaces. We will give some motivation from differential geometry but we will introduce the spaces of metric non-positive curvature using a purely metric condition. We will discuss singular examples of such spaces such as trees or polyhedral complexes, in particular cube complexes. We will prove the Cartan-Hadamard theorem saying that if a simply connected metric space is locally nonpositively curved, then it is globally nonpositively curved.
We will discuss isometries and groups of isometries acting on such spaces. We will prove the flat torus theorem, the fixed-point theorem for finite subgroups, and we will discuss the decision problems such as the word problem and the conjugacy problem. We will define the boundary at infinity of such a space. We will discuss further examples such as Coxeter groups and buildings. Finally, we will mention constructions using complexes of groups.
Target Audience: Second-degree mathematics/physics undergraduates - PhD students
This course introduces several of the principal geometric structures relevant to the description of classical mechanics and classical field theories. Basic knowledge of differential geometry is assumed, including vector and principal bundles, Poincaré's lemma, and calculus on manifolds. Half of the course delves into standard topics in symplectic, Poisson, and Dirac geometry, while the latter segments focus on structures pertinent to contemporary research problems. These include contact and multisymplectic geometry, along with their Marsden-Weinstein reductions. Notably, contact geometry has experienced a revival in recent years, with significant attention directed toward its application in the study of Hamiltonian systems. Additionally, its analogue for field theories, k-contact geometry, has also attracted interest. I will review modern attempts at devising a multisymplectic reduction, which has remained unsolved for approximately three decades. More information on the subject can be found at https://delucasaraujo.wixsite.com/uniwersytet/blank-2.
Room 5448, Pavillon André-Aisenstadt
Université de Montréal
Fridays, 10:30-12:30
September 8 - December 15
Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.
On commencera par un cours rapide de la géométrie algébrique complexe concentré d’abord sur le cas de courbes avec les courbes elliptiques comme modèle. On parlera des aspects saillants des bases de la géométrie birationelle et des espaces de modules mais d’un point de vue surtout sur les courbes et leur rôle omniprésent. Puisque les courbes holomorphes viennent naturellement, une petite partie du cours sera sur la géométrie hyperbolique complexe basé par exemple d’une partie du livre classique de S. Lang. On va étudier de finitude et rigidité des courbes complexes et leur conjectures actuelles qui sont analogues des conjectures en géométrie arithmétiques classiques de Mordell et de Shafarevich concernant la finitude des points rationnelles dans le cas de variétés et des espaces de modules. En même temps, on traitera le cas où la rigidité ne se réalise pas et surtout le célèbre résultat de “bend & break” de Mori concernant l’existence des courbes rationnelles dans une variété et ses consequences en géométrie birationnelle. On va développer un sens des avances récentes en géométrie birationnelle (incluant possiblement BCHM) et en espaces de modules et finir avec des solutions partielles des conjectures clefs qui sont ouvertes.
Pré-requis: (1) Une bonne connaissance de l’analyse complexe. (2) Soit une grande motivation soit des connaissances de base sur les variétés comme dans un cours de géométrie différentielle, de surfaces de Riemann ou d’un cours en géométrie algébrique.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
Variétés différentiables, formes différentielles, fibrés. Partitions de l’unité. Groupes à un paramètre de difféomorphismes, dérivée et crochet de Lie. Intégration et théorème de Stokes. Cohomologie de De Rham. Éléments de géométrie riemannienne.
Homologie avec coefficients, théorème des coefficients universels. Cohomologie singulière, théorème de coefficients universels pour la cohomologie. Produits, théorème de Künneth. Orientation et dualité dans les variétés. Axiomes d'Eilenberg-Steenrod. Cohomologie de de Rham, de Cech, d'Alexander. Théorème de de Rham. Foncteurs d'homotopie et foncteurs représentables. Théories d'homologie et cohomologie généralisées: K-théorie, cobordisme. Quelques applications élémentaires de la K-théorie et du cobordisme. Homologie avec coefficients locaux.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons la notion de variété torique, de deux points de vue complémentaires : le point de vue de la géométrie symplectique et les actions hamiltoniennes (la théorie de Delzant) et le point de vue de la géométrie algébrique complexe (la théorie des polytopes entiers et les éventails). Dans une deuxième partie du cours, nous nous spécialiserons dans l'étude de la géométrie riemannienne des variétés toriques et décrirons les métriques riemanniennes compatibles en termes de fonctions convexes lisses sur le polytope de Delzant correspondant (la théorie d'Abreu-Guillemin). Ceci nous conduira à notre objectif final qui est de présenter la résolution récente (obtenue par Chen-Cheng en 2021) de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, donnant une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes du polytope de Delzant correspondant, pour qu’une variété torique admette une métrique riemannienne compatible de courbure scalaire constante.
Le seul pré-requis est un premier cours de géométrie différentielle sur les variétés. Le cours servira de préparatif pour l'école doctorale CRM-SMS Travaux récents sur les métriques de Kähler à courbure spéciale (17-21 juin 2024, https://www.crmath.ca/activites/#/type/activity/id/3897.