Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2021-22

Automne

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Daniel T. Wise

MATH 576

Institution: Université McGill

Géométrie différentielle - UdeM

Préliminaires: topologie générale, théorème des fonctions implicites, et théorème fondamental des équations différentielles ordinaires (EDO) dans les espaces euclidiens. Variétés différentiables, formes différentielles, fibrés. Partitions de l’unité. Groupes à un paramètre de difféomorphismes et généralisation du théorème des EDO, dérivée et crochet de Lie. Intégration et théorème de Stokes. Cohomologie de De Rham. Éléments de géométrie riemannienne.

Note: In this course, I will speak in English and write in French!

Prof. François Lalonde

MAT6330

Institution: Université de Montréal

Topologie générale

Structures topologiques. Convergence de suites généralisées et axiomes de séparation. Fonctions continues. Espaces topologiques produits et topologie quotient. Plongement et métrisabilité. Espaces topologiques compacts et théorème de Tychonoff. Compactification de Stone-Cech. Structures uniformes et complétion. Espaces uniformes métrisables et théorème de Baire.

Prof. Tomasz Kaczynski

MAT 723

Institution: Université de Sherbrooke

Topologie algébrique I

Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.

Prof. Duncan McCoy

MAT 7032

Institution: Université du Québec à Montréal

Groupes ordonnables et la topologie de basse dimension

Dans ce cours nous développerons les éléments de base de la théorie des groupes ordonnables et leur applications à la topologie de basse dimension. En particulier, nous discuterons de la conjecture de L-espace qui prétend l'équivalence entre l'ordonnabilité du groupe fondamentale d'une 3-variété et de certaines de ses propriétés topologique et analytique.

Prof. Steven Boyer

MAT 993F

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Geometry and Topology 2

Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.

Prof. Brent Pym

MATH 577

Institution: Université McGill

Geometric Group Theory

Actions on trees. Cayley graphs. The word problem. Hyperbolic groups. Quasi-isometry invariants.

Prof. Daniel Wise

MATH 583

Institution: Université McGill

Advanced Topics in Algebraic Geometry

Background: Background in algebraic geometry and schemes is assumed (say at the level of a first course in each), as well as algebraic number theory. A highly motivated student may be able to acquire this background on their own in preparation for the course. Please contact the instructor if you are not sure you have sufficient background.

Syllabus: Topics in the theory of Shimura varieties. The exact syllabus depends on the audience. Some topics I am considering are:
(1) A tour of Shimura varieties of low dimension - modular curves, Hilbert-Blumenthal surfaces, Picard modular surfaces, quaternionic modular surfaces, Siegel modular threefolds.
(2) Toric varieties and toroidal compactifications of Shimura varieties of low dimension.
(3) Group schemes, Dieudonné modules and stratification of moduli spaces of abelian varieties.
(4) Dimension formula for modular forms.
(5) Deformation theory of abelian varieties and local models.

Prof. Eyal Goren

MATH 722

Institution: Université McGill

Topologie différentielle

Variétés, transversalité et degré. Théorème de Sard. Éléments de la théorie de Morse. Complexe de Morse. Théorème de Hopf-Poincaré. Cobordisme. Signature. Théorème de h-cobordisme. Classes caractéristiques. Espaces de Thom, groupes de cobordisme.

Prof. Egor Shelukhin

MAT6350

Institution: Université de Montréal

Groupes et algèbres de Lie

Définitions, exemples et propriétés de base des groupes et algèbres de Lie. Classification et structure des algèbres de Lie semi-simples. Décomposition de Cartan: algèbres de Lie réelles. Formule des caractères de Weyl. Représentations orthogonales et symplectiques.

Prof. Frédéric Rochon

MAT 7410

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie et topologie : Techniques transcendantes et géométrie de Kähler

Variétés complexes, variétés projectives, variétés de Kähler. Fibrés holomorphes hermitiens. Théorie de Hodge élémentaire. Positivité et théorème de plongement de Kodaira. Notions de courbure. Équation de Monge-Ampère complexe. Équation d'Hermite-Einstein. Correspondance de Kobayashi-Hitchin pour les fibrés. Noyau de Bergman. Applications à la géométrie algébrique complexe.

Prof. Julien Keller

MAT993-20

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie et topologie : Courbes holomorphes et algébriques en géométrie complexe

Le cours commencera avec des bases de la géométrie complexe visées pour l’étude du rôle des courbes complexes en dimension plus grande, telle que leurs implications pour la géométrie birationelle, topologie et arithmétique d’une variété algébrique en générale. On mettra accent sur appliquer les techniques de la géométrie (algébrique) complexe plutôt que la théorie derrière eux, ce qu’on va souvent prendre comme des boites noires en dimension plus grande pour ceux qui ne l'ont pas vu. Cependant, on traitera plus en profondeur des techniques de base des courbes complexes (i.e. surfaces de Riemann) comme leurs espaces de module, déformation et dégénérescence dans une famille, leur comportement ‘’arithmétique’’ et holomorphe, l’effet de la courbure dans la géométrie, surtout sur l’intersection avec une hyperplane, des courbes holomorphes (i.e. la théorie de distribution de valeurs) et dans l’arithmétique, etc. On touchera si possible à des conjectures de Vojta et son dictionnaire entre la théorie de distribution de valeur et la distribution des points rationnels dans une variété algébrique complexe. 

 Pré-requis minimaux: Analyse complexe, géométrie différentielle.  

 Une connaissance de la théorie de Surface de Riemann ou bien des courbes algébriques projective (en dimension deux) serait bon mais pas obligatoire.

Prof. Steven Lu

MAT993

Institution: Université du Québec à Montréal