Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la quantification des systèmes de Hitchin et le programme de Langlands géométrique, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2017-18

Automne

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Daniel T. Wise

MATH 576

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Theory of Riemann Surfaces

The aim of the course is to cover the basic theory of compact Riemann surfaces, or, alternately, one dimensional smooth projective curves over the complex numbers. The two terminologies reflect a very useful tension between analysis, on one hand, and geometry on the other, and the course aims to both understand these tensions and exploit them (a third, more algebraic aspect, of thinking of affine Riemann surfaces as field extensions of transcendence degree one of the complex numbers, will only be covered more tangentially). The course could at the same time serve as an introduction to some basic ideas of algebraic geometry, such as sheaves and their cohomology. The topics to be covered include the basic theory of coverings, analytic continuation, and algebraic curves; the elements of sheaves and their cohomology; differential forms on a surface, and their integration; the Dolbeault lemma, the Riemann-Roch theorem and Serre duality; Abel’s theorem, and the Jacobian of a curve. If time permits, I would hope to give some elements of the theory of theta-functions.

Prof. Jacques Hurtubise

Math 599- 001

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Representations of Compact Lie Groups

Lie groups, Lie algebras and their representations play an important role in many areas of pure and applied mathematics, ranging from differential geometry and geometric analysis to classical and quantum mechanics. Our goal is to give a motivated introduction to the representation theory of compact Lie groups and their Lie algebras, the essentials of which go back to the classical works of Elie Cartan and Hermann Weyl.

Prof. Niky Kamran

MATH 599 - 002

Institution: Université McGill

Topologie algébrique I

Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.

Prof. Steven Boyer

MAT 7032-20

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de maîtrise en mathématiques 1

Prof. Steven Lu

MAT8881-10

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie - Géométrie différentielle des variétés à coins

Le but du cours sera dans un premier temps d'introduire les notions et les résultats de base de la géométrie différentielle des variétés à coins.  On parlera en particulier de b-champs de vecteurs, de développements polyhomogènes, d'éclatements de sous-variétés et de variétés riemanniennes ayant une structure de Lie à l'infini.    Ces notions et ces résultats nous permettront dans un deuxième temps d'utiliser les variétés à coins pour faire de l'analyse géométrique.  On expliquera entre autres comment les variétés à coins apparaissent naturellement et s'avèrent très utiles lorsqu'on veut résoudre l'équation de la chaleur sur une variété riemannienne.  On expliquera aussi comment les variétés à coins peuvent être utilisées pour construire certains exemples de variétés de Calabi-Yau complètes.  

Prof. Frédéric Rochon

MAT993K

Institution: Université du Québec à Montréal

Géométrie différentielle - UdeM

Rappels de topologie et d’algèbre tensorielle. Variétés différentiables, espaces tangents, différentielle des fonctions, partitions de l’unité, tenseurs et formes différentielles, champs de vecteurs, théorème fondamental des EDO et dérivée de Lie. Intégration et théorème de Stokes, théorème de Fröbenius sur les distributions, cohomologie et théorème de DeRham. Métriques riemanniennes, connexions, dérivée covariante, géodésiques et courbure. 

Prof. François Lalonde

MAT 6381

Institution: Université de Montréal

Sujets spéciaux en équations aux dérivées partielles: Existence of geodesics and low-dimensional dynamics.

I plan to discuss questions about the existence of closed geodesics on Riemannian manifolds. The first goal is to present the result of Bangert-Franks-Hingston on the existence of an infinite number of geodesics for any Riemannian metric on S2, discussing the relevant 2-dimensional dynamics. Time permitting, further topics may include homological methods and applications of non-linear Cauchy-Riemann equations to questions of this kind.

Time: Wednesdays, 14h00-17h15.

Prof. Egor Shelukhin

MAT 6120

Institution: Université de Montréal

Hiver

Geometry and Topology 2

1. Differentiable manifolds:
Differentiable manifolds, tangent and cotangent spaces, smooth maps, submanifolds, tangent and cotangent bundles, implicit function theorem, partition of unity. Examples include real projective spaces, real Grassmannians and some classical matrix Lie groups.
2. Differential forms and de Rham cohomology:
Review of exterior algebra, the exterior differential and the definition of de Rham cohomology. The Poincaré Lemma and the homotopy invariance of de Rham cohomology. The Mayer-Vietoris sequence, computation of de Rham cohomology for spheres and real projective spaces. Finite-dimensionality results for manifolds with good covers, the Kunneth formula and the cohomology of tori. Integration of differential forms and Poincare duality on compact orientable manifolds.
3. An introduction to Riemannian geometry:
Existence of Riemannian metrics, isometric immersions, parallel transport and the Levi-Civita connection, the fundamental theorem of Riemannian geometry, Riemannian curvature. Geodesics, normal coordinates, geodesic completeness and the Hopf-Rinow Theorem.

Textbooks:

W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press.
R. Bott and L. Tu, Differential forms in algebraic topology, Springer.

Prof. Niky Kamran

MATH 577

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Topology and Geometry of 3-manifolds

A compact oriented surface is homeomorphic either to a sphere, a torus obtained from gluing opposite sides of a square, or to a surface obtained from gluing the sides of a hyperbolic polygon. The goal of the course is to indicate a similar classification in dimension 3. We will start following the notes of Hatcher, where two classical decompositions (prime and JSJ) of a 3-manifold into smaller pieces are described.

We will then follow the book of Thurston edited by Levy. Thurston conjectured that each piece carries one of the 8 model geometries. We will discuss each of the geometries, provide examples, and study their fundamental groups.

The most ubiquitous geometry is the hyperbolic geometry, on which we will focus at the end of the course. Some of the examples will be geometrically finite hyperbolic groups (obtained as surfaces from gluing finite polyhedra), and quasifuchsian groups. We will finish with a sketch of the proof of Mostow's rigidity theorem saying that for a compact hyperbolic 3-manifold, its fundamental group determines its isometry type.

Prof. Piotr Przytycki

MATH 599

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Wise

Prof. Daniel T. Wise

MATH 599

Institution: Université McGill

Groupes et algèbre de Lie

Ce cours présentera une introduction générale à la théorie de groupes de Lie et la théorie d’espaces symétriques. Nous privilégierons  les aspects géométriques de la théorie, ce qui rend le cours  un complément  naturel du cours donné par Yvan Saint-Aubin sur la théorie algébrique et combinatoire des algèbre de lie. Voici une courte description du contenu:

1.    Rappels de Géométrie différentielle  : Variétés différentiables; algèbre tensoriel et champs de tenseurs lisses sur une variété. Applications différentiables entre variétés; Connexions et dérivées covariantes; application exponentielle.
 
2.     Groupes de Lie : Groupes de Lie et leurs algèbre de Lie ; exemples de base ; homomorphismes ; sous-groupes ; revêtements ;  groupes de Lie simplement connexes ; l’application exponentielle ; homomorphismes continus ; sous-groupes fermés ; la correspondence de Lie. La représentation adjointe ; formes bilinéaires invariantes.
 
3.     Algèbres de Lie : algèbres de Lie semi-simples et leur classification (résumé).
 
4.     Espaces symétriques:  Espaces localement symétriques par rapport à une connexion affine; groupes d’isométrie et espaces homogènes. Espaces globalement symétriques riemanniennes; Groupes de Lie compacts. Triplets de Lie.
 
 Références : Les notes seront en principe suffisantes.  Il y a une immense littérature sur le sujet. On pourra par exemple consulter les livres suivants :
 
Groupes de Lie :
 
1.     F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag.
2.     S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS.
3.     S. Kobayshi and Numizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, II, Interscience Pub.
4.     C. Chevalley, Theory of Lie groups I, Princeton University Press.
 
Algèbres  de Lie et la théorie des représentations :
 
5.     J. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and representation theory, Springer Verlag.
6.     W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Springer-Verlag.
 

Prof. Vestislav Apostolov

MAT 7410-20

Institution: Université du Québec à Montréal

Géométrie algébrique et algèbre commutative

Anneaux de polynômes. Théorème de base et théorème des zéros de Hilbert, élimination classique. Dimension de Krull des anneaux. Localisation dans les anneaux. Variétés affines et projectives. Topologie de Zariski. Composantes irréductibles. Dimension de Krull. Schémas affines et projectifs. Paysage du local au global. Degré et multiplicité d'intersection. Théorème de Bezout pour les courbes planes et généralisations. Méthodes algorithmiques: bases de Gröbner, calcul avec les idéaux, calcul de dimension, de genre, de résolutions libres minimales à l'aide de logiciels.

Prof. Steven Lu

MAT8001-20

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie - hiver

Prof.

MAT993X

Institution: Université du Québec à Montréal