Mathématiques appliquées et calcul scientifique

Description du programme

Les intérêts de recherche des membres du groupe couvrent plusieurs domaines connexes dont systèmes dynamiques et équations différentielles avec retard; la mécanique des fluides et des milieux continus; la physique des matériaux, les transitions de phase et la croissance des cristaux; les méthodes numériques en dynamique des fluides et l'analyse asymptotique; l'optimisation de forme et de structure; et le contrôle des équations aux dérivées partielles.

Deux centres de recherche sont affiliés au groupe:

Membres du programme

Formation

L'objectif de ce programme est de donner une formation moderne en mathématiques orientée vers les applications et l'utilisation de l'ordinateur comme outil d'analyse, d'optimisation et de contrôle de systèmes physiques et technologiques. Ce programme accueille des étudiants avec des formations solides (allant de la physique et du génie aux mathématiques) qui désirent travailler dans le domaine des équations aux dérivées partielles et de leurs applications. Le spectre du programme est assez large pour accommoder aussi bien le développement de logiciels ou la modélisation physique que des sujets fins d'analyse fonctionnelle ou d'équations aux dérivées partielles.

L'intention est d'associer les étudiants aux activités de groupes de recherche locaux, gouvernementaux ou industriels, comme par exemple l'Agence Spatiale Canadienne ou d'autres organisations avec lesquelles des membres du groupe responsable du programme sont ou ont été impliqués.

Le programme couvre plusieurs domaines connexes dont:

  • systèmes dynamiques et équations différentielles avec retard.
  • la mécanique des fluides et des milieux continus.
  • la physique des matériaux, les transitions de phase et la croissance des cristaux.
  • les méthodes numériques en dynamique des fluides et l'analyse asymptotique.
  • l'optimisation de forme et de structure.
  • le contrôle des équations aux dérivées partielles.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant il est fortement conseillé de choisir les cours en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme et de tenir compte des recommandations suivantes.

  1. Tous les étudiants devraient prendre des cours d'équations aux dérivées partielles: par exemple les cours MATH 580 et MATH 581 à McGill et MAT 6110 à l'U de M.
  2. Il est essentiel pour la plupart (et désirable pour tous) de développer ses aptitudes au calcul scientifique en suivant des cours pertinents en analyse numérique. Au delà des cours d'introduction principalement au premier cycle, les cours essentiels portent sur le calcul scientifique (MATH 578 à McGill et MAT 6470 à l'U de M), les équations numériques différentielles (MATH 579 à McGill) les méthodes aux différences finies (MAT 6165 à l'U de M), les méthodes d'éléments finis (MTH 6206/7 à Polytechnique et le cours de MAT 6450 à l'U de M).
  3. Les étudiants devraient acquérir des connaissances dans les domaines proches de la physique comme la mécanique des fluides, celle des milieux continus, la thermodynamique, etc. Les cours visés portent les sigles MATH 555 à McGill et MAT 6150 à l'U de M; les départements de physique et de génie offrent aussi d'autres cours pertinents.
  4. Les étudiants en mécanique des fluides ou sciences des matériaux devraient suivre un cours en méthodes asymptotiques et en méthodes de perturbation (MATH 651 à McGill ou MTH 6506 à Polytechnique).
  5. Les étudiants qui désirent travailler en optimisation de formes ou en contrôle devraient prendre au moins un cours en optimisation. Les cours suivants sont donnés régulièrement : MATH 560 à McGill; MAT 6428, MAT 6439 (Optimisation et contrôle), MAT 6441 (Analyse et optimisation de forme) à l'U de M; MTH 6403 et MTH 6408 à Polytechnique.
  6. Les étudiants qui désirent travailler en optimisation de formes ou en contrôle des équations aux dérivées partielles devront acquérir des connaissances en analyse mathématique et en analyse fonctionnelle.

L'évolution future et la formalisation du programme se feront dans le cadre décrit ci-dessus. Celui-ci est assez large pour éventuellement permettre l'ajout de nouveaux thèmes selon les besoins.

Cours 2019-20

Automne

Algorithmes pour l’optimisation et l’analyse des megadonnées

Algorithmique des méthodes d'exploitation des mégadonnées. Analyse de complexité, structures de données, calcul parallèle et distribué.

Ce cours traite de l'analyse algorithmique, de la complexité de calculs et des structures de données. Afin de mieux faire face aux besoins grandissants des entreprises quant à la capacité de traitement de l'information, l'emphase sera mise sur la parallélisation. Les conditions pour le succès de la mise en oeuvre parallèle d'un programme selon divers paradigmes sera abordée. En particulier, les programmes avec mémoire partagée, avec échange d'information au sein d'un réseau local ou le calcul distribué.

Thèmes couverts
1. Programmation séquentielle et analyse algorithmique.
2. Calcul parallèle avec mémoire partagée (utilisation de fils, threads).
3. Calcul parallèle synchronisé sans mémoire partagée (utilisation de MPI).
4. Calcul distribué (utilisation de hadoop/spark).

Prof.

60607

Institution: HEC Montréal

Algorithms for Optimization and Big Data Analysis

Algorithmic methods for big data analysis. Complexity analysis, data structure, parallel and distributed computing.

The course is organized in 4 themes that will cover various aspects of algorithmic for big data, starting from sequential programming and ending with distributed computing. In the first part of the course, the student will learn to analyze an algorithm from the computational complexity and memory requirement. The second theme in the course deals with parallel computing with shared memory. The efficiency of the parallelization and memory safety will be discussed and analysed. In the third theme, the message passing interface (MPI) will be explored, which consists in simultaneous and collaborative parallel computing without shared memory. Finally, the basics of distributed computing, its strength and requirements will be introduced. The choice of the best approach toward the resolution of a problem will depend on the problem and the nature of the data.

Thèmes:
Theme 1 - Sequential programming, algorithmic analysis.
Theme 2 - Parallel computing with shared memory (using threads).
Theme 3 - Synchronous parallel computing without shared memory (MPI).
Theme 4 - Distributed computing.

Prof.

60607A

Institution: HEC Montréal

Résolution numérique des EDO et des EDP

Approximation des fonctions. Intégration numérique. Méthodes numériques pour les systèmes d'équations différentielles. Différences finies pour les équations aux dérivées partielles.

Prof. André Fortin

MAT 7235

Institution: Université Laval

Algorithmic Game Theory

Prof. Adrian Vetta

MATH 553

Institution: Université McGill

Numerical Analysis 1

Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.

Prof. Jean-Christophe Nave

MATH 578

Institution: Université McGill

Partial Differential Equations 1

Prof. Rustum Choksi

MATH 580

Institution: Université McGill

Topics in Applied Mathematics: Mathematics of Machine Learning

Course description: This is a graduate level topics course on mathematical foundations of machine learning.

Topics:

• Review

  1. Calculus and Vector Calculus
  2. Statistics and Probability
  3. Analysis: norms for vectors and function, limits and convergence

• Optimization in machine learning

  1. Gradient and Stochastic Gradient descent
  2. Adversarial Attacks and constrained optimization

• Support Vector Machines

  1. Reproducing Kernel Hilbert Spaces
  2. Fourier Space

• Regularization

  1. Machine Learning Regularization
  2. Mathematical Regularization in inverse problems in image processing

• Generalization Theory

  1. Rademacher complexity and Deep Neural Networks
  2. Generalization via stability
    Generalization via robustness and regularization

• Adversarial Robustness

• Losses for classification

Schedule: two 90 minute lectures per week. Anticipated: Tues/Thursday or Monday/Weds morning in Burnside Hall (McGill)

We will meet in the first week of class to set the schedule.

Prof. Adam Oberman

MATH 597

Institution: Université McGill

Mathématiques appliquées, sujets spéciaux : analyse géométrique en science des données

Formulation et modélisation analytique des géométries intrinsèques de données. Algorithmes pour les construire et les utiliser en apprentissage automatique. Applications : classification, regroupement et réduction de la dimensionnalité.

Prof. Guy Wolf

MAT 6480

Institution: Université de Montréal

Hiver

Optimisation

Ce cours offre un premier contact avec les notions liées à la convexité et à la dualité en optimisation. On y présente les principes de base de l'analyse convexe et le concept de problème dual est introduit dans le cadre de la théorie des perturbations. On y considère aussi la notion de lagrangien augmenté. Ces bases servent ensuite à asseoir diverses applications dont la programmation non linéaire classique et des problèmes de commande optimale ou d'inéquations variationnelles. Chaque fois que la chose sera possible, on traduira les concepts théoriques en méthodes numériques permettant le calcul effectif des solutions dérivées.

Prof. Jose Urquiza

MAT 7425

Institution: Université Laval

Méthodes numériques avancées pour les EDP

Rappel sur les E.D.P. Notions de distributions. Espaces de Sobolev. Problèmes aux limites elliptiques : formulation variationnelle, existence et unicité, exemples. Méthodes des différences finies : problèmes elliptiques, paraboliques, équation de transport. Éléments finis pour les problèmes elliptiques : dimensions 1 et 2, éléments finis de Lagrange, estimation d'erreur, intégration numérique.

Prof. Jean Deteix

MAT 7435

Institution: Université Laval

Optimization

Prof. Tim Hoheisel

MATH 560

Institution: Université McGill

Numerical Differential Equations

The main focus will be on mathematical analysis of finite element methods. If time permits, topics on adaptivity will be included.

Prof. Gantumur Tsogtgerel

MATH 579

Institution: Université McGill

Partial Differential Equations 2

The main focus will be on nonlinear problems. Variational methods, regularity theory, semilinear problems with critical growth, global behaviour of nonlinear wave equations, and equations of fluid mechanics will be discussed.

Prof. Gantumur Tsogtgerel

MATH 581

Institution: Université McGill

Systèmes dynamiques

Ce cours est une introduction à la théorie des systèmes dynamiques et à ses applications. En un premier temps, des techniques classiques d’analyse de dynamique seront présentées : flots continus et discrets, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations et formes normales. En un deuxième temps, une introduction à la théorie ergodique et un survol d’applications modernes sera présentée : dynamique chaotique, attracteurs étranges, entropie dynamique, systèmes à haute dimension (ex. réseaux), dynamique entrainée et transformation d’information. Une attention particulière sera accordée au traitement de systèmes dynamiques performant des computations.

Prof. Guillaume Lajoie

MAT 6115

Institution: Université de Montréal

Génétique mathématique

Ce cours est une introduction aux méthodes mathématiques de l’analyse génétique dans un contexte contemporain. Le cours se base sur les intérêts et besoins de disciplines scientifiques telles que l’oncologie, l’immunologie, la virologie, la pharmacogénomique et d’autres domaines biologiques touchés par les avances récentes en séquençage. Le contenu est divisé parmi les catégories suivantes:

 1. Facteurs d’évolution : sélection, mutation, migration, recombinaison, apparentement.

 2. Dynamiques de la diversité génétique des populations : processus de branchement (modèles de Wright-Fisher, de Moran), modèles à une infinité d’allèles.

 3. Bio-informatique/biologie des systèmes, reconstruction et inférence de réseaux génétiques, «-omiques».

 

Prof. Morgan Craig

MAT 6460

Institution: Université de Montréal

Calcul scientifique

Virgule flottante. ÉDOs. Modélisation et simulations. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Gestion de données. Valeurs propres. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes.

Prof. Robert G. Owens

MAT 6470

Institution: Université de Montréal