Analyse

Description du programme

Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :

  • Analyse sur les variétés : la géométrie spectrale (valeurs propres et fonctions propres des Laplaciens), le chaos quantique.
  • Analyse classique
  • Analyse complexe : approximation complexe, les groupes discrets à deux générateurs, la dynamique complexe, l’analyse à plusieurs variables complexes et les multifonctions analytiques.
  • Théorie ergodique : la théorie spectrale des transformations qui préservent la mesure, les résultats de type Baire en théorie ergodique et les généralisations des théorèmes ergodiques aux suites de projections généralisées.
  • Analyse fonctionnelle : les algèbres de Banach, les résolvantes et la contrôlabilité des opérateurs, le théorème spectral généralisé et les suites d’opérateurs auto-adjoints et leurs limites faibles, l’analyse des matrices et les inégalités, la théorie spectrale et la physique mathématique.
  • Analyse harmonique : les séries trigonométriques, les formes automorphes, les intégrales singulières, les transformées de Fourier, les opérateurs multiplicateurs, la théorie de Littlewood-Paley, les fonctions harmoniques sur Rn, les espaces de Hardy, les fonctions carrées, les liens entre l’analyse harmonique et la théorie des probabilités et la théorie ergodique.
  • Équations aux dérivées partielles : les liens avec l’analyse fonctionnelle, géométrique et harmonique.
  • Théorie du potentiel : la dualité dans la théorie du potentiel, l’approximation harmonique, le comportement aux frontières et la théorie du potentiel sur les arbres.

Membres du programme

Formation

Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.

Prérequis:

Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.

  • Measure Theory (Concordia MAST 669)
    Functional Analysis I (Concordia MAST 662)
  • ou
  • Advanced Real Analysis I (McGill MATH-564)
    Advanced Real Analysis II (McGill MATH-565)
    Advanced Complex Analysis (McGill MATH-566)
  • ou
  • Mesure et intégration (Université de Montréal MAT 6111)
    Analyse fonctionnelle (Université de Montréal MAT 6112)
    Topologie générale (Université de Montréal MAT 6310)
    Analyse complexe: sujets spéciaux (Université de Montréal MAT 6182K)
  • ou
  • Analyse fonctionnelle I (Laval MAT-7100)
    Théorie de la mesure et intégration (Laval MAT-6000)
    Équations aux derivées partielles (Laval MAT-7220)

Cours 2020-21

Automne

Topics in Analysis: Convex and Nonlinear Analysis

Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course’s aim is to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern results such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.

Prof. Alina Stancu

MAST 680B (MAST 837B)

Institution: Concordia University

Functional Analysis

Topics include: Hilbert spaces, Banach spaces, linear functionals, dual spaces, bounded linear operators, adjoints; the Hahn-Banach, Baire caterogy, Banach-Steinhaus, open mapping and closed graph theorems; compact operators, the Fredholm alternative, the spectral theorem; the weak/weak* topologies.

Prof. Galia Dafni

MAST 662/2 (MAST 837)

Institution: Concordia University

Mesure et intégration

Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym. L'étudiant qui a réussi le cours MAT-4000 ou MAT-6000 ne peut s'inscrire à ce cours.

Prof.

MAT 6005

Institution: Université Laval

Analyse fonctionnelle

Ce cours vise l'acquisition des notions fondamentales de l'analyse fonctionnelle. Les thèmes traités sont les suivants : espaces normés, opérateurs linéaires, espaces de Banach et espaces de Hilbert; théorème de Hahn-Banach, théorème de Baire, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, théorème de Stone-Weierstrass et théorème d'Arzelà-Ascoli; opérateurs compacts; introduction à la théorie spectrale; topologies faibles, théorème d'Alaoglu.

Prof. Line Baribeau

MAT 7105

Institution: Université Laval

Équations aux dérivées partielles - Université Laval

Ce cours porte sur les résultats classiques pour les équations aux dérivées partielles : l'équation de Poisson, l'équations de la chaleur, l'équations des ondes, l'équation de transport; la classification des équations du second ordre, les principes de maximum, l'inégalité de Harnack, le lemme de Hopf, les solutions faibles, le lemme de Lax-Milgram, la régularité de Sobolev et de Hölder de solutions faibles, le calcul de variations, l'équation des surfaces minimales.

Prof. Damir Kinzebulatov

MAT 7225

Institution: Université Laval

Advanced Real Analysis 1

Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.

Prof. John Toth

MATH 564

Institution: Université McGill

Introduction to Functional Analysis

Banach and Hilbert spaces, theorems of Hahn-Banach and Banach-Steinhaus, open mapping theorem, closed graph theorem, Fredholm theory, spectral theorem for compact self-adjoint operators, spectral theorem for bounded self-adjoint operators. Additional topics to be chosen from: Lorentz spaces and interpolation, Banach algebras and the Gelfand theory, distributions and Sobolev spaces, The von Neumann-Schatten classes, symbolic calculus of Hilbert space operators, representation theory and harmonic analysis, semigroups of operators, Krein-Milman theorem, tensor products of Hilbert spaces and Banach spaces, fixed point theorems.

Prof.

MATH 567

Institution: Université McGill

Mesure et intégration (UdeM)

Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.

 

Prof. Dimitris Koukoulopoulos

MAT 6117

Institution: Université de Montréal

Analyse fonctionnelle (UdeM)

Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Prof. Marlène Frigon

MAT 6124

Institution: Université de Montréal

Équations aux dérivées partielles - Université de Montréal

The first part of the course will cover the basic topics in the theory of linear partial differential equations, such as the wave equation, the heat equation and the Laplace equation. The theory of distributions and Sobolev spaces will be also presented.  The second part of the course will focus on elements of spectral theory.  In particular, geometric properties of Laplace eigenvalues and eigenfunctions will be discussed in depth.


 

Prof. Iosif Polterovich

MAT 6220

Institution: Université de Montréal

Équations aux dérivées partielles - UQAM

Le but du cours sera d'étudier les équations aux dérivées partielles linéaires à l'aide des opérateurs pseudodifférentiels.  Les sujets suivants seront abordés:

1. Théorie des distributions, espaces de Sobolev et transformée de Fourier
2. Opérateurs pseudodifférentiels sur l'espace euclidien: définition, action sur les fonctions et composition
3. Opérateurs pseudodifférentiels sur une variété et symbole principal
4. Opérateurs elliptiques linéaires: régularité elliptique, spectre, application à la théorie de Hodge, opérateurs de Fredholm
5. Noyau de la chaleur: construction, propriétés de base, démonstration de la loi de Weyl et déterminant du laplacien
6. L'ensemble des fronts d'onde et le théorème de propagation des singularités de Hörmander (si le temps le permet)

Page web du cours: http://www.cirget.uqam.ca/rochon/MAT7213/

Prof. Frédéric Rochon

MAT 7213

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Topics in Analysis: Functions of Several Complex Variables

Prof. Alexander Shnirelman

MAST 661/4, E (MAST 837)

Institution: Concordia University

Differential Equations

Prof. A. Kokotov

MAST 666/4, A (MAST 841)

Institution: Concordia University

Analyse harmonique et ondelettes

Séries de Fourier, théorèmes de convergence, théorème de Fejér. Transformée de Fourier, théorème de convolution, théorème d'inversion, théorème de Plancherel, formule de Poisson. Transformée de Fourier rapide. Espaces de Hilbert : bases orthonormées, polynômes orthogonaux, ondelettes de Haar. Théorie des ondelettes : analyses multirésolutions, ondelettes père et mère, transformée d'ondelette rapide, intégrabilité et moments. Exemples.

Prof.

MAT 7126

Institution: Université Laval

Honours Advanced Set Theory

Topics may be chosen from combinatorial set theory, Goedel's constructible sets, forcing, large cardinals and descriptive set theory.

Prof. Marcin Sabok

MATH 590

Institution: Université McGill

Advanced Real Analysis 2

Continuation of topics from MATH 564. Signed measures, Hahn and Jordan decompositions. Radon-Nikodym theorems, complex measures, differentiation in Rn, Fourier series and integrals, additional topics.

Prof.

MATH 565

Institution: Université McGill

Surfaces de Riemann

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.

Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.

Prof. Vasilisa Shramchenko

MAT 737

Institution: Université de Sherbrooke

Été

Thèmes choisis en analyse: Géométrie Riemannienne comparative

Prof. Alexandre Girouard

MAT 7195

Institution: Université Laval