Analyse

Description du programme

Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :

  • Analyse sur les variétés : la géométrie spectrale (valeurs propres et fonctions propres des Laplaciens), le chaos quantique.
  • Analyse classique
  • Analyse complexe : approximation complexe, les groupes discrets à deux générateurs, la dynamique complexe, l’analyse à plusieurs variables complexes et les multifonctions analytiques.
  • Théorie ergodique : la théorie spectrale des transformations qui préservent la mesure, les résultats de type Baire en théorie ergodique et les généralisations des théorèmes ergodiques aux suites de projections généralisées.
  • Analyse fonctionnelle : les algèbres de Banach, les résolvantes et la contrôlabilité des opérateurs, le théorème spectral généralisé et les suites d’opérateurs auto-adjoints et leurs limites faibles, l’analyse des matrices et les inégalités, la théorie spectrale et la physique mathématique.
  • Analyse harmonique : les séries trigonométriques, les formes automorphes, les intégrales singulières, les transformées de Fourier, les opérateurs multiplicateurs, la théorie de Littlewood-Paley, les fonctions harmoniques sur Rn, les espaces de Hardy, les fonctions carrées, les liens entre l’analyse harmonique et la théorie des probabilités et la théorie ergodique.
  • Équations aux dérivées partielles : les liens avec l’analyse fonctionnelle, géométrique et harmonique.
  • Théorie du potentiel : la dualité dans la théorie du potentiel, l’approximation harmonique, le comportement aux frontières et la théorie du potentiel sur les arbres.

Membres du programme

Formation

Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.

Prérequis:

Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.

  • Measure Theory (Concordia MAST 669)
    Functional Analysis I (Concordia MAST 662)
  • ou
  • Advanced Real Analysis I (McGill MATH-564)
    Advanced Real Analysis II (McGill MATH-565)
    Advanced Complex Analysis (McGill MATH-566)
  • ou
  • Mesure et intégration (Université de Montréal MAT 6111)
    Analyse fonctionnelle (Université de Montréal MAT 6112)
    Topologie générale (Université de Montréal MAT 6310)
    Analyse complexe: sujets spéciaux (Université de Montréal MAT 6182K)
  • ou
  • Analyse fonctionnelle I (Laval MAT-7100)
    Théorie de la mesure et intégration (Laval MAT-6000)
    Équations aux derivées partielles (Laval MAT-7220)

Cours 2018-19

Automne

Convex and Nonlinear Analysis

Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course aims to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern ones such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.

Prof. Alina Stancu

MAST 661 A / 837

Institution: Concordia University

Advanced Real Analysis 1

Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.

Prof. John Toth

MATH 564

Institution: Université McGill

Functional Analysis 1 (Concordia)

The course is devoted to the basics of the theory of operators in Hilbert space with emphasis on applications to Partial Differential Equations.

Prof. Alexey Kokotov

MAST 662/2 (MAST 837)

Institution: Concordia University

Functional Analysis 1

Prerequisites: MATH 564, MATH 565, and MATH 566.

Official Book: Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Since it is available for download, this book has not been ordered from the bookstore.

Please note that there are many sets of notes for functional analysis on the web. See the course webpage for a list and links.

Official Syllabus: Banach spaces. Hilbert spaces and linear operators on these. Spectral theory. Banach algebras. A brief introduction to locally convex spaces.

Proposed Syllabus: Banach and Hilbert spaces, theorems of Hahn-Banach and Banach-Steinhaus, open mapping theorem, closed graph theorem, Fredholm theory, spectral theorem for compact self- adjoint operators, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Banach algebras and the Gelfand theory, Locally convex spaces. Additional topics to be chosen from: Lorentz spaces and interpolation, distributions and Sobolev spaces, The von Neumann-Schatten classes, symbolic calculus of Hilbert space operators, representation theory and harmonic analysis, semigroups of operators, Krein-Milman theorem, tensor products of Hilbert spaces and Banach spaces, fixed point theorems.

Assessment: 40% assignments, 60% final exam.
Exam: The final examination will be a take-home exam. There is no "additional work" option and the grade of incomplete will not be given. A supplemental exam will be available.
Course webpage: http://www.math.mcgill.ca/drury/teaching/math635f18/math635f18.php

Exam Viewing: The instructor reserves the right to set a specific time or times for the purpose of exam viewing. If such times are set, they will be announced on the course webpage.

Note: In the event of extraordinary circumstances beyond the University's control, the content and/or evaluation scheme in this course is subject to change.

Note: In accord with McGill University's Charter of Students' Rights, students in this course have the right to submit in English or in French any written work that is to be graded.

Academic Integrity: McGill University values academic integrity. Therefore, all students must understand the meaning and consequences of cheating, plagiarism and other academic offences under the Code of Student Conduct and Disciplinary Procedures (see www.mcgill.ca/integrity for more information).

Prof. Stephen Drury

MATH 635

Institution: Université McGill

Mesure et intégration

Contenu du cours: ensembles mesurables,  mesure de Lebesgue; principes de Littlewood, théorèmes de Lusin et de Egorov; intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces L1 et L2; mesures absolument continues, théorème de Radon-Nikodym; éléments de la théorie ergodique; mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractales.

Prof. Iosif Polterovich

MAT 6111

Institution: Université de Montréal

Analyse fonctionnelle I

  • Espaces métriques
  • Topologiques, d'Hilbert, de Banach
  • Théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé
  • Topologies faibles
  • Espaces réflexifs
  • Décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Prof. Marlène Frigon

MAT 6112

Institution: Université de Montréal

Équations différentielles non linéaires

Ce cours est une introduction au traitement des équations différentielles non linéaires et plus généralement, à la théorie des systèmes dynamiques. Il s’agit d’un cours de cycle supérieur. L’objectif est d’initier l’étudiant à la théorie des systèmes dynamiques et à ses applications. En un premier temps, des techniques classiques d’analyse de dynamique seront présentées : flots continus et discrets, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations et formes normales. En un deuxième temps, une introduction à la théorie ergodique et un survol d’applications modernes sera présentée : dynamique chaotique, attracteurs étranges, entropie dynamique, systèmes à haute dimension (ex. réseaux), dynamique entrainée et transformation d’information.
Une attention particulière sera accordée au traitement de systèmes dynamiques performant des computations.

À la fin du cours, l’étudiant sera en mesure d’appliquer des techniques d’analyse de systèmes dynamiques à des problèmes concrets, ainsi que de naviguer la littérature moderne de systèmes dynamiques. Plusieurs exemples et applications faisant usage de simulations numériques seront utilisés. Pour suivre ce cours, l’étudiant doit maîtriser, à un niveau de premier cycle, des notions de calcul, d’équations différentielles linéaires, d’algèbre linéaire et de probabilité.

Horaire des cours :

Mardi : 10h30 à 12h00, 5183 Pav. Andre-Aisenstadt
Jeudi : 10h30 à 12h00, 5183 Pav. Andre-Aisenstadt

Prof. Guillaume Lajoie

MAT 6115

Institution: Université de Montréal

Hiver

Équations aux dérivées partielles - Université de Montréal

Équation des ondes, problème de Sturm-Liouville, distributions et transformation de Fourier, équation de Laplace, espaces de Sobolev, valeurs et fonctions propres du laplacien, éléments de la théorie spectrale, équation de la chaleur.

 

Prof. Egor Shelukhin

MAT 6110

Institution: Université de Montréal