Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2024-25

Automne

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Daniel Wise

MATH 576

Institution: Université McGill

Lie Groups and their Representations

A Lie group is a manifold with a group structure, for example the rotation group O(n).  Lie groups are used widely throughout mathematics, including in differential geometry, number theory, and mathematical physics.  This course will be an introduction to Lie groups, Lie algebras, and their representations.  We will cover the following topics:

  • Definitions and basic examples of Lie groups
  • Actions of Lie groups
  • Lie algebras and the exponential map
  • Compact Lie groups and semisimple Lie algebras
  • Root systems and classification
  • Representation theory and Weyl character formula

Prof. Joel Kamnitzer

MATH 599 / MATH 706

Institution: Université McGill

Topologie algébrique

Homologie et co-homologie singulières. Fibrations, co-fibrations. Groupes d’homotopie. CW-complexes. Obstructions. Suites spectrales. Produits. Dualité de Poincaré. Théorème du point fixe de Lefschetz. Groupes unitaires et classes de Chern.

Prof. Jake Levinson

MAT 6354

Institution: Université de Montréal

Calcul des variations

On utilisera la mécanique classique et le principe de moindre action pour s'initier aux concepts de base du calcul des variations, notamment les équations d'Euler-Lagrange et les équations d'Hamilton.  On transposera alors ces notions en géométrie en abordant plusieurs exemples intéressants: géodésiques, surfaces minimales, métriques à courbure constante, applications harmoniques, flot gradient, théorie de jauge.  On se concentrera alors sur les surfaces minimales en s'initiant à une méthode systématique pour les construire: la théorie géométrique de la mesure. 

Prof. Frédéric Rochon

MAT8100

Institution: Université du Québec à Montréal

Géométrie différentielle

Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.

Prof. Julien Keller

MAT 8131

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie: Théorie de Hodge et l’espace de module

Le cours porte sur un développement de la théorie de Hodge, avec comme point de départ la structure de Hodge d’une courbe et, plus généralement, d’une variété de Kähler. On développe rapidement la théorie des variétés de Kähler et leurs dégénérescences en faisant référence à des livres classiques. Sont ensuite abordés des exemples classiques en exhibant leur rôle dans la classification des variétés algébriques et dans l’étude de leurs espaces de module, en incluant une introduction à la théorie des variations de structures de Hodge. On touchera également à des outils analytiques simples tels l'hyperbolicité pour pouvoir aborder quelques problèmes globaux dans le sujet. On vis à la fin sur notions de stabilité, de la correspondance de Donaldson-Uhlenbeck-Yau et ses généralisations, incluant rudiments de théorie de Hodge non abélienne et ses applications.

Prof. Steven Lu

MAT993N

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie: Représentations SL(2,C) et la géométrie hyperbolique en dimension 3

L'étude des représentations du groupe fondamental a une longue tradition dans la topologie des 3 variétés. Les représentations SL(2,C) ont été particulièrement bien étudiées en raison d'accessibilité des calculs et de leur connexion à la géométrie hyperbolique. Ce cours vise à discuter certains aspects de cette théorie. La première partie du cours se concentrera sur la géométrie hyperbolique en dimension 3, couvrant des sujets tels que la rigidité de Mostow et le théorème de chirurgie hyperbolique de Dehn de Thurston. La deuxième partie du cours se concentrera sur la machinerie de variété de caractères de Culler et Shalen, dans le but de prouver le théorème de la chirurgie cyclique. Les prérequis pour le cours sont la géométrie algébrique de base (variétés, valuations) et la topologie algébrique de base (groupe fondamental, homologie).

Prof. Steven Boyer & Chi Cheuk Tsang

MAT993F

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Geometry and Topology 2

Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.

Prof. Joel Kamnitzer

MATH 577

Institution: Université McGill

Geometric Group Theory

The course will cover the following topics: free group and its subgroups, uniqueness of decomposition into free product. Groups acting on trees, splitting into free product with amalgamation. Bass-Serre theory. Cayley graph, SL(2,Z), isometry groups of the hyperbolic plane. Isoperimetric inequality, word problem, Dehn’s algorithm. Small cancellation groups. Quasi-isometries and quasi-geodesics. Groups hyperbolic in the sense of Gromov. Boundaries of hyperbolic groups, Tits alternative. Ends of groups. Gromov’s theorem on groups with polynomial growth.

Prof. Piotr Przytycki

MATH 583

Institution: Université McGill

Analyse géométrique (cours enseigné en anglais)

Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.

Prof. Dmitry Faifman

MAT6230

Institution: Université de Montréal

Surfaces de Riemann (UQAM)

Généralités: définitions et exemples de surfaces de Riemann. Les applications holomorphes et méromorphes, leurs propriétés fondamentales. Topologie (classification des surfaces, cohomologie de Cech). Théorie algébrique: faisceaux et cohomologie. Fibrés et formes différentielles. Résolution fine d'un faisceau, théorèmes de De Rham et Dolbeault. Théorèmes de finitude. Diviseurs et fibrés en droites. Théorème de Riemann-Roch. Dualité de Serre. Théorème de Abel-Jacobi. Théorie géométrique: théorème d'uniformisation. Classification des courbes elliptiques (surfaces de Riemann de genre 1). Métrique de Poincaré et surfaces hyperboliques. Notions de théorie de Teichmüller.

Prof. Steven Lu

MAT 7113

Institution: Université du Québec à Montréal

Groupes et algèbres de Lie

Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie des groupes et leures algèbres de Lie. Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la corréspondence entre les groupes de Lie connexes et simplement connexes et les algèbres de Lie ; sous-groupes fermés ; la représentation adjointe ; groupes de Lie compacts et formes bi-invariantes ; algèbres de Lie nilpotentes, résolubles et semi-simples ; les théorèmes de Lie et de Cartan ; formes de Killing ; décomposition des racines ; classification des algèbres de Lie simples ; algèbres de Lie réductives et décomposition de Cartant ; sous-groupes compacts maximaux.

Prof. Vestislav Apostolov

MAT 7410

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie différentielle et topologie - Variétés hyperboliques en dimensions supérieures

Contrairement aux dimensions deux et trois, où les variétés hyperboliques sont omniprésentes, en dimension quatre ou plus, les variétés hyperboliques sont beaucoup plus rares et difficiles à construire. Ce cours vise à explorer les propriétés des variétés hyperboliques, avec un accent particulier sur les variétés de dimension quatre ou plus. La première partie du cours se concentrera sur les aspects fondamentaux de la géométrie hyperbolique, incluant les décompositions épaisse-mince de Margulis et les propriétés de la volume hyperbolique. La deuxième partie du cours portera sur les constructions de variétés hyperboliques et leurs propriétés. Ces constructions incluront des méthodes arithmétiques, des constructions par polytopes et les hybrides de Gromov-Piatetski-Shapiro.

Les prérequis pour ce cours sont une connaissance de base en topologie algébrique (groupe fondamental, homologie). Ce cours est conçu pour être indépendant et complémentaire au cours sur les variétés hyperboliques en dimension 3 donné à l’automne 2024 à l’UQAM.

Prof. Duncan McCoy & Connor Sell

MAT993C

Institution: Université du Québec à Montréal