La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.
Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés de basse dimension, la topologie symplectique et de contact avec ses invariants en toute dimension, la classification des métriques kählériennes spéciales, les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.
La plupart des chercheurs du groupe font partie du CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.
Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:
Axioms of topology, continuous maps. Quotient spaces, connectedness, compactness. Product spaces and Tychonoff theorem. Countability and separation axioms. Tietze theorem and Urysohn metrisation theorem. Baire theorem. Arzela-Ascoli theorem. Homotopies and contractibility. CW complexes. Fundamental group and Van Kampen theorem. Covering spaces. Universal covering space and deck transformations. K(G,1) spaces. Classification of surfaces.
Homologie et co-homologie singulières. Fibrations, co-fibrations. Groupes d’homotopie. CW-complexes. Obstructions. Suites spectrales. Produits. Dualité de Poincaré. Théorème du point fixe de Lefschetz. Groupes unitaires et classes de Chern.
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
Objectif du cours: Étudier les propriétés de base du flot de Ricci et de discuter quelques applications en géométrie et topologie.
Contenu du cours:
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Variétés différentiables, formes différentielles, fibrés. Partitions de l’unité. Groupes à un paramètre de difféomorphismes, dérivée et crochet de Lie. Intégration et théorème de Stokes. Cohomologie de De Rham. Éléments de géométrie riemannienne.
Rappel sur le calcul différentiel des fonctions à plusieurs variables réelles. Notion de variété différentiable et exemples. Variété produit. Espaces vectoriels tangents. Applications différentiables. Différentielle d'une application et règle de chaîne. Sous-variétés, difféomorphismes et théorème d'inversion locale. Champs de vecteurs et algèbre de Lie. Systèmes différentiels et théorème de Frobenius. Notion de groupe de Lie et exemples. Caractérisation et homomorphisme de groupes de Lie. Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Sous-groupes à un paramètre, application exponentielle et coordonnées canoniques. Détermination d'un groupe de Lie par son algèbre de Lie et formules de Campbell-Hausdorff. Sous-groupe de Lie et groupe linéaire général GL(n,R). Groupe linéaire adjoint.
Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie des groupes et leurs algèbres de Lie. Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la correspondance entre les groupes de Lie connexes et simplement connexes et les algèbres de Lie ; sous-groupes fermés ; la représentation adjointe ; groupes de Lie compacts et formes bi-invariantes ; algèbres de Lie nilpotentes, résolubles et semi-simples ; les théorèmes de Lie et de Cartan ; formes de Killing ; décomposition des racines ; classification des algèbres de Lie simples ; algèbres de Lie réductives et décomposition de Cartant ; sous-groupes compacts maximaux.
Homologie avec coefficients, théorème des coefficients universels. Cohomologie singulière, théorème de coefficients universels pour la cohomologie. Produits, théorème de Künneth. Orientation et dualité dans les variétés. Axiomes d'Eilenberg-Steenrod. Cohomologie de de Rham, de Cech, d'Alexander. Théorème de de Rham. Foncteurs d'homotopie et foncteurs représentables. Théories d'homologie et cohomologie généralisées: K-théorie, cobordisme. Quelques applications élémentaires de la K-théorie et du cobordisme. Homologie avec coefficients locaux.