Pour s'inscrire à un cours ISM, il faut d'abord obtenir l'approbation de son choix de cours par son directeur de recherche et par le responsable des études supérieures de son département. Vous pouvez ensuite vous inscrire au cours électroniquement en utilisant le formulaire disponible sur le site du BCI, l'organisme qui gère les inscriptions interuniversitaires. Le formulaire sera acheminé aux registraires de l'université d'attache et de l'université d'accueil pour approbation.
Procédures supplémentaires pour les étudiants en provenance d'une université autre que McGill pour s'inscrire à un cours à l'Université McGill :
Après l'inscription via le site du BCI, il faudra attendre la réception de la confirmation d'inscription. L'étudiant devra ensuite s'inscrire au cours choisi à l'Université McGill via le système MINERVA.
Dates importantes : Concordia, Laval, McGill, Université de Montréal, UQAM, UQTR, Université de Sherbrooke
Horaire des cours:
Cours en ligne qui ont été offerts par le CRM et l'ISM :
Javad Mashreghi, Université Laval
Reproducing Kernel Hilbert Space of Analytic Functions
Site du cours
Iosif Polterovich, Université de Montréal
Théorie de la géométrie spectrale
Site du cours
• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits.
• Affine schemes. Integral extensions.
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space.
• Representations of finite groups.
Représentations des groupes, algèbre d’un groupe fini, table de caractères, représentations des groupes symétriques, groupes de Lie, algèbre de Lie, représentations des groupes classiques.
Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.
Modèles probabilistes en théorie des nombres (Kubilius, fonctions aléatoires multiplicatives, matrices aléatoires); théorèmes centraux limites en théorie des nombres (Erdös-Kac, Selberg); répartition des diviseurs d'entiers; champs log-corrélés et maxima de zeta.
Polynômes symétriques. L'anneau des fonctions symétriques et sa structure : générateurs, produit scalaire de Hall, bases orthogonales, et identités combinatoires. Liens avec la théorie des représentations des groupes symétriques. Connexions avec la combinatoire, l’algèbre et la théorie des représentations.
Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17e problème de Hilbert.
Introduction to Ring Theory: definitions and examples, ideals, quotients and isomorphisms. Euclidean domains, Principal ideal domains and unique factorization domains. Polynomial rings and introduction to modules.
We will first cover the Riemann zeta function and prove its analytic properties. We will relate its values at negative integers to Bernoulli numbers and show that these satisfies p-adic congruences that allow one to define a p-adic meromorphic zeta function.
We will then study L-functions associated with modular forms, in particular showing that critical values are (essentially) algebraic and how these, for many modular forms, vary p-adically too.
We will then analyze other automorphic L-functions, such as but not limited to Rankin–Selberg and triple product and conclude with an overview on several conjectures on L-functions, such as Birch–Swinnerton-Dyer and Bloch–Kato, and their p-adic avatar, the Iwasawa Main conjecture.
Completion of the topics of MATH 570. Rudiments of algebraic number theory. A deeper study of field extensions; Galois theory, separable and regular extensions. Semi-simple rings and modules. Representations of finite groups
Anneaux commutatifs, idéaux premiers, rudiments de géométrie algébrique, Nullstellensatz de Hilbert, localisation, complétion, théorie de la dimension.
Distribution des nombres premiers. Fonction zêta de Riemann et fonctions-L de Dirichlet. Le théorème des nombres premiers, et de Bombieri-Vinogradov. La répartition des nombres premiers consécutifs.
Starting with classical properties of convex sets and functions, the course aims to present several classical inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santaló inequality, the Urysohn inequality, as well as more recent results such as the reverse isoperimetric inequality, and the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.
The main parts of the course will consist of the following topics: Set theory; the real number system; Metric spaces; Topological spaces; Compact spaces; Banach spaces.
In the first part of the course, we will develop the method of forcing and prove the independence of the Continuum Hypothesis from ZFC, and the independence of the Axiom of Choice from ZF. We will cover several technical notions which are crucial for modern day set theory, including: chain conditions; closure and distributivity conditions; product forcing and mutual genericity; collapse forcing; projections and isomorphism of forcing notions.
Given time, we will continue to more advanced applications of forcing, in particular to descriptive set theory. We will start with proving the consistency of ZF + DC + 'all sets of reals are Lebesgue measurable', assuming the existence of an inaccessible cardinal (the Solovay Model).
Measure and integration, measure spaces, convergence theorems, Radon-Nikodym theorem, measure and outer measure, extension theorem, product measures, Hausdorff measure, Lp spaces, Riesz theorem, bounded linear functionals on C(X), conditional expectations and martingales.
La géométrie spectrale est l'étude des liens entre la géométrie d'un espace et les valeurs propres d'opérateurs naturellement dénis sur celui-ci. Dans ce cours nous étudierons des opérateurs de type Laplacien et Dirichlet-Neumann sur des espaces tels que des surfaces et des domaines de l'espace euclidien. L'accent sera mis sur les inégalités géométriques et les méthodes variationnelles permettant de les étudier.
La première partie du cours sera consacrée à l'étude de sujets classiques en géométrie spectrale: calcul des valeurs propres pour des exemples simples (rectangles, disques, sphères, etc); théorème spectral pour le Laplacien et l'opérateur de Dirichlet-Neumann; caractérisation variationnelle des valeurs propres; asymptotique spectrale; géométrie nodale des fonctions propres; optimisation de forme sous contrainte de type isopérimétrique pour l'écart spectral λ1 des surfaces et pour les domaines du plan; inégalités géométriques en dimension arbitraire.
Par la suite, des perspectives et des thèmes récents seront abordés: homogénéisation en optimisation spectrale; valeurs propres des graphes et discrétisation des problèmes spectraux; perturbations et continuité des valeurs propres; construction d'espaces dont l'écart spectral λ1 est arbitrairement grand, méthode par capaciteurs pour les valeurs propres λk d'indice arbitraire, etc. Nous les choisirons ensemble en fonction de vos intérêts et connaissances.
Abstract theory of measure and integration: Borel-Cantelli lemmas, regularity of measures, product measures, Fubini-Tonelli theorem, signed measures, Hahn and Jordan decompositions, Radon-Nikodym theorem, differentiation in Rn.
Topics in classical descriptive set theory concerning Polish spaces, regularity properties of sets such as measurability/Baire measurability and their connection with infinite games (determinacy), the Borel and projective sets/hierarchies, and change of topology techniques, as well as more modern topics on definable equivalence relations and classification, Polish group actions, and graph combinatorics on Polish spaces.
Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
The course will consist of the following topics, with possible additions if time permits:
Hilbert spaces, Banach spaces, linear functional dual spaces, bounded linear operators, adjoints, The Hahn-Banach theorem, Baire category theorem, Banach-Steinhaus theorem, open mapping and closed graph theorems, compact operators, the spectral theorem for self-adjoint compact operators, the Fredholm alternative, the weak/weak* topological vector spaces, distributions, Sobolev spaces.
Students will be required to complete an independent study project on a topic of their choice as approved by the instructor, related to the course material, and submit it as a written report and in the form of an oral presentation.
The course is an introduction to the classical theory of partial differential equations (PDEs). The topics presented will be: first order linear and quasi-linear equations; linear second order PDEs (Laplace, Heat, Wave equations), maximum principles, properties of harmonic functions, accompanied by guided independent study, based on individual mathematical interests and areas of study, in which graduate students will explore further topics chosen from: nonlinear elliptic and parabolic PDEs (geometric properties of solutions, gradient flows, methods of subsolutions and supersolutions), or the use of calculus of variations and fixed point methods.
Suggested references: Partial Differential Equations: A First Course, Rustum Choksi (2022) Partial Differential Equations, by Lawrence C. Evans (2010).
Review of the basic theory of Banach and Hilbert spaces, Lp spaces, open mapping theorem, closed graph theorem, Banach-Steinhaus theorem, Hahn-Banach theorem, weak and weak-* convergence, weak convergence of measures, Riesz representation theorems, spectral theorem for compact self-adjoint operators, Fredholm theory, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Fourier series and integrals, additional topics.
Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.
Théorie abstraite de l'intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Nikodym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation.
Examples of applications of statistics and probability in epidemiologic research. Sources of epidemiologic data (surveys, experimental and non-experimental studies). Elementary data analysis for single and comparative epidemiologic parameters.
Statistical methods for multinomial outcomes, overdispersion, and continuous and categorical correlated data; approaches to inference (estimating equations, likelihood-based methods, semi-parametric methods); analysis of longitudinal data; theoretical content and applications.
Survol de méthodes d'analyse couramment utilisées en biostatistique (théorie et application). Modèles linéaires généralisés et équations d'estimation.
Analyse de survie paramétrique ou semiparamétrique. Introduction à l'inférence causale et la théorie semiparamétrique.
Multivariable regression models for proportions, rates, and their differences/ratios; Conditional logistic regression; Proportional hazards and other parametric/semi-parametric models; unmatched, nested, and self-matched case-control studies; links to Cox's method; Rate ratio estimation when "time-dependent" membership in contrasted categories.
Advanced applied biostatistics course dealing with flexible modeling of non-linear effects of continuous covariates in multivariable analyses, and survival data, including e.g. time-varying covariates and time-dependent or cumulative effects. Focus on the concepts, limitations and advantages of specific methods, and interpretation of their results. In addition to 3 hours of weekly lectures, shared with epidemiology students, an additional hour/week focuses on statistical inference and complex simulation methods. Students get hands-on experience in designing and implementing simulations for survival analyses, through individual term projects.
Étude approfondie des séries génératrices en combinatoire. Caractérisation des séries rationnelles algébriques. D-finies. Séries associées aux espèces de structures: séries génératrices et séries indicatrices, théorèmes de substitution. Application au dénombrement de types de structures et de structures asymétriques. Théorème de dissymétrie pour les arbres. Décompositions moléculaire et atomique d'une espèce. Foncteurs analytiques. Liens avec les fonctions symétriques et les représentations linéaires du groupe symétrique.
Les groupes de Coxeter joue un rôle fondamental dans plusieurs domaines des mathématiques : ils apparaissent comme groupes de Weyl en théorie de Lie, en théorie de Kazhdan-Lusztig, pour les algèbres amassées ou en géométrie algébrique; ils sont les groupes discrets de réflexions agissant sur les espaces à courbure constante en géométrie et sont primordiales dans la définition des immeubles. L’étude des groupes de Coxeter sont souvent la clef afin de comprendre les structures qui leurs sont associés.
Nous commencerons par couvrir les propriétés de base de ces groupes : conditions d’échange/réduction, théorème de Matsumoto, représentations géométriques et systèmes de racines. Nous utiliserons alors cette théorie pour montrer que tout groupe discret engendré par des réflexions dans un espace euclidien ou hyperbolique est un groupe de Coxeter.
Nous discuterons ensuite les liens entre les systèmes de racines, l’ordre faible, l’ordre de Bruhat et le graphe de Cayley munit de sa métrique géodésique.
La dernière partie du cours sera dédié à des développements récents de la recherche sur le sujet. En particulier, on mettra en expliquera le lien entre arrangements de Shi et la preuve de la biautomaticité des groupes de Coxeter (théorème de Osajda et Przytycki).
Enumerative combinatorics: inclusion-exclusion, generating functions, partitions, lattices and Moebius inversion. Extremal combinatorics: Ramsey theory, Turan's theorem, Dilworth's theorem and extremal set theory. Graph theory: planarity and colouring. Applications of combinatorics.
Dans ce cours, nous allons examiner plusieurs algorithmes importants dans la combinatoire. Les deux thèmes principaux seront la combinatoire des tableaux de Young et la combinatoire des graphes. Dans la combinatoire des tableaux, nous allons regarder le jeu de taquin et certaines de ses variantes, ainsi que la correspondance de Robinson--Schensted--Knuth. Dans la théorie des graphes, nous allons traiter des problèmes autour des couplages et des flux.
L'objectif du cours est de présenter les structures discrètes standards et les principales méthodes d'énumération. Les sujets suivants seront présentés :
The following topics will be included: Iteration of Functions, Periodic and Fixed Points, Bifurcations, Sharkovsky Theory (relations between the possible periods of continuous maps of an interval), Henon Map (2-dimensional with strange attractor), Complex Dynamics with Julia and Mandelbrot Sets, Iterated Function Systems. The three last topics involve fractals.
Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications modernes.
Axioms of topology, continuous maps. Quotient spaces, connectedness, compactness. Product spaces and Tychonoff theorem. Countability and separation axioms. Tietze theorem and Urysohn metrisation theorem. Baire theorem. Arzela-Ascoli theorem. Homotopies and contractibility. CW complexes. Fundamental group and Van Kampen theorem. Covering spaces. Universal covering space and deck transformations. K(G,1) spaces. Classification of surfaces.
Homologie et co-homologie singulières. Fibrations, co-fibrations. Groupes d’homotopie. CW-complexes. Obstructions. Suites spectrales. Produits. Dualité de Poincaré. Théorème du point fixe de Lefschetz. Groupes unitaires et classes de Chern.
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
Objectif du cours: Étudier les propriétés de base du flot de Ricci et de discuter quelques applications en géométrie et topologie.
Contenu du cours:
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Variétés différentiables, formes différentielles, fibrés. Partitions de l’unité. Groupes à un paramètre de difféomorphismes, dérivée et crochet de Lie. Intégration et théorème de Stokes. Cohomologie de De Rham. Éléments de géométrie riemannienne.
Rappel sur le calcul différentiel des fonctions à plusieurs variables réelles. Notion de variété différentiable et exemples. Variété produit. Espaces vectoriels tangents. Applications différentiables. Différentielle d'une application et règle de chaîne. Sous-variétés, difféomorphismes et théorème d'inversion locale. Champs de vecteurs et algèbre de Lie. Systèmes différentiels et théorème de Frobenius. Notion de groupe de Lie et exemples. Caractérisation et homomorphisme de groupes de Lie. Algèbre de Lie d'un groupe de Lie. Sous-groupes à un paramètre, application exponentielle et coordonnées canoniques. Détermination d'un groupe de Lie par son algèbre de Lie et formules de Campbell-Hausdorff. Sous-groupe de Lie et groupe linéaire général GL(n,R). Groupe linéaire adjoint.
Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie des groupes et leurs algèbres de Lie. Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la correspondance entre les groupes de Lie connexes et simplement connexes et les algèbres de Lie ; sous-groupes fermés ; la représentation adjointe ; groupes de Lie compacts et formes bi-invariantes ; algèbres de Lie nilpotentes, résolubles et semi-simples ; les théorèmes de Lie et de Cartan ; formes de Killing ; décomposition des racines ; classification des algèbres de Lie simples ; algèbres de Lie réductives et décomposition de Cartant ; sous-groupes compacts maximaux.
Homologie avec coefficients, théorème des coefficients universels. Cohomologie singulière, théorème de coefficients universels pour la cohomologie. Produits, théorème de Künneth. Orientation et dualité dans les variétés. Axiomes d'Eilenberg-Steenrod. Cohomologie de de Rham, de Cech, d'Alexander. Théorème de de Rham. Foncteurs d'homotopie et foncteurs représentables. Théories d'homologie et cohomologie généralisées: K-théorie, cobordisme. Quelques applications élémentaires de la K-théorie et du cobordisme. Homologie avec coefficients locaux.
The course presents an introduction to statistical estimation techniques for insurance data with heterogeneous risk classes, which is the cornerstone of nonlife insurance pricing. In the second part of the course, we will discuss loss reserving methods.
This course focuses on computational aspects, implementation, continuous-time models, and advanced topics in Mathematical and Computational Finance. Topics considered include Brownian motion and stochastic calculus; continuous-time finance; Black-Scholes model; interest rate models; Monte-Carlo methods; numerical solution of PDEs; volatility; hedging; exotic derivatives; risk-management; and other topics (time permitting).
Méthodes de provisionnement stochastiques : modèles linéaires généralisés appliqués aux réserves, modèles bayésiens, méthodes bootstrap. Théorie des valeurs extrêmes : loi limite des maxima, épaisseur des queues de distributions, étude de la loi des excès, estimation de quantiles extrêmes, applications à la réassurance. Modèles multi-niveaux et multivariés pour les réclamations en assurances de dommages.
Diverses mesures d'intérêts. Fonction d'accumulation et valeur actualisée. Rentes. Remboursement d'un emprunt. Évaluation d'obligations et d'actions. Diverses mesures de rendement. Duration et convexité. Appariement et immunisation. Description de contrats d'assurance vie. Prestation d'assurances et de rentes. Modèles de survie. Calcul de primes. Applications pratiques.
Calcul des réserves pour des contrats d'assurance vie et de rentes. Modèle à décroissances multiples. Modèle sur plusieurs vies. Provisionnement en assurances IARD : méthodes déterministes et stochastiques. Théorie de la crédibilité : approches bayésienne, modèles de Bühlmann et de Bühlmann-Straub, estimation des primes de crédibilité.
Tarification et couverture dans des modèles avec une volatilité ou un taux d'intérêt stochastique, simulation de Monte Carlo pour les équations différentielles stochastiques, résolution d’équations à dérivées partielles.
Ce cours a pour but d'analyser de façon approfondie et intégrée les produits dérivés tant sur le plan théorique que pratique, et de faire le lien entre leurs marchés et ceux des titres traditionnels. Plus spécifiquement, le cours vise à donner au gestionnaire de portefeuille, à l'analyste financier et au spécialiste en finance corporative une formation complète en produits dérivés, notamment sur les principes d'évaluation par la mesure risque-neutre, les liens qui les unissent aux titres sous-jacents, les stratégies de couverture, de spéculation, d'arbitrage et d'assurance de portefeuille qui les utilisent.
Les thématiques suivantes sont abordées : caractéristiques des marchés d'options et contrats à terme, contrats à terme sur denrées, contrats à terme financiers, stratégies d'arbitrage, couverture et réplication dans le contexte de l'arbre binomial, modèle de Black-Scholes-Merton, probabilités risque-neutre, formule de Black-Scholes, volatilité implicite, volatilité stochastique, simulation Monte Carlo, gestion des risques d'un portefeuille d'options, lettres grecques, options exotiques, simulation de portefeuille d'options et de contrats à termes. Cours avec séances de laboratoire, à l'aide du logiciel MATLAB ou autre logiciel équivalent.
Mesures et comparaison des risques. Théorie de la ruine en temps discret et continu. Mouvement brownien et temps de premier passage. Modèles de risque de crédit. Concepts de dépendance. Copules. Applications en actuariat et finance.
Ce cours vise à fournir à l'étudiant les fondements nécessaires aux processus stochastiques de sorte qu'il puisse les appliquer dans les différents domaines de la finance: ingénierie financière, gestion des risques, gestion de portefeuille et finance corporative. Ce cours permettra ainsi à l'étudiant de se familiariser, grâce à la programmation dans MATLAB, avec les différents outils quantitatifs nécessaires en finance.
The topics in this Risk Theory course include: aggregate risk models, homogenous and nonhomogenous discrete-time Markov chain models, Poisson processes, coinsurance, effects of inflation on losses, risk measures, dependence (copulas), development triangles and reserving. The emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
The problem of fitting probability distributions to loss data is studied. In practice, heavy tailed distributions are used (i.e. skewed to the right) which require some special inferential methods. The problems of point and interval estimation, test of hypotheses and goodness of fit are studied in detail under a variety of inferential procedures (empirical, maximum likelihood and minimum distance) and of sampling designs (individual/grouped data, truncation and censoring). Loss data sets serve as illustration of the method. A reasonable understanding of undergraduate mathematical statistics is the only prerequisite for the course. The statistical package S-Plus or the (shareware) statistical software R or the spreadsheet EXCEL application will be used for data analysis. The course prepares for the Loss Models part of the Society of Actuaries (SOA) Exam STAM and the Casualty Actuarial Society (CAS) Exam MAS-I.
This course is a rigorous introduction to the theory of mathematical and computational finance. Topics include multi-period binomial model; state prices; change of measure; stopping times; European and American derivative securities; interest-rate models; interest-rate derivatives; hedging; and convergence to the Black-Scholes model.
This course is an introduction to the methods of simulation and Monte Carlo techniques. In Simulation, we consider joint distributions of random variables, and more generally, stochastic models describing systems in economy, industry, insurance etc., which essentially are specifications of complex joint distributions; we then generate (pseudo) values of those variables using appropriate algorithms to study the models. Monte Carlo techniques are statistical methods for estimating, based on repeated simulations, various quantities of interest related to the models, which are difficult to compare theoretically. In Part I of the course, we shall review basic probability theory and study methods for generating random variables. In Part II, we shall study simulation of a few complex systems and their estimation using Monte Carlo methods.
Notions de probabilités avancées et martingales. Calcul stochastique et diffusions d'Itô. Théorie formelle de l'arbitrage en temps discret et en temps continu. Théorèmes fondamentaux de la finance. Tarification de produits dérivés sur actions et sur taux d'intérêt. Applications actuarielles et autres sujets avancés.
Modélisation des risques sur une période. Mesures de risque. Mutualisation des risques. Méthodes de simulation stochastique. Méthodes récursives d'agrégation. Théorie des copules.
Modèles multivariés de risques sur plusieurs périodes avec dépendance temporelle. Théorie avancée sur les mesures de risque : mesures convexes et quasi convexes de risque, mesures de risque avec distorsion, intégrale de Choquet, allocation du risque, indices de risque. Notions avancées de partage de risque. Modèles de dépendance à grandes dimensions.
Marchés financiers et mesures de risques. Coût du capital. Choix optimal de portefeuille et modèle d'évaluation des actifs financiers. Structure financière et valeur d'une entreprise. Comportement des investisseurs et efficience des marchés financiers. Théorèmes de Modigliani-Miller. Produits dérivés et leurs fonctions. Évaluation de produits dérivés par des arbres binomiaux et par l'approche de Black-Scholes. Lettres grecques des options sur actions et techniques de couverture. Applications actuarielles.
Structures à terme, processus stochastiques, modèles et produits dérivés de taux d'intérêt, immunisation et appariement, produits dérivés de crédit, titres adossés à des créances hypothécaires, volatilité.
Ce cours a pour objectif d'analyser de façon approfondie et intégrée les produits structurés sur des actifs financiers. À travers des études de cas, le cours vise à donner à l'ingénieur financier des connaissances et une compréhension approfondie des produits structurés, notamment sur leur conception, leur évaluation et la gestion des risques, tant au niveau théorique qu'appliqué. Plus spécifiquement, au terme de ce cours, les étudiants seront en mesure de :
Ce cours vise à fournir à l'étudiant les fondements nécessaires aux processus stochastiques de sorte qu'il puisse les appliquer dans les différents domaines de la finance: ingénierie financière, gestion des risques, gestion de portefeuille et finance corporative. Ce cours permettra ainsi à l'étudiant de se familiariser, grâce à la programmation dans MATLAB, avec les différents outils quantitatifs nécessaires en finance.
Ce cours est une introduction au calcul stochastique pour les applications en finance mathématique:
1. Rappels de théorie des probabilités
2. Mouvement brownien et martingales
3. Intégration stochastique par rapport au mouvement brownien
4. Applications de la Formule d’Itô et Théorèmes de Girsanov
5. Équations différentielles stochastiques et processus de diffusion
6. Si le temps le permet : Introduction à la finance mathématique et au modèle de Black-Scholes-Merton, tarification d’options vanilles et d’options exotiques.
Cadre conceptuel et réglementaire. Modèles de catastrophes et applications. Méthodes statistiques (copules, valeurs extrêmes). Modèles et processus spatio-temporels (champs aléatoires, automates cellulaires, etc.). Systèmes d'information géographique. Modèles climatiques et changements climatiques. Méthodes stochastiques pour les inondations, les feux de forêts et les cyclones tropicaux. Modèles économie-climat (modélisation d'évaluation intégrée).
Martingales en temps discret et continu, filtrations en temps discret et continu, temps d’arrêt, théorème d’arrêt de Doob, processus de variation quadratique, processus de Wiener, intégrale d’Itô, lemme d’Itô, changement de mesure, théorème de Girsanov. Applications en finance.
Honours level introduction to linear optimization and its applications: duality theory, fundamental theorem, sensitivity analysis, convexity, simplex algorithm, interior point methods, quadratic optimization, applications in game theory.
Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.
Classification and wellposedness of linear and nonlinear partial differential equations; energy methods; Dirichlet principle. Brief introduction to distributions; weak derivatives. Fundamental solutions and Green's functions for Poisson equation, regularity, harmonic functions, maximum principle. Representation formulae for solutions of heat and wave equations, Duhamel's principle. Method of Characteristics, scalar conservation laws, shocks.
Processus de modélisation mathématiques avancés : simulations, estimation de paramètres, interprétation. Utilisation des mathématiques dans un milieu multidisciplinaire (p. ex. oncologie, neurosciences, génétique). Étude de cas et projets appliqués.
Représentation et analyse des graphes par la décomposition spectrale des matrices dérivées de leurs topologies. Analyse harmonique sur les graphes. Applications au traitement de signal sur les graphes et à l’apprentissage profond géométrique.
The course will introduce some of the most widely used numerical methods for solving problems in linear algebra and differential equations. In linear algebra, topics of interest include solving linear systems, computing eigenvalues, and matrix factorizations. On the differential equations side, the course will cover methods for solving ordinary and partial differential equations, including approaches based on finite differences and finite elements. Time permitting, we will also explore topics such as modern approximation theory and physics-informed machine learning. The course will include a programming component, preferably in Python.
The formulation and treatment of realistic mathematical models describing biological phenomena through such qualitative and quantitative mathematical techniques as local and global stability theory, bifurcation analysis, phase plane analysis, and numerical simulation. Concrete and detailed examples will be drawn from molecular, cellular and population biology and mammalian physiology.
Foundations of game theory. Computation aspects of equilibria. Theory of auctions and modern auction design. General equilibrium theory and welfare economics. Algorithmic mechanism design. Dynamic games.
Concentration inequalities, PAC model, VC dimension, Rademacher complexity, convex optimization, gradient descent, boosting, kernels, support vector machines, regression and learning bounds. Further topics selected from: Gaussian processes, online learning, regret bounds, basic neural network theory.
Convex sets and functions, subdifferential calculus, conjugate functions, Fenchel duality, proximal calculus. Subgradient methods, proximal-based methods. Conditional gradient method, ADMM. Applications including data classification, network-flow problems, image processing, convex feasibility problems, DC optimization, sparse optimization, and compressed sensing.
Examen de modèles fondamentaux utilisés en biologie mathématique et de leur analyse utilisant des outils modernes de calcul scientifique. Systèmes dynamiques discrets et continus, procédés stochastiques, modèles statistiques et simulation numérique.
Virgule flottante. ÉDOs. Modélisation et simulations. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Optimisation sans contraintes. Valeurs propres. Décomposition en valeurs singulières. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes.
L'objectif du concours est de présenter les notions principales de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours, nous présentons les sujets suivants :
This course will introduce Euclidean and lattice quantum field theory from a mathematical and computational viewpoint. We will use Euclidean lattice quantum mechanics and other simple solvable examples to motivate path integrals, Gibbs measures, correlation functions, reflection positivity, transfer matrices, and mass gap. The main topics will include lattice scalar fields, the Gaussian free field, Ising-type models, correlation decay, Markov-chain Monte Carlo methods, and numerical diagnostics. If time permits, we will discuss basic lattice gauge theory, Wilson loops, confinement in model systems, universality, and Symanzik effective theory.
This course covers most of the materials in the first seven chapters of Probability and Random Processes by Grimmett and Stirzaker. In particular, it covers topics such as generating and characteristic functions and their applications in random walk and branching process, different modes of convergence and an introduction of martingales.
Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.
This course develops the theory of high-dimensional probability: random vectors and matrices and the mathematics of how these transform when one applies transformations (especially convex transformations) to them, such as norms and seminorms, eigenvalue maps, and others. This reveals fundamental geometric properties of normed spaces and convex sets in high dimensions, and it is also deeply connected to modern application in statistics, computer science, and data science. The material has substantial applications to topics in statistics and machine learning. Topics covered will be: concentration of measure, net arguments and norm bounds, Gaussian processes and Gaussian concentration, chaining, and many applications of the above.
Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.
Tribus et variables aléatoires. Théorie de l'intégration: théorème de Lebesgue, espace Lp, théorème de Fubini. Construction de mesures, mesure de Radon. Indépendance. Conditionnement.
The first part of this course covers materials such as Markov chain, branching processes and optimal stopping for Markov chains. The second part covers Brownian motion and its properties, continuous time martingales and stochastic integral. Girsanov transform, Feynman-Kac formula and stochastic differential equations will also be introduced.
This course develops the main topics in (discrete time) stochastic process theory: Markov chains, random walks, branching processes, and martingales.
Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.
Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.
This course is an introduction to statistical inference for parametric models. The following topics will be covered:
1. Distribution of functions of several random variables (distribution function and change of variable techniques), sampling distribution of mean and variance of a sample from Normal distribution.
2. Distribution of order statistics and sample quantiles.
3. Estimation: unbiasedness, CramÈr-Rao lower bound and efficiency, method of moments and maximum likelihood estimation, consistency, limiting distributions, delta-method.
4. Sufficiency, minimal sufficiency, completeness, UMVUE, Rao-Blackwell and Lehman-Scheffe theorems.
5. Hypothesis-testing: likelihood-ratio tests.
6. Elements of Bayesian estimation and hypothesis-testing.
Statistical software (R) will be used for the analysis of real‑life data sets. Topics may include techniques from generalized linear models, model selection, log‑linear models for categorical data, logistic regression, survival models.
This course introduces multivariate statistical analysis, both theory and methods, with focus on the multivariate Normal distribution. It can be seen as a preparatory course, although not a formal prerequisite, for Statistical Learning. Topics covered include:
This course is an introduction to reinforcement learning techniques. It requires extensive programming with the R language. Topics covered include: Multi-armed bandit problem, Markov Decision Problems, Dynamic Programming, Monte-Carlo solution methods, Temporal difference methods, Multi-period Approximation methods, Policy gradient.
Multivariate normal and chi-squared distributions; quadratic forms. Multiple linear regression estimators and their properties. General linear hypothesis tests. Prediction and confidence intervals. Asymptotic properties of least squares estimators. Weighted least squares. Variable selection and regularization. Selected advanced topics in regression. Applications to experimental and observational data.
Distribution theory, stochastic models and multivariate transformations. Families of distributions including location-scale families, exponential families, convolution families, exponential dispersion models and hierarchical models. Concentration inequalities. Characteristic functions. Convergence in probability, almost surely, in Lp and in distribution. Laws of large numbers and Central Limit Theorem. Stochastic simulation.
Subjective probability, Bayesian statistical inference and decision making, de Finetti’s representation. Bayesian parametric methods, optimal decisions, conjugate models, methods of prior specification and elicitation, approximation methods. Hierarchical models. Computational approaches to inference, Markov chain Monte Carlo methods, Metropolis—Hastings. Nonparametric Bayesian inference.
General introduction to computational methods in statistics; optimization methods; EM algorithm; random number generation and simulations; bootstrap, jackknife, cross-validation, resampling and permutation; Monte Carlo methods: Markov chain Monte Carlo and sequential Monte Carlo; computation in the R language.
Conditional probability and Bayes’ Theorem, discrete and continuous univariate and multivariate distributions, conditional distributions, moments, independence of random variables. Modes of convergence, weak law of large numbers, central limit theorem. Point and interval estimation. Likelihood inference. Bayesian estimation and inference. Hypothesis testing.
Tableaux de contingence à plusieurs dimensions. Mesures d'association. Risque relatif, rapport de cote. Tests exacts et asymptotiques. Régression logistique, de Poisson, multinomiale, logistique cumulative. Modèles log-linéaires. Modèles graphiques.
Principes d'inférence : estimation ponctuelle, distribution des estimateurs, test d’hypothèse, région de confiance. Approche bayésienne. Méthodes de rééchantillonnage. Estimation non paramétrique. Applications modernes de la statistique.
Fonctions de variables aléatoires, fonction génératrice des moments, quelques inégalités et identités en probabilité, familles de distributions dont la famille exponentielle, vecteurs aléatoires, loi multinormale, espérances conditionnelles, mélanges et modèles hiérarchiques. Théorèmes de convergence, méthodes de simulation, statistiques d'ordre, exhaustivité, vraisemblance. Estimation ponctuelle et par intervalles : construction d'estimateurs et critères d'évaluation, méthodes bayésiennes. Normalité asymptotique et efficacité relative asymptotique.
Espérance conditionnelle. Prédiction. Modèles statistiques, familles exponentielles, exhaustivité. Méthodes d'estimation: maximum de vraisemblance, moindres carrés etc. Optimalité: estimateurs sans biais à variance minimum, inégalité de l'information. Propriétés asymptotiques des estimateurs. Intervalles de confiance et précision. Éléments de base de la théorie des tests. Probabilité critique, puissance en relation avec la taille d'échantillon. Relation entre tests et intervalles de confiance. Tests pour des données discrètes.
Étude des distributions échantillonnales classiques: T2 de Hotelling; loi de Wishart; distribution des valeurs et des vecteurs propres; distribution des coefficients de corrélation. Analyse de variance multivariée. Test d'indépendance de plusieurs sous-vecteurs. Test de l'égalité de matrices de covariance. Sujets spéciaux.
Nombre aléatoire. Simulation de lois classiques. Méthodes d'inversion et de rejet. Algorithmes spécifiques. Simulation des chaines de Markov à temps discret et continu. Solution numérique des équations différentielles ordinaires et stochastiques. Méthode numérique d'Euler et de Runge-Kutta. Formule de Feynman-Kac. Discrétisation. Approximation faible et forte, explicite et implicite. Réduction de la variance. Analyse des données simulées. Sujets spéciaux.
Rappel sur les principales notions de statistique mathématique et sur la statistique asymptotique. Introduction à la théorie des copules. Description des modèles de dépendance bidimensionnels et multidimensionnels les plus populaires et exploration exhaustive des propriétés de ces copules. Inférence statistique dans les modèles de copules : estimation de paramètres, copule empirique, tests d'adéquation et tests d'hypothèses composites. La méthode delta fonctionnelle et ses nombreuses applications, notamment en inférence de copules. Survol des avancées récentes, incluant les tests de rupture, l'étude de la dépendance conditionnelle, la modélisation de la dépendance spatiale et l'utilisation de la fonction caractéristique. Les objectifs spécifiques de ce cours sont : de maîtriser la théorie des copules, de connaître les principales méthodes d'inférence concernant les copules, d'être au fait des principaux développements récents, de bien connaître la littérature sur les copules, d'être capable de mettre en oeuvre les méthodes statistiques avec le logiciel Matlab (estimation de la puissance de tests, analyse de jeux de données).
This course introduces the theory and practice of time series analysis. Both time and frequency domain methods will be discussed. The objective of this course is to learn and apply statistical methods for the analysis of data that have been observed over time. The Analyses will be performed using the freely available package ITSM, which accompanies the textbook. Topics covered include:
This course is an introduction to the theory of prediction with neural networks. Several applications of neural networks to common problems faced in practice are finally explored. Students will also be exposed to the implementation of methods seen in class; programming assignments use the Python or R programming languages.
Topics covered: Review of predictive analytics and numerical computation concepts: Supervised learning, cross-validation, hyperparameters; Overflow and underflow; Feed-forward neural networks, Motivation, Non-linear predictions, Universality property.
Classification versus regression problems: Architecture specification, Parameter estimation, Objective function; Steepest gradient descent; Backpropagation, saturation, Hessian computation; Parameter initialization strategies.
Advanced estimation topics: Adaptive learning rates: Regularization, Dataset augmentation and noise injection, Alternative neural network types, Recurrent neural networks (RNN), Long-short term (LSTM) neural networks, Convolutional neural networks, Implementations and Applications.
This course is an introduction to statistical learning techniques. Topics covered include: cross- validation, regression methods, classification methods, tree-based methods, introduction to neural networks, unsupervised learning.
Probability distributions for categorical data, Analysis of 2X2 contingency tables, Multiway contingency tables, The Logistic regression, Logistic regression for categorical predictors, Logit models for nominal and ordinal responses, Log-linear models and modelling ordinal associations in contingency tables, Unsupervised learning techniques for categorical data, Non Linear Principal component analysis, Applications of unsupervised learning techniques using R, Item Response Theory, Rasch model. Some topics may be included or excluded as the time permits.
Exponential families, link functions. Inference and parameter estimation for generalized linear models; model selection using analysis of deviance. Residuals. Contingency table analysis, logistic regression, multinomial regression, Poisson regression, log-linear models. Multinomial models. Overdispersion and Quasilikelihood. Applications to experimental and observational data.
In-depth study of survival analysis, covering foundational concepts and advanced techniques in time-to-event data analysis. Exploration of censoring and truncation, survival and hazard functions, and nonparametric methods like the Kaplan-Meier estimator. Core topics include hypothesis testing for survival distributions, parametric and semiparametric modeling, and covariate inclusion through the Cox proportional hazards model. Emphasis is placed on model diagnostics, validation, and variable selection techniques, including best-subset selection, LASSO, and nonconcave penalized likelihood approaches. Practical applications and hands-on analysis using R for survival data in research and applied settings.
Stationary processes; estimation and forecasting of ARMA models; non-stationary and seasonal models; state-space models; financial time series models; multivariate time series models; introduction to spectral analysis; long memory models.
Sufficiency, minimal and complete sufficiency, ancillarity. Fisher and Kullback-Leibler information. Elements of decision theory. Theory of estimation and hypothesis testing from the Bayesian and frequentist perspective. Elements of asymptotic statistics including large-sample behaviour of maximum likelihood estimators, likelihood-ratio tests, and chi-squared goodness-of-fit tests.
Introduction to concepts in statistically designed experiments. Randomization and replication. Completely randomized designs. Simple linear model and analysis of variance. Introduction to blocking. Orthogonal block designs. Models and analysis for block designs. Factorial designs and their analysis. Row-column designs. Latin squares. Model and analysis for fixed row and column effects. Split-plot designs, model and analysis. Relations and operations on factors. Orthogonal factors. Orthogonal decomposition. Orthogonal plot structures. Hasse diagrams. Applications to real data and ethical issues.
Principes de l’analyse bayésienne; loi à priori et à postériori, inférence statistique et théorie de la décision. Méthodes computationnelles; méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov. Applications.
Rappels sur les modèles linéaires généralisés (inférence, tests, validation, choix de modèle). Géométrie de la régression. Étude asymptotique des estimateurs et réduction de variance. Régression robuste. Régression non paramétrique.
Distributions elliptiques. Estimateurs de localisation et dispersion. Estimateur robuste. Corrélations multiple, partielle, canonique. Tests paramétriques, de permutation, du bootstrap. Classification. Analyse en composantes principales. Prévision.
Analyse en composantes principales. Analyse des corrélations canoniques et régression multidimensionnelle. Analyse des correspondances. Discrimination. Classification. Analyse factorielle d'opérateurs.
Régression linéaire, modèles mixtes, modèles linéaires généralisés, régression de copule, méthodes non paramétriques, sélection de modèle, erreurs de mesure, données manquantes. Utilisation du logiciel R.
Théorie des modèles linéaires généraux. Théorie des modèles linéaires généralisés. Régression logistique. Modèles log-linéaires.
Classes d'hypothèse. Fonctions de perte et de risque. Décomposition biais-complexité. Complexité algorithmique. Régularisation, stabilité et surapprentissage. Optimisation convexe. Révision des modèles d'apprentissage statistique classiques, tels les réseaux de neurones, à travers cette nouvelle perspective. Programmation dans un langage tel que R ou Python.