Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :
Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.
Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.
Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course aims to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern ones such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.
Measure and integration, measure spaces, convergence theorems, Radon-Nikodem theorem, measure and outer measure, extension theorem, product measures, Hausdorf measure, LP-spaces, Riesz theorem, bounded linear functionals on C(X), conditional expectations and martingales.
Abstract theory of measure and integration: Borel-Cantelli lemmas, regularity of measures, product measures, Fubini-Tonelli theorem, signed measures, Hahn and Jordan decompositions, Radon-Nikodym theorem, differentiation in Rn.
We shall discuss the following topics (as time permits). Fourier series: summability in norm, pointwise convergence, order of magnitude of Fourier coefficients, L2 theory, absolutely convergent Fourier series, convergence in norm, convergence and divergence at a point, sets of divergence (if time permits). Interpolation: Riesz-Thorin and Hausdor-Young theorems. Lacunary series. Fourier transforms: FT for L1; L2; Lp, tempered distributions, almost-periodic functions, Payley-Wiener theorems.
Possible additional topics (some of which could be used for presentation): Wirtinger's inequality, Isoperimetric inequality, Poisson summation formula, applications to number theory (e.g. theta functions and Gaussian sums), compact operators, applications to probability, applications to PDE (e.g. solving heat and wave equations), Heisenberg uncertainty principle, harmonic analysis on Abelian groups, representation theory, random Fourier series.
Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.
Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.
Bien que les graphes soient intuitivement et naturellement représentés par des sommets et des arêtes, ces représentations sont limitées, tant en matière d’analyse théorique que la mise en œuvre pratique d’algorithmes de graphes. Une approche plus puissante est obtenue en représentant les graphes par des matrices appropriées (p.ex., des matrices d’adjacence, des noyaux de diffusion ou des laplaciens de graphes) qui capturent les relations intrinsèques entre les sommets sur la « »géométrie » » représentée par la structure du graphe. La théorie spectrale des graphes exploite ces matrices, et en particulier leurs décompositions spectrales (ou en valeurs et vecteurs propres), pour étudier les propriétés des graphes et leur structure intrinsèque sous-jacente. Cette étude conduit à des résultats surprenants et élégants, non seulement d’un point de vue mathématique, mais aussi dans la pratique avec des implémentations réalisables utilisées, par exemple, dans le regroupement, la visualisation, la réduction de la dimensionnalité, l’apprentissage de variétés et l’apprentissage profond géométrique. Enfin, comme presque toutes les données modernes peuvent aujourd’hui être modélisées sous forme de graphe, soit naturellement (p.ex., les réseaux sociaux), soit par le biais de mesures d’affinité appropriées, les notions et les outils étudiés dans ce cours fournissent un cadre puissant pour saisir et comprendre la géométrie des données en général.
On utilisera la mécanique classique et le principe de moindre action pour s'initier aux concepts de base du calcul des variations, notamment les équations d'Euler-Lagrange et les équations d'Hamilton. On transposera alors ces notions en géométrie en abordant plusieurs exemples intéressants: géodésiques, surfaces minimales, métriques à courbure constante, applications harmoniques, flot gradient, théorie de jauge. On se concentrera alors sur les surfaces minimales en s'initiant à une méthode systématique pour les construire: la théorie géométrique de la mesure.
The course is an introduction to the classical theory of partial differential equations (PDEs). The topics presented will be: first order linear and quasi-linear equations; linear second order PDEs (Laplace, Heat, Wave equations), maximum principles, properties of harmonic functions, accompanied by guided independent study, based on individual mathematical interests and areas of study, in which graduate students will explore further topics chosen from: nonlinear elliptic and parabolic PDEs (geometric properties of solutions, gradient flows, methods of subsolutions and supersolutions), or the use of calculus of variations and fixed point methods.
Topics include: Hilbert spaces, Banach spaces, linear functionals, dual spaces, bounded linear operators, adjoints; the Hahn-Banach, Baire caterogy, Banach-Steinhaus, open mapping and closed graph theorems; compact operators, the Fredholm alternative, the spectral theorem; the weak/weak* topologies.
Review of the basic theory of Banach and Hilbert spaces, Lp spaces, open mapping theorem,closed graph theorem, Banach-Steinhaus theorem, Hahn-Banach theorem, weak and weak-* convergence, weak convergence of measures, Riesz representation theorems, spectral theorem for compact self-adjoint operators, Fredholm theory, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Fourier series and integrals, additional topics.
La première partie du cours portera sur les surfaces de Riemann (définition, exemples, fonctions holomorphes et leurs propriétés, le théorème d'uniformisation et ses conséquences, géométrie hyperbolique), puis la deuxième partie sur la théorie de leurs déformations (coordonnées de Fenchel-Nielsen, transformations quasiconformes, longueur extrémale, différentielles de Beltrami et quadratiques, théorème de Teichmüller).
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.
Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.