Analyse

Description du programme

Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :

  • Analyse sur les variétés : la géométrie spectrale (valeurs propres et fonctions propres des Laplaciens), le chaos quantique.
  • Analyse classique
  • Analyse complexe : approximation complexe, les groupes discrets à deux générateurs, la dynamique complexe, l’analyse à plusieurs variables complexes et les multifonctions analytiques.
  • Théorie ergodique : la théorie spectrale des transformations qui préservent la mesure, les résultats de type Baire en théorie ergodique et les généralisations des théorèmes ergodiques aux suites de projections généralisées.
  • Analyse fonctionnelle : les algèbres de Banach, les résolvantes et la contrôlabilité des opérateurs, le théorème spectral généralisé et les suites d’opérateurs auto-adjoints et leurs limites faibles, l’analyse des matrices et les inégalités, la théorie spectrale et la physique mathématique.
  • Analyse harmonique : les séries trigonométriques, les formes automorphes, les intégrales singulières, les transformées de Fourier, les opérateurs multiplicateurs, la théorie de Littlewood-Paley, les fonctions harmoniques sur Rn, les espaces de Hardy, les fonctions carrées, les liens entre l’analyse harmonique et la théorie des probabilités et la théorie ergodique.
  • Équations aux dérivées partielles : les liens avec l’analyse fonctionnelle, géométrique et harmonique.
  • Théorie du potentiel : la dualité dans la théorie du potentiel, l’approximation harmonique, le comportement aux frontières et la théorie du potentiel sur les arbres.

Membres du programme

Formation

Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.

Prérequis:

Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.

  • Measure Theory (Concordia MAST 669)
    Functional Analysis I (Concordia MAST 662)
  • ou
  • Advanced Real Analysis I (McGill MATH-564)
    Advanced Real Analysis II (McGill MATH-565)
    Advanced Complex Analysis (McGill MATH-566)
  • ou
  • Mesure et intégration (Université de Montréal MAT 6111)
    Analyse fonctionnelle (Université de Montréal MAT 6112)
    Topologie générale (Université de Montréal MAT 6310)
    Analyse complexe: sujets spéciaux (Université de Montréal MAT 6182K)
  • ou
  • Analyse fonctionnelle I (Laval MAT-7100)
    Théorie de la mesure et intégration (Laval MAT-6000)
    Équations aux derivées partielles (Laval MAT-7220)

Cours 2024-25

Automne

Convex / Nonlinear Analysis

Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course aims to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern ones such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.

Prof. Alina Stancu

MAST 661/2 sec. A / 837A

Institution: Concordia University

Measure Theory

Measure and integration, measure spaces, convergence theorems, Radon-Nikodem theorem, measure and outer measure, extension theorem, product measures, Hausdorf measure, LP-spaces, Riesz theorem, bounded linear functionals on C(X), conditional expectations and martingales.

Prof. Maria Ntekoume

MAST 669/2 sec. D / 837D

Institution: Concordia University

Real Analysis and Measure Theory

Abstract theory of measure and integration: Borel-Cantelli lemmas, regularity of measures, product measures, Fubini-Tonelli theorem, signed measures, Hahn and Jordan decompositions, Radon-Nikodym theorem, differentiation in Rn.

Prof. John Toth

MATH 564

Institution: Université McGill

Topics in Analysis / Advanced Topics in Analysis 1: Fourier Analysis

We shall discuss the following topics (as time permits). Fourier series: summability in norm, pointwise convergence, order of magnitude of Fourier coefficients, L2 theory, absolutely convergent Fourier series, convergence in norm, convergence and divergence at a point, sets of divergence (if time permits). Interpolation: Riesz-Thorin and Hausdor-Young theorems. Lacunary series. Fourier transforms: FT for L1; L2; Lp, tempered distributions, almost-periodic functions, Payley-Wiener theorems.

Possible additional topics (some of which could be used for presentation): Wirtinger's inequality, Isoperimetric inequality, Poisson summation formula, applications to number theory (e.g. theta functions and Gaussian sums), compact operators, applications to probability, applications to PDE (e.g. solving heat and wave equations), Heisenberg uncertainty principle, harmonic analysis on Abelian groups, representation theory, random Fourier series.

Prof. Dmitry Jakobson

MATH 595/740

Institution: Université McGill

Mesure et intégration (cours enseigné en anglais)

Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.

Prof. Alessandro Fazzari

MAT 6117

Institution: Université de Montréal

Analyse fonctionnelle

Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Prof. Marlène Frigon

MAT 6124

Institution: Université de Montréal

Théorie spectrale des graphes

Bien que les graphes soient intuitivement et naturellement représentés par des sommets et des arêtes, ces représentations sont limitées, tant en matière d’analyse théorique que la mise en œuvre pratique d’algorithmes de graphes. Une approche plus puissante est obtenue en représentant les graphes par des matrices appropriées (p.ex., des matrices d’adjacence, des noyaux de diffusion ou des laplaciens de graphes) qui capturent les relations intrinsèques entre les sommets sur la «  »géométrie » » représentée par la structure du graphe. La théorie spectrale des graphes exploite ces matrices, et en particulier leurs décompositions spectrales (ou en valeurs et vecteurs propres), pour étudier les propriétés des graphes et leur structure intrinsèque sous-jacente. Cette étude conduit à des résultats surprenants et élégants, non seulement d’un point de vue mathématique, mais aussi dans la pratique avec des implémentations réalisables utilisées, par exemple, dans le regroupement, la visualisation, la réduction de la dimensionnalité, l’apprentissage de variétés et l’apprentissage profond géométrique. Enfin, comme presque toutes les données modernes peuvent aujourd’hui être modélisées sous forme de graphe, soit naturellement (p.ex., les réseaux sociaux), soit par le biais de mesures d’affinité appropriées, les notions et les outils étudiés dans ce cours fournissent un cadre puissant pour saisir et comprendre la géométrie des données en général.

Prof. Guy Wolf

MAT6495

Institution: Université de Montréal

Calcul des variations

On utilisera la mécanique classique et le principe de moindre action pour s'initier aux concepts de base du calcul des variations, notamment les équations d'Euler-Lagrange et les équations d'Hamilton.  On transposera alors ces notions en géométrie en abordant plusieurs exemples intéressants: géodésiques, surfaces minimales, métriques à courbure constante, applications harmoniques, flot gradient, théorie de jauge.  On se concentrera alors sur les surfaces minimales en s'initiant à une méthode systématique pour les construire: la théorie géométrique de la mesure. 

Prof. Frédéric Rochon

MAT8100

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Differential Equations / Partial Differential Equations

The course is an introduction to the classical theory of partial differential equations (PDEs). The topics presented will be: first order linear and quasi-linear equations; linear second order PDEs (Laplace, Heat, Wave equations), maximum principles, properties of harmonic functions, accompanied by guided independent study, based on individual mathematical interests and areas of study, in which graduate students will explore further topics chosen from: nonlinear elliptic and parabolic PDEs (geometric properties of solutions, gradient flows, methods of subsolutions and supersolutions), or the use of calculus of variations and fixed point methods.

Prof. Alina Stancu

MAST 666/4 sec. A / 841A

Institution: Concordia University

Functional Analysis I / Selected Topics in Analysis

Topics include: Hilbert spaces, Banach spaces, linear functionals, dual spaces, bounded linear operators, adjoints; the Hahn-Banach, Baire caterogy, Banach-Steinhaus, open mapping and closed graph theorems; compact operators, the Fredholm alternative, the spectral theorem; the weak/weak* topologies.

Prof. Galia Dafni

MAST 662/4 sec. C / 837C

Institution: Concordia University

Functional Analysis

Review of the basic theory of Banach and Hilbert spaces, Lp spaces, open mapping theorem,closed graph theorem, Banach-Steinhaus theorem, Hahn-Banach theorem, weak and weak-* convergence, weak convergence of measures, Riesz representation theorems, spectral theorem for compact self-adjoint operators, Fredholm theory, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Fourier series and integrals, additional topics.

Prof. John Toth

MATH 565

Institution: Université McGill

Analyse complexe : sujets spéciaux. Surfaces de Riemann et théorie de Teichmüller

La première partie du cours portera sur les surfaces de Riemann (définition, exemples, fonctions holomorphes et leurs propriétés, le théorème d'uniformisation et ses conséquences, géométrie hyperbolique), puis la deuxième partie sur la théorie de leurs déformations (coordonnées de Fenchel-Nielsen, transformations quasiconformes, longueur extrémale, différentielles de Beltrami et quadratiques, théorème de Teichmüller).

Prof. Maxime Fortier Bourque

MAT6139A

Institution: Université de Montréal

Analyse géométrique (cours enseigné en anglais)

Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.

Prof. Dmitry Faifman

MAT6230

Institution: Université de Montréal

Surfaces de Riemann

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.

Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.

Prof. Vasilisa Shramchenko

MAT 737

Institution: Université de Sherbrooke