L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.
Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.
Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.
Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.
Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.
Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.
Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.
Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.
Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.
This course is a topic course on elliptic curves, which can be taken as a first or second course on the subject. We will first study elliptic curves (and general curves) over finite fields, proving the Weil conjectures for curves over finite fields, and making the link with random matrix theory. Other related possible topics: the Sato-Tate conjecture and the modularity of complex multiplication elliptic curves.
The course will, for the first part, follow Hartshorne's book Algebraic Geometry, chapter III. We will develop the general theory of derived functors and hyper derived functors, in particular right derived functors of a left exact functor, respectively, left derived functors of a right exact functor. This will provide the conceptual framework for defining sheaf cohomology and de Rham cohomology. We will also study Chech cohomology of a coherent sheaf on scheme and its relationship to sheaf cohomology and de Rham cohomology. Finally, duality theorems for both sheaf cohomology (of quasi coherent sheaves on a projective scheme) and de Rham cohomology will be investigated.
Evaluation: there will be homework assignments during the semester and a final, written exam at the end of it.
Corps (extensions, théorie de Galois, corps finis), Anneaux (noethériens et artiniens, radicaux, idéaux premiers et maximaux, localisation, théorème de Wedderburn, Nullstellensatz), Modules (lemme de Schur, modules projectifs et injectifs, suites exactes, produit tensoriel, catégories).
Ce cours se veut une introduction à la géométrie algébrique et sera divisé en deux parties. Dans la première partie on étudiera les courbes algébriques sur les complexes avec une emphase sur les courbes projectives et lisses (i.e. les surfaces de Riemann compactes). La théorie sera développée en faisant appel simultanément à des notions d'algèbre, d'analyse complexe et de topologie. Voici les thèmes qui seront traités dans cette première partie: courbes affines, courbes projectives, applications holomorphes et méromorphes, fonctions thêtas, courbes hyperelliptiques, revêtements et formule d'Hurwitz, théorème de Riemann-Roch, singularités (noeud, cusp). Dans la deuxième partie du cours nous aborderons la théorie générale des variétés algébriques sur un corps quelconque avec une emphase sur celles qui sont définies sur le corps des complexes. Voici les thèmes qui seront couverts dans cette deuxième partie: anneaux noethériens et ensembles algébriques affines, variétés affines et théorème du Nullstellensaz de Hilbert, variétés projectives, anneaux des coordonnées affines et homogènes, morphismes et applications birationnelles, topologie de Zariski et équivalence de catégorie pour le cas affine.
• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits.
• Affine schemes. Integral extensions.
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space.
• Representations of finite groups.
Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.
Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17<+>e<+> problème de Hilbert.
We will begin considering several notions of height (naive height, Weil height, Neron-Tate height, dynamical height), which are quantitative measurements for the "complexity" of an algebraic number. With this notion we will explore several techniques to prove finiteness results in the theory of Diophantine equations. We will follow mostly (but not only) the book of Bombieri—Gübler "Heights in Diophantine Geometry".
Completion of the topics of MATH 570. Rudiments of algebraic number theory. A deeper study of field extensions; Galois theory, separable and regular extensions. Semi-simple rings and modules. Representations of finite groups
This course is cross-listed. Undergraduate students should register for MATH 596 and graduate students for MATH 726.
The course will be devoted to the emerging subject of unlikely intersections. This is a topic in arithmetic geometry — the discipline that merges number theory and algebraic geometry — and deals with phenomena where one does not expect an intersection between certain subvarieties of a given variety and, in light of this, when such an intersection exists seeks to provide a classification of the conditions when such unlikely phenomena occur. It is quite similar in spirit to the purely algebraic geometrical term of excess intersection. Some of the outstanding conjectures and theorems in this area are the Andre-Oort conjecture (now a theorem) and the Zilber-Pink conjecture.
The course will provide a gentle introduction to these topics. The exact syllabus will be determined so as to accommodate the audience. The course will also be accessible to motivated undergraduate students and so a lot of background material will be provided during the course. Strong background in algebra at the level of the undergraduate courses will be assumed and background in algebraic number theory and algebraic geometry is desired but not required. Undergraduates wishing to take the course are advised to contact me during the Fall semester.
The course will be based on the book Zannier: Some problems of unlikely intersections in arithmetic and geometry, Annals of Mathematical Studies, vol. 181. Although this should be thought of more as a road map than a text book.
The method of evaluation in this course will be based on a final paper, a presentation, and exercises.
Représentations des groupes, algèbre d’un groupe fini, table de caractères, représentations des groupes symétriques, groupes de Lie, algèbre de Lie, représentations des groupes classiques.
Distribution des nombres premiers. Fonction zêta de Riemann et fonctions-L de Dirichlet. Le théorème des nombres premiers, et de Bombieri-Vinogradov. La répartition des nombres premiers consécutifs.
Représentations de carquois, représentations projectives et injectives, algèbres et modules, algèbres de carquois liés, théorie d'Auslander-Reiten.
La théorie de la représentation des groupes et une théorie algébrique dont les ramifications s’étendent à de très nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’à la Physique te à la Chimie. L’apprentissage de cette théorie permettra entre autre à l’étudiant d’appréhender d’autres théories algébriques de la représentation.
Descripteur : Représentations linéraires des groupes finis. Sous-représentations, théorème de Mashke; représentations irréductibles. Théorie des caractères. Décomposition en composantes isotypiques. Produits tensoriels; représentation induites. Représentations linéaires des groupes compacts. Exemples: groupes cycliques, diédraux, symétriques: tores, groupes de rotations.