La théorie des probabilités est l’étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l’incertitude. Les spécialistes de cette discipline au sein de l’ISM s’intéressent à un large éventail de problèmes théoriques et appliqués où les probabilités discrètes et continues ont un rôle à jouer. Leurs travaux concernent notamment le développement et l’analyse de modèles probabilistes pour des phénomènes physiques, biologiques, statistiques et informatiques. Ils étudient entre autres la physique statistique dans un environnement aléatoire, les processus évolutifs en biologie, les systèmes à portée variable, les paysages énergétiques aléatoires, l’analyse de la structure de données au moyen d’arborescences aléatoires, la génétique et la biologie des populations.
Plusieurs membres du groupe font également partie du laboratoire de probabilités du CRM.
Les étudiants intéressés à poursuivre leurs études graduées dans l'un ou l'autre des domaines mentionnés ci-dessus sont invités s'inscrire au programme. Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.
Les étudiants intégrés au programme devraient maîtriser les fondements de la théorie des probabilités. Ces étudiants devront prendre les cours intermédiaires suivants: théorie de la mesure et théorie des probabilités. Ils devront ensuite suivre des cours spécialisés.
Probability space, discrete and continuous random variables; Conditional probability and conditional expectation; Generating functions, characteristic functions, limit theorems; Random walk and branching processes ; Convergence of random variables, modes of convergence ; Introduction of martingales, martingale convergence theorem, optional stopping.
Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.
Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.
Lévy Processes are stochastic processes with stationary independent increments. They are often used to describe random phenomena with fluctuations involving jumps.
In this course, we will mainly introduce Lévy Processes with one-sided jumps and the associated fluctuation theory. The following topics will be covered: Lévy-Ito decomposition, subordinators, exponential martingale and Esscher transform, scale functions, solution to the exit problems, potential measures, Wiener-Hopf factorization, reflected Lévy processes and the associated excursion processes. If time allows, we will also briefly introduce applications of such Lévy processes in population models and in risk theory. There will be no exam for this course. Each student is expected to give a short presentation on related topics.
Emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.
Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.