Geometry and topology are fundamental disciplines of mathematics whose richness and vitality, evident throughout human history, reflect a deep link to our experience of the universe. They are a focal point of modern mathematics and indeed several domains of mathematics have recently shown a strong trend towards a geometrization of ideas and methods: two cases in point are mathematical physics and number theory.
Within this broad subject, the main areas of research of the group include the topological classification of 3-dimensional manifolds; classification of special Kähler metrics; the study of symplectic invariants, especially in dimension 4; non-linear partial differential equations in Riemannian geometry, convex geometry, and general relativity; Poisson geometry and deformation quantization; and Hamiltonian dynamical systems.
Most of the researchers in the group are also membres of CIRGET, the Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. The Center organizes scientific events as well as several weekly seminars.
Students interested in this program are expected to progress through three levels of courses.
The following topics outline the content presented in class: surfaces in three dimensions, the first and second fundamental forms of surfaces, curvatures of surfaces (principal, Gaussian and mean curvature), geodesics, Gauss’ Theorema Egregium, the Gauss-Bonnet theorem. Graduate students will complement this content by guided independent study of Riemannian geometry on manifolds or other topics at the instructor’s recommendation depending on individual mathematical interests and areas of study.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
Variétés, transversalité et degré. Théorème de Sard. Éléments de la théorie de Morse. Complexe de Morse. Théorème de Hopf-Poincaré. Cobordisme. Signature. Théorème de h-cobordisme. Classes caractéristiques. Espaces de Thom, groupes de cobordisme.
Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.
Variétés complexes, variétés projectives, variétés de Kähler. Fibrés holomorphes hermitiens. Théorie de Hodge élémentaire. Positivité et théorème de plongement de Kodaira. Notions de courbure. Équation de Monge-Ampère complexe. Équation d'Hermite-Einstein. Correspondance de Kobayashi-Hitchin pour les fibrés. Noyau de Bergman. Applications à la géométrie algébrique complexe.
La topologie symplectique est l’étude des variétés de dimension paire arbitraire munie d’une forme symplectique. Cette forme caractérise complètement la forme de Kähler quand la structure complexe est donnée et réciproquement. Elle est donc équivalente, dans le domaine complexe, à la structure riemannienne. Mais elle est beaucoup plus générale, car elle s’applique aussi bien aux variétés qui ne possèdent pas de structure complexe intégrable, comme par exemple la plupart des cotangents des variétés réelles, qui sont le lieu de la mécanique classique et quantique. En gros, la topologie symplectique est la réunion de la géométrie algébrique et de la théorie des systèmes hamiltoniens. Ce qui est fascinant est que la première se trouve dans l’intérieur de la variété alors que la seconde se trouve à son bord. Alternativement, la topologie symplectique est le versant mathématique (plus général) de la théorie des cordes en physique. Le cours s’adresse aux doctorants et aux étudiants de maîtrise avancés. Le cours est self-content. Il sera bilingue (écrire en anglais et parler en français) s’il le faut, et accessible par visioconférence aux étudiants hors de Montréal. Nous débuterons avec les concepts de base et terminerons avec les invariants de Gromov-Witten, la cohomologie quantique et les conjectures récentes.
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
The course will start in 2D with the Nielsen-Thurston classification of surface homeomorphisms. We will use hyperbolic geometry, geodesic laminations, and measured foliations. Some basic results about mapping class groups and moduli spaces of surfaces will follow. The second half of the course will cover analogous (1D) results for free groups related to: their automorphisms, their outer automorphism groups, and moduli spaces of graphs (or "Outer space"!). The unexpected similarities between the two settings (2D vs. 1D) will be the highlights of the course.
Propriétés élémentaires des complexes simpliciaux; subdivisions. Homologies simpliciale et singulière. Invariance. Équivalence de ces homologies dans le cas des polyèdres. Suites de Mayer-Vietoris. Applications: les espaces Rn, théorèmes de points fixes, théorème de la courbe de Jordan.
Ensembles partiellement ordonnés, extensions linéaires; complexes simpliciaux associés. Arrangements d’hyperplans. Propriétés de Sperner. Aspects combinatoires de la topologie algébrique. Polytopes et la théorie d’Ehrhart.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Description: The aim of this course is to study various aspects of the notion of positivity of holomorphic vector fibres over complex varieties and, in particular, to discuss recent advances in the Griffiths positivity conjecture. Some of these notions, in particular for line bundles, are classical, but the case of vector fibers of higher rank remains mysterious.
Course content: Positivity of line bundles, amplitude and Kodaira embedding theorem, cohomology vanishing theorems. Nakai-Moishezon criterion and generalisations, numerical characterisation of the Kähler cone (nef, pseudo-effective, big cones).
Applications: bundles of multiplying ideals, study of the Kähler-Einstein equation on a Fano variety, study of the deformed Hermite-Yang-Mills equation (dHYM) above a surface. Positivity and amplitude for vector fibers of general rank. Concrete examples of ample bundles, characterization of ample fibers over a curve by Hartshorne. Monge-Ampère equation (generalised to vector bundles), relation with Yang-Mills Hermitian connections and Gieseker stability. The prerequisite is to have taken a course in differential geometry. Ideally, a first course in complex geometry (e.g. Riemann surfaces) should have been taken.