La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.
Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.
La plupart des chercheurs du groupe font partie du CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.
Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:
The following topics outline the content presented in class: surfaces in three dimensions, the first and second fundamental forms of surfaces, curvatures of surfaces (principal, Gaussian and mean curvature), geodesics, Gauss’ Theorema Egregium, the Gauss-Bonnet theorem. Graduate students will complement this content by guided independent study of Riemannian geometry on manifolds or other topics at the instructor’s recommendation depending on individual mathematical interests and areas of study.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
Variétés, transversalité et degré. Théorème de Sard. Éléments de la théorie de Morse. Complexe de Morse. Théorème de Hopf-Poincaré. Cobordisme. Signature. Théorème de h-cobordisme. Classes caractéristiques. Espaces de Thom, groupes de cobordisme.
Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.
Variétés complexes, variétés projectives, variétés de Kähler. Fibrés holomorphes hermitiens. Théorie de Hodge élémentaire. Positivité et théorème de plongement de Kodaira. Notions de courbure. Équation de Monge-Ampère complexe. Équation d'Hermite-Einstein. Correspondance de Kobayashi-Hitchin pour les fibrés. Noyau de Bergman. Applications à la géométrie algébrique complexe.
Salle: PK-5675
Heure: Lundi 9h à 12h
La topologie symplectique est l’étude des variétés de dimension paire arbitraire munie d’une forme symplectique. Cette forme caractérise complètement la forme de Kähler quand la structure complexe est donnée et réciproquement. Elle est donc équivalente, dans le domaine complexe, à la structure riemannienne. Mais elle est beaucoup plus générale, car elle s’applique aussi bien aux variétés qui ne possèdent pas de structure complexe intégrable, comme par exemple la plupart des cotangents des variétés réelles, qui sont le lieu de la mécanique classique et quantique. En gros, la topologie symplectique est la réunion de la géométrie algébrique et de la théorie des systèmes hamiltoniens. Ce qui est fascinant est que la première se trouve dans l’intérieur de la variété alors que la seconde se trouve à son bord. Alternativement, la topologie symplectique est le versant mathématique (plus général) de la théorie des cordes en physique. Le cours s’adresse aux doctorants et aux étudiants de maîtrise avancés. Le cours est self-content. Il sera bilingue (écrire en anglais et parler en français) s’il le faut, et accessible par visioconférence aux étudiants hors de Montréal. Nous débuterons avec les concepts de base et terminerons avec les invariants de Gromov-Witten, la cohomologie quantique et les conjectures récentes.
Salle: PK-5675
Heure: Mercredi 9h à 12h
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
The course will start in 2D with the Nielsen-Thurston classification of surface homeomorphisms. We will use hyperbolic geometry, geodesic laminations, and measured foliations. Some basic results about mapping class groups and moduli spaces of surfaces will follow. The second half of the course will cover analogous (1D) results for free groups related to: their automorphisms, their outer automorphism groups, and moduli spaces of graphs (or "Outer space"!). The unexpected similarities between the two settings (2D vs. 1D) will be the highlights of the course.
Propriétés élémentaires des complexes simpliciaux; subdivisions. Homologies simpliciale et singulière. Invariance. Équivalence de ces homologies dans le cas des polyèdres. Suites de Mayer-Vietoris. Applications: les espaces Rn, théorèmes de points fixes, théorème de la courbe de Jordan.
Ensembles partiellement ordonnés, extensions linéaires; complexes simpliciaux associés. Arrangements d’hyperplans. Propriétés de Sperner. Aspects combinatoires de la topologie algébrique. Polytopes et la théorie d’Ehrhart.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Descriptif: L'objectif de ce cours est d'étudier sous différents aspects la notion de positivité des fibrés vectoriels holomorphes au-dessus de variétés complexes et en particulier de discuter des avancées récentes autour de la conjecture de positivité de Griffiths. Certaines de ces notions, notamment pour les fibrés en droites sont classiques, et mais le cas des fibrés vectoriels de rang supérieur reste mystérieux.
Contenu du cours : Positivité des fibrés en droites, amplitude et théorème de plongement de Kodaira, théorèmes d'annulations de la cohomologie. Critère de Nakai-Moishezon et généralisations, caractérisation numérique du cône Kähler (cônes nef, pseudo-effectif, big). Applications : faisceaux d'idéaux multiplicateurs, étude de l'équation Kähler-Einstein sur une variété Fano, étude de l'équation d'Hermite-Yang-Mills deformée (dHYM) au-dessus d'une surface. Positivité et amplitude pour des fibrés vectoriels de rang quelconque. Exemples concrets de fibrés amples, caractérisation des fibrés amples au-dessus d'une courbe par Hartshorne. Équation de Monge-Ampère (généralisée aux fibrés vectoriels), relation avec les connexions Hermitiennes de Yang-Mills et la stabilité de Gieseker.
Les prérequis sont d'avoir suivi un cours de géométrie différentielle. L'idéal serait d'avoir suivi un premier cours de géométrie complexe (par exemple sur les surfaces de Riemann).
Résumé : L’objectif de ce cours est de présenter quelques résultats fondamentaux sur les 4-variétés lisses. Après un premier rappel sur l’homologie et la cohomologie des 4-variétés, nous étudierons la forme d’intersection et comment elle fournit divers résultats de classification pour les variétés lisses de dimension 4. Nous nous intéresserons particulièrement à la classification de Freedman des 4-variétés simplement connexes, aux exclusions lisses de Donaldson et au théorème de Rokhlin. Nous apprendrons également à représenter les variétés 4-variétés lisses via des diagrammes de Kirby et à l’impact du calcul effectué sur ces diagrammes sur la variété 4-variété correspondante. Enfin, nous discuterons du théorème de stabilisation de Wall après avoir couvert certains aspects fondamentaux de la théorie du cobordisme.
Liste de sujets : Préliminaires sur les variétés de basse dimension. Formes d'intersection et surfaces plongés. Classes caractéristiques, orientations et structures spin. Théorèmes de Whitehead et de Freedman. Théorèmes de Rokhlin, de Donaldson et 4-variétés non-différentiables. Corps d'anses, diagrammes de Kirby et calcul de Kirby. Cobordismes et théorème de stabilisation de Wall. Les applications et exemples peuvent inclure les surfaces complexes et elliptiques, les revêtements ramifiés et d'autres sujets exotiques.