Le regroupement d'analyse est affilié au laboratoire d'analyse mathématique du CRM qui organise un grand nombre d'événements scientifiques. Les intérêts de recherche des membres du groupe peuvent être classifiés grosso modo sous les rubriques suivantes :
Ce programme vise à initier les étudiants et les étudiantes à la recherche en analyse, en allant de l’analyse classique à l’analyse moderne, avec des applications à des domaines tels la géométrie, la physique mathématique, la théorie des nombres et la statistique.
Il est très important que les étudiants et étudiantes qui s’intéressent au programme d’analyse suivent une des séries de cours d’introduction à l’analyse qui suivent. Ces cours donnent la préparation nécessaire pour les cours plus avancés offerts dans le cadre du programme.
Topics include Lebesgue measure, measurable sets and functions; Lebesgue integral; Differentiation and integration; Lebesgue (Lp) spaces; Additional topics may be covered if time permits.
Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym.
Ce cours porte sur les méthodes classiques de résolution des équations aux dérivées partielles« : équations du premier ordre, caractéristiques, théorie de Hamilton Jacobi, classification des équations du second ordre, fonctions de Green, méthode de Riemann, etc.
Abstract theory of measure and integration: Borel-Cantelli lemmas, regularity of measures, product measures, Fubini-Tonelli theorem, signed measures, Hahn and Jordan decompositions, Radon-Nikodym theorem, differentiation in Rn.
Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.
Équations des ondes et de la chaleur, problème de Sturm-Liouville, théorie des distributions, espaces de Sobolev, fonctions harmoniques, équations elliptiques, éléments de la théorie spectrale.
The course will introduce students to the theory of classical harmonic analysis: convergence of Fourier series on the circle; Fourier transforms on the line and in Euclidean space; the Schwartz space and tempered distributions; and the Poisson Summation Formula. It will also cover applications to PDE; the Shannon Sampling Theorem; the discrete Fourier transform and Fast Fourier Transform; wavelets and frames.
The course is planned to consist of two parts: a short and condensed survey of the basic concepts of the theory of functions of one complex variable (from the Cauchy formula to the Riemann theorem on conformal mapping) and an introduction to the theory of compact Riemann surfaces (from elliptic functions to Abel and Riemann-Roch theorems; the latter will be introduced as a very special case of the index theorem).
The course is an introduction to the classical theory of partial differential equations (PDEs). The topics presented will be: first order linear and quasi-linear equations; linear second order PDEs (Laplace, Heat, Wave equations), maximum principles, properties of harmonic functions, accompanied by guided independent study, based on individual mathematical interests and areas of study, in which graduate students will explore further topics chosen from: nonlinear elliptic and parabolic PDEs (geometric properties of solutions, gradient flows, methods of subsolutions and supersolutions), or the use of calculus of variations and fixed point methods.
Review of the basic theory of Banach and Hilbert spaces, Lp spaces, open mapping theorem,closed graph theorem, Banach-Steinhaus theorem, Hahn-Banach theorem, weak and weak-* convergence, weak convergence of measures, Riesz representation theorems, spectral theorem for compact self-adjoint operators, Fredholm theory, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Fourier series and integrals, additional topics.
Espaces de Sobolev. Algèbres de Banach, théorème de Gelfand. Théories spectrales d’opérateurs bornés. Opérateurs non bornés, transformée de Cayley.
Espaces de Hilbert, espaces de Banach, algèbres de Banach. Étude particulière de l'algèbre des opérateurs sur un espace de Hilbert. Espace de Banach des fonctions à variation bornée et intégrale de Stieltjes. Fonctionnelles linéaires. Théorème de représentation de Riesz. Théorèmes de Hahn-Banach, de la borne uniforme et du graphe fermé. Topologies faibles. Convexité : théorèmes de séparation, inégalité de Jensen, théorème de Krein-Milman.