To register for an ISM course, you must first have you course selection approved by your supervisor and departmental Graduate Program Director. You may then register for the course using the electronic form available on the BCI website (the BCI is the organization that handles inter-university registration). The form will then be sent to the home and host universities' Registrars for approval.
Additional procedures for non-McGill students registering for a course at McGill University:
Once the registration through the BCI website is complete, the student will receive a confirmation. The student must then register for the course at McGill University through the MINERVA registration system.
Important deadlines: Concordia, Laval, McGill, Université de Montréal, UQAM, UQTR, Université de Sherbrooke
Course Schedules:
Online Open Access Courses that were offered by the CRM and the ISM:
Javad Mashreghi, Université Laval
Reproducing Kernel Hilbert Space of Analytic Functions
Course site
Iosif Polterovich, Université de Montréal
Geometric Spectral Theory
Course site
We will start the course with the basic theory of modular functions and modular forms, and study the space of cusp forms, the Hecke operators and the zeta functions of modular forms.
Using this material, we will cover some topics of complex multiplication elliptic curves, and complex multiplication theory.
The following textbooks are good references for the course:
G. Shimura, Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Forms
H. Iwaniec, Topics in Classical Automorphic Forms
The evaluation of the course will consist of assignments and presentations by the students.
We will develop local and global class field theory through the lenses of Galois cohomology. We will spend a substantial amount of time developing from scratch the cohomology of discrete modules for a profinite group and only then move towards the intended arithmetic target. As a background, some earlier exposure to algebraic number theory and Galois theory would be helpful.
p-Adic Hodge-theory is a theory which allows us to classify p-adic representations of the absolute Galois group of a p-adic field, i.e. a finite extension of Qp. This classification is done using p-adic period rings.
Further on, this theory allows us to understand geometrically p-adic Galois representations coming from étale cohomology of smooth proper algebraic varieties over a p-adic field by "comparing" it with de Rham cohomology of the rigid analytic space associated to the variety.
The grade in the course will be assigned as follows: 50% based on the homework assignments during the semester, and 50% based on the final exam, at the end of the course.
Groupes et algèbres de Lie : groupes de Lie, espaces tangents et champs de vecteurs, algèbres de Lie, application exponentielle, représentations adjointes et coadjointes. Structure et classification des algèbres de Lie : algèbres résolubles et nilpotentes, décomposition en espaces de racines, groupes de Weyl, matrices de Cartan, esquisse de la classification, théorème de Serre. Théorie des représentations : théorème de Weyl, décompositions en espaces de poids, algèbres enveloppantes, modules de Verma. Sujets à option : introduction à l'analyse harmonique non commutative, algèbres de Lie de dimension infinie, théorie géométrique des représentations, formules des caractères et formes modulaires.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves.
Prerequisites: MATH 456 or permission of the instructor. Some familiarity with rings, ideals, and multivariable calculus is expected.
• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits.
• Affine schemes. Integral extensions.
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space.
• Representations of finite groups.
Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. Formes de Maurer-Cartan. Théorèmes de Lie. Application exponentielle, coordonnées canoniques. Sous-groupes fermés. Sous-groupes connexes par arcs. Formes de Killing et les groupes semi-simples.
Anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d'un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière: clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications.
Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17e problème de Hilbert.
The course will introduce modular forms geometrically, as section of line bundles and as cohomology classes in de Rham cohomology. We will present the Eichler–Shimura isomorphism comparing de Rham cohomology of the modular curve with coherent cohomology of automorphic coherent sheaves. We will describe applications to Galois representations and L-function of modular forms, and study congruences between (p-adic) eigenforms forms, introducing the notion of p-adic families, following approaches of Katz, Hida, and Coleman.
Completion of the topics of MATH 570. Rudiments of algebraic number theory. A deeper study of field extensions; Galois theory, separable and regular extensions. Semi-simple rings and modules. Representations of finite groups
Anneaux commutatifs, idéaux premiers, rudiments de géométrie algébrique, Nullstellensatz de Hilbert, localisation, complétion, théorie de la dimension.
Groupe des points d’une courbe elliptique. Théorème de Mordell-Weil. Groupes de Selmer et de Tate-Shafarevich. Les expansions de Fourier des formes modulaires et l’idée de modularité. Applications aux équations diophantiennes.
L’objectif de ce cours est d’approfondir la théorie des groupes et la théorie des anneaux tout en présentant certaines applications de ces structures algébriques en mathématiques, en physique ou en informatique. Les sujets suivants seront présentés :
Révision de la théorie des groupes et de la théorie des anneaux de base, homomorphismes, théorèmes fondamentaux, théorème de Jordan-Hölder, théorème de Sylow, idéaux spéciaux, anneau des polynômes, groupe linéaire général et ses sous-groupes, groupes de Lie et leurs représentations, algèbres de Lie.
Topics include Lebesgue measure, measurable sets and functions; Lebesgue integral; Differentiation and integration; Lebesgue (Lp) spaces; Additional topics may be covered if time permits.
Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym.
Ce cours porte sur les méthodes classiques de résolution des équations aux dérivées partielles« : équations du premier ordre, caractéristiques, théorie de Hamilton Jacobi, classification des équations du second ordre, fonctions de Green, méthode de Riemann, etc.
Abstract theory of measure and integration: Borel-Cantelli lemmas, regularity of measures, product measures, Fubini-Tonelli theorem, signed measures, Hahn and Jordan decompositions, Radon-Nikodym theorem, differentiation in Rn.
Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.
Équations des ondes et de la chaleur, problème de Sturm-Liouville, théorie des distributions, espaces de Sobolev, fonctions harmoniques, équations elliptiques, éléments de la théorie spectrale.
The course will introduce students to the theory of classical harmonic analysis: convergence of Fourier series on the circle; Fourier transforms on the line and in Euclidean space; the Schwartz space and tempered distributions; and the Poisson Summation Formula. It will also cover applications to PDE; the Shannon Sampling Theorem; the discrete Fourier transform and Fast Fourier Transform; wavelets and frames.
The course is planned to consist of two parts: a short and condensed survey of the basic concepts of the theory of functions of one complex variable (from the Cauchy formula to the Riemann theorem on conformal mapping) and an introduction to the theory of compact Riemann surfaces (from elliptic functions to Abel and Riemann-Roch theorems; the latter will be introduced as a very special case of the index theorem).
The course is an introduction to the classical theory of partial differential equations (PDEs). The topics presented will be: first order linear and quasi-linear equations; linear second order PDEs (Laplace, Heat, Wave equations), maximum principles, properties of harmonic functions, accompanied by guided independent study, based on individual mathematical interests and areas of study, in which graduate students will explore further topics chosen from: nonlinear elliptic and parabolic PDEs (geometric properties of solutions, gradient flows, methods of subsolutions and supersolutions), or the use of calculus of variations and fixed point methods.
Review of the basic theory of Banach and Hilbert spaces, Lp spaces, open mapping theorem,closed graph theorem, Banach-Steinhaus theorem, Hahn-Banach theorem, weak and weak-* convergence, weak convergence of measures, Riesz representation theorems, spectral theorem for compact self-adjoint operators, Fredholm theory, spectral theorem for bounded self-adjoint operators, Fourier series and integrals, additional topics.
Espaces de Sobolev. Algèbres de Banach, théorème de Gelfand. Théories spectrales d’opérateurs bornés. Opérateurs non bornés, transformée de Cayley.
Espaces de Hilbert, espaces de Banach, algèbres de Banach. Étude particulière de l'algèbre des opérateurs sur un espace de Hilbert. Espace de Banach des fonctions à variation bornée et intégrale de Stieltjes. Fonctionnelles linéaires. Théorème de représentation de Riesz. Théorèmes de Hahn-Banach, de la borne uniforme et du graphe fermé. Topologies faibles. Convexité : théorèmes de séparation, inégalité de Jensen, théorème de Krein-Milman.
Examples of applications of statistics and probability in epidemiologic research. Sources of epidemiologic data (surveys, experimental and non-experimental studies). Elementary data analysis for single and comparative epidemiologic parameters.
Statistical methods for multinomial outcomes, overdispersion, and continuous and categorical correlated data; approaches to inference (estimating equations, likelihood-based methods, semi-parametric methods); analysis of longitudinal data; theoretical content and applications.
Multivariable regression models for proportions, rates, and their differences/ratios; Conditional logistic regression; Proportional hazards and other parametric/semi-parametric models; unmatched, nested, and self-matched case-control studies; links to Cox's method; Rate ratio estimation when "time-dependent" membership in contrasted categories.
Advanced applied biostatistics course dealing with flexible modeling of non-linear effects of continuous covariates in multivariable analyses, and survival data, including e.g. time-varying covariates and time-dependent or cumulative effects. Focus on the concepts, limitations and advantages of specific methods, and interpretation of their results. In addition to 3 hours of weekly lectures, shared with epidemiology students, an additional hour/week focuses on statistical inference and complex simulation methods. Students get hands-on experience in designing and implementing simulations for survival analyses, through individual term projects.
Groupes et algèbres de Lie : groupes de Lie, espaces tangents et champs de vecteurs, algèbres de Lie, application exponentielle, représentations adjointes et coadjointes. Structure et classification des algèbres de Lie : algèbres résolubles et nilpotentes, décomposition en espaces de racines, groupes de Weyl, matrices de Cartan, esquisse de la classification, théorème de Serre. Théorie des représentations : théorème de Weyl, décompositions en espaces de poids, algèbres enveloppantes, modules de Verma. Sujets à option : introduction à l'analyse harmonique non commutative, algèbres de Lie de dimension infinie, théorie géométrique des représentations, formules des caractères et formes modulaires.
• Categories and functors, adjoint and equivalence, tensor products, localization of rings and module, limits.
• Affine schemes. Integral extensions.
• Noetherian and artinian rings and modules. Hilbert’s basis theorem, Noether’s normalization lemma and Hilbert’s Nullstellensatz. The affine space.
• Representations of finite groups.
Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. Formes de Maurer-Cartan. Théorèmes de Lie. Application exponentielle, coordonnées canoniques. Sous-groupes fermés. Sous-groupes connexes par arcs. Formes de Killing et les groupes semi-simples.
Anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d'un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière: clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications.
Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.
Revue des fonctions élémentaires de dénombrement, ensembles pondérés, démonstrations bijectives et involutives, q-analogues. Séries génératrices ordinaires, partages d'entiers, q-séries, nombres de Fibonacci généralisés, séries rationnelles, nombres entiers. Séries génératrices exponentielles, théorie des espèces de structures, structures de données définies par des équations fonctionnelles, formule d'inversion de Lagrange, espèces pondérées, application aux polynômes orthogonaux. Théorie de Polya-Joyal, séries indicatrices, théorèmes de composition, application au dénombrement de types de graphes et d'arbres. Inversion de Möbius dans les ensembles partiellement ordonnés et dans les monoïdes et catégories de Möbius, monoïdes partiellement commutatifs, empilement de cycles, application aux identités matricielles.
Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17e problème de Hilbert.
Structures, theories, and definable sets; elementary equivalence and elementary embeddings; compactness and Löwenheim– Skolem theorems; types, the omitting types theorem, and saturation; categoricity and the Ryll-Nardzewski theorem; quantifier elimination and applications to algebra; ultraproducts; homogeneous structures and Fraïssé theory; infinitary logics. Optional topics: indiscernibles and Morley's theorem; stability; o-minimality; elimination of imaginaries.
Completion of the topics of MATH 570. Rudiments of algebraic number theory. A deeper study of field extensions; Galois theory, separable and regular extensions. Semi-simple rings and modules. Representations of finite groups
Propriétés élémentaires des complexes simpliciaux; subdivisions. Homologies simpliciale et singulière. Invariance. Équivalence de ces homologies dans le cas des polyèdres. Suites de Mayer-Vietoris. Applications: les espaces Rn, théorèmes de points fixes, théorème de la courbe de Jordan.
Ensembles partiellement ordonnés, extensions linéaires; complexes simpliciaux associés. Arrangements d’hyperplans. Propriétés de Sperner. Aspects combinatoires de la topologie algébrique. Polytopes et la théorie d’Ehrhart.
L’objectif de ce cours est d’approfondir la théorie des groupes et la théorie des anneaux tout en présentant certaines applications de ces structures algébriques en mathématiques, en physique ou en informatique. Les sujets suivants seront présentés :
Révision de la théorie des groupes et de la théorie des anneaux de base, homomorphismes, théorèmes fondamentaux, théorème de Jordan-Hölder, théorème de Sylow, idéaux spéciaux, anneau des polynômes, groupe linéaire général et ses sous-groupes, groupes de Lie et leurs représentations, algèbres de Lie.
Examen de modèles fondamentaux utilisés en biologie mathématique et de leur analyse utilisant des outils modernes de calcul scientifique. Systèmes dynamiques discrets et continus, procédés stochastiques, modèles statistiques et simulation numérique.
Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications moderne.
The following topics outline the content presented in class: surfaces in three dimensions, the first and second fundamental forms of surfaces, curvatures of surfaces (principal, Gaussian and mean curvature), geodesics, Gauss’ Theorema Egregium, the Gauss-Bonnet theorem. Graduate students will complement this content by guided independent study of Riemannian geometry on manifolds or other topics at the instructor’s recommendation depending on individual mathematical interests and areas of study.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
Variétés, transversalité et degré. Théorème de Sard. Éléments de la théorie de Morse. Complexe de Morse. Théorème de Hopf-Poincaré. Cobordisme. Signature. Théorème de h-cobordisme. Classes caractéristiques. Espaces de Thom, groupes de cobordisme.
Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.
Variétés complexes, variétés projectives, variétés de Kähler. Fibrés holomorphes hermitiens. Théorie de Hodge élémentaire. Positivité et théorème de plongement de Kodaira. Notions de courbure. Équation de Monge-Ampère complexe. Équation d'Hermite-Einstein. Correspondance de Kobayashi-Hitchin pour les fibrés. Noyau de Bergman. Applications à la géométrie algébrique complexe.
Salle: PK-5675
Heure: Lundi 9h à 12h
La topologie symplectique est l’étude des variétés de dimension paire arbitraire munie d’une forme symplectique. Cette forme caractérise complètement la forme de Kähler quand la structure complexe est donnée et réciproquement. Elle est donc équivalente, dans le domaine complexe, à la structure riemannienne. Mais elle est beaucoup plus générale, car elle s’applique aussi bien aux variétés qui ne possèdent pas de structure complexe intégrable, comme par exemple la plupart des cotangents des variétés réelles, qui sont le lieu de la mécanique classique et quantique. En gros, la topologie symplectique est la réunion de la géométrie algébrique et de la théorie des systèmes hamiltoniens. Ce qui est fascinant est que la première se trouve dans l’intérieur de la variété alors que la seconde se trouve à son bord. Alternativement, la topologie symplectique est le versant mathématique (plus général) de la théorie des cordes en physique. Le cours s’adresse aux doctorants et aux étudiants de maîtrise avancés. Le cours est self-content. Il sera bilingue (écrire en anglais et parler en français) s’il le faut, et accessible par visioconférence aux étudiants hors de Montréal. Nous débuterons avec les concepts de base et terminerons avec les invariants de Gromov-Witten, la cohomologie quantique et les conjectures récentes.
Salle: PK-5675
Heure: Mercredi 9h à 12h
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
The course will start in 2D with the Nielsen-Thurston classification of surface homeomorphisms. We will use hyperbolic geometry, geodesic laminations, and measured foliations. Some basic results about mapping class groups and moduli spaces of surfaces will follow. The second half of the course will cover analogous (1D) results for free groups related to: their automorphisms, their outer automorphism groups, and moduli spaces of graphs (or "Outer space"!). The unexpected similarities between the two settings (2D vs. 1D) will be the highlights of the course.
Propriétés élémentaires des complexes simpliciaux; subdivisions. Homologies simpliciale et singulière. Invariance. Équivalence de ces homologies dans le cas des polyèdres. Suites de Mayer-Vietoris. Applications: les espaces Rn, théorèmes de points fixes, théorème de la courbe de Jordan.
Ensembles partiellement ordonnés, extensions linéaires; complexes simpliciaux associés. Arrangements d’hyperplans. Propriétés de Sperner. Aspects combinatoires de la topologie algébrique. Polytopes et la théorie d’Ehrhart.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Description: The aim of this course is to study various aspects of the notion of positivity of holomorphic vector fibres over complex varieties and, in particular, to discuss recent advances in the Griffiths positivity conjecture. Some of these notions, in particular for line bundles, are classical, but the case of vector fibers of higher rank remains mysterious.
Course content: Positivity of line bundles, amplitude and Kodaira embedding theorem, cohomology vanishing theorems. Nakai-Moishezon criterion and generalisations, numerical characterisation of the Kähler cone (nef, pseudo-effective, big cones).
Applications: bundles of multiplying ideals, study of the Kähler-Einstein equation on a Fano variety, study of the deformed Hermite-Yang-Mills equation (dHYM) above a surface. Positivity and amplitude for vector fibers of general rank. Concrete examples of ample bundles, characterization of ample fibers over a curve by Hartshorne. Monge-Ampère equation (generalised to vector bundles), relation with Yang-Mills Hermitian connections and Gieseker stability. The prerequisite is to have taken a course in differential geometry. Ideally, a first course in complex geometry (e.g. Riemann surfaces) should have been taken.
Resumé: The goal of this course is to provide an overview of some of the foundational results on smooth 4-manifolds. After an initial review on the homology and cohomology of 4-manifolds, we will learn what the intersection form is and how it provides various classification results for smooth 4-dimensional manifolds. Of particular interest will be Freedman's classification of simply connected 4-manifolds, Donaldson's smooth non-smoothability results, and Rokhlin's Theorem. We will also learn how to represent smooth 4-manifolds via Kirby diagrams and how calculus performed on Kirby diagrams impacts the corresponding 4-manifold. Finally, we'll discuss Wall's stabilization theorem after covering certain background aspects of cobordism theory.
List of topics: Preliminaries on low dimensional manifolds. Intersection forms and embedded surfaces. Characteristic classes, orientations, and spin structures. Whitehead's Theorem and Freedman's Theorem. Rokhlin's Theorem, Donaldson's Theorem and non-smoothable 4-manifolds. Handlebodies, Kirby diagrams and Kirby Calculus. Cobordisms and Wall's stabilization theorem. Applications and examples may include complex and elliptic surfaces, branched coverings, and other exotic topics.
The course presents an introduction to statistical estimation techniques for insurance data with heterogeneous risk classes, which is the cornerstone of nonlife insurance pricing. In the second part of the course, we will discuss loss reserving methods.
This course focuses on computational aspects, implementation, continuous- time models, and advanced topics in Mathematical and Computational Finance. Topics considered include Brownian motion and stochastic calculus; continuous-time finance; Black-Scholes model; interest rate models; Monte-Carlo methods; numerical solution of PDEs; volatility; hedging; exotic derivatives; risk-management; and other topics (time permitting).
Méthodes de provisionnement stochastiques : modèles linéaires généralisés appliqués aux réserves, modèles bayésiens, méthodes bootstrap. Théorie des valeurs extrêmes : loi limite des maxima, épaisseur des queues de distributions, étude de la loi des excès, estimation de quantiles extrêmes, applications à la réassurance. Modèles multi-niveaux et multivariés pour les réclamations en assurances de dommages.
Diverses mesures d'intérêts. Fonction d'accumulation et valeur actualisée. Rentes. Remboursement d'un emprunt. Évaluation d'obligations et d'actions. Diverses mesures de rendement. Duration et convexité. Appariement et immunisation. Description de contrats d'assurance vie. Prestation d'assurances et de rentes. Modèles de survie. Calcul de primes. Applications pratiques.
Modélisation des risques sur une période. Mesures de risque. Mutualisation des risques. Méthodes de simulation stochastique. Méthodes récursives d'agrégation. Théorie des copules.
Calcul des réserves pour des contrats d'assurance vie et de rentes. Modèle à décroissances multiples. Modèle sur plusieurs vies. Provisionnement en assurances IARD : méthodes déterministes et stochastiques. Théorie de la crédibilité : approches bayésienne, modèles de Bühlmann et de Bühlmann-Straub, estimation des primes de crédibilité.
Modèles à chaîne de Markov cachée, modèles à espace d’état, techniques de filtrage et de lissage, filtre d’Hamilton, filtre de Kalman, méthodes de Monte Carlo séquentielles, algorithme EM, applications financières.
Mesure mathématique des risques financiers. Notion de valeur à risque. Utilisation des mesures de risque. Limitations des mesures connues et développement récents. Modèles stochastiques des réserves. Théorie de la ruine.
The problem of fitting probability distributions to loss data is studied. In practice, heavy tailed distributions are used (i.e. skewed to the right) which require some special inferential methods. The problem of point and interval estimation, goodness of fit tests are studied in detail under a variety of inferential procedures (empirical, maximum likelihood) and of sampling designs (individual/grouped data, truncation, censoring). Loss data sets serve as illustration of the methods.
This course is a rigorous introduction to the theory of mathematical and computational finance. Topics include multi-period binomial model; state prices; change of measure; stopping times; European and American derivative securities; interest-rate models; interest-rate derivatives; hedging; and convergence to the Black-Scholes model.
This course is an introduction to the methods of simulation and Monte Carlo techniques. In Simulation, we consider joint distributions of random variables, and more generally, stochastic models describing systems in economy, industry, insurance etc., which essentially are specifications of complex joint distributions; we then generate (pseudo) values of those variables using appropriate algorithms to study the models. Monte Carlo techniques are statistical methods for estimating, based on repeated simulations, various quantities of interest related to the models, which are difficult to compare theoretically. In Part I of the course, we shall review basic probability theory and study methods for generating random variables. In Part II, we shall study simulation of a few complex systems and their estimation using Monte Carlo methods.
The topics in this Risk Theory course include: aggregate risk models, homogenous and nonhomogenous discrete-time Markov chain models, Poisson processes, coinsurance, effects of inflation on losses, risk measures, dependence (copulas), development triangles and reserving. The emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
Modèle individuel et collectif du risque. Algorithmes récursifs et approximations stochastiques. Problèmes de rétention et de réassurance. Théorie de la ruine. Primes et ordonnancement des risques. Développements récents de la théorie du risque.
Modèles multivariés de risques sur plusieurs périodes avec dépendance temporelle. Théorie avancée sur les mesures de risque : mesures convexes et quasi convexes de risque, mesures de risque avec distorsion, intégrale de Choquet, allocation du risque, indices de risque. Notions avancées de partage de risque. Modèles de dépendance à grandes dimensions.
Marchés financiers et mesures de risques. Coût du capital. Choix optimal de portefeuille et modèle d'évaluation des actifs financiers. Structure financière et valeur d'une entreprise. Comportement des investisseurs et efficience des marchés financiers. Théorèmes de Modigliani-Miller. Produits dérivés et leurs fonctions. Évaluation de produits dérivés par des arbres binomiaux et par l'approche de Black-Scholes. Lettres grecques des options sur actions et techniques de couverture. Applications actuarielles.
Basics concepts in quantitative risk management: types of financial risk, loss distribution, risk measures, regulatory framework. Empirical properties of financial data, models for stochastic volatility. Extreme-value theory models for maxima and threshold exceedances. Multivariate models, copulas, and dependence measures. Risk aggregation.
Structures à terme, processus stochastiques, modèles et produits dérivés de taux d'intérêt, immunisation et appariement, produits dérivés de crédit, titres adossés à des créances hypothécaires, volatilité.
Ce cours a pour objectif d'analyser de façon approfondie et intégrée les produits structurés sur des actifs financiers. À travers des études de cas, le cours vise à donner à l'ingénieur financier des connaissances et une compréhension approfondie des produits structurés, notamment sur leur conception, leur évaluation et la gestion des risques, tant au niveau théorique qu'appliqué.
Ce cours vise à fournir à l'étudiant les fondements nécessaires aux processus stochastiques de sorte qu'il puisse les appliquer dans les différents domaines de la finance: ingénierie financière, gestion des risques, gestion de portefeuille et finance corporative. Ce cours permettra ainsi à l'étudiant de se familiariser, grâce à la programmation dans MATLAB, avec les différents outils quantitatifs nécessaires en finance.
Ce cours est une introduction au calcul stochastique pour les applications en finance mathématique:
1. Rappels de théorie des probabilités
2. Mouvement brownien et martingales
3. Intégration stochastique par rapport au mouvement brownien
4. Applications de la Formule d’Itô et Théorèmes de Girsanov
5. Équations différentielles stochastiques et processus de diffusion
6. Si le temps le permet : Introduction à la finance mathématique et au modèle de Black-Scholes-Merton, tarification d’options vanilles et d’options exotiques.
Foundations of game theory. Computation aspects of equilibria. Theory of auctions and modern auction design. General equilibrium theory and welfare economics. Algorithmic mechanism design. Dynamic games.
Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.
Classification and wellposedness of linear and nonlinear partial differential equations; energy methods; Dirichlet principle. Brief introduction to distributions; weak derivatives. Fundamental solutions and Green's functions for Poisson equation, regularity, harmonic functions, maximum principle. Representation formulae for solutions of heat and wave equations, Duhamel's principle. Method of Characteristics, scalar conservation laws, shocks.
Examen de modèles fondamentaux utilisés en biologie mathématique et de leur analyse utilisant des outils modernes de calcul scientifique. Systèmes dynamiques discrets et continus, procédés stochastiques, modèles statistiques et simulation numérique.
Formulation et modélisation analytique des géométries intrinsèques de données. Algorithmes pour les construire et les utiliser en apprentissage automatique. Applications : classification, regroupement et réduction de la dimensionnalité.
The formulation and treatment of realistic mathematical models describing biological phenomena through such qualitative and quantitative mathematical techniques as local and global stability theory, bifurcation analysis, phase plane analysis, and numerical simulation. Concrete and detailed examples will be drawn from molecular, cellular and population biology and mammalian physiology.
Concentration inequalities, PAC model, VC dimension, Rademacher complexity, convex optimization, gradient descent, boosting, kernels, support vector machines, regression and learning bounds. Further topics selected from: Gaussian processes, online learning, regret bounds, basic neural network theory.
Convex sets and functions, subdifferential calculus, conjugate functions, Fenchel duality, proximal calculus. Subgradient methods, proximal-based methods. Conditional gradient method, ADMM. Applications including data classification, network-flow problems, image processing, convex feasibility problems, DC optimization, sparse optimization, and compressed sensing.
Processus de branchement : modèles de Wright-Fisher, de Moran. Modèles à une infinité d’allèles, de sites. Facteurs d’évolution: sélection, mutation, migration, recombinaison, apparentement. Reconstruction et inférence de réseaux génétiques.
Virgule flottante. ÉDOs. Modélisation et simulations. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Optimisation sans contraintes. Valeurs propres. Décomposition en valeurs singulières. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes.
1.) La mécanique quantique et l’intégrale de chemin de Feynman
2.) L’effet tunnel et application en mécanique quantique (double puits, potentiel périodique, désintégration des états métastables)
3.) Theorie des champs quantiques et l’intégrale de chemin de Feynman
4.) Désintégration du faux vide cosmologique
5.) Exemple d’électrodynamique quantique en 1+1 dimension
6.) Preuve de confinement de Polyakov en 2+1 dimensions (inclut quantification des théories de jauge non abélienne, méthodes de Fadeev-Popov, les monopoles magnétiques)
7.) Chromodynamique quantique(QCD)
Probability space, discrete and continuous random variables; Conditional probability and conditional expectation; Generating functions, characteristic functions, limit theorems; Random walk and branching processes ; Convergence of random variables, modes of convergence ; Introduction of martingales, martingale convergence theorem, optional stopping.
Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.
Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.
Lévy Processes are stochastic processes with stationary independent increments. They are often used to describe random phenomena with fluctuations involving jumps.
In this course, we will mainly introduce Lévy Processes with one-sided jumps and the associated fluctuation theory. The following topics will be covered: Lévy-Ito decomposition, subordinators, exponential martingale and Esscher transform, scale functions, solution to the exit problems, potential measures, Wiener-Hopf factorization, reflected Lévy processes and the associated excursion processes. If time allows, we will also briefly introduce applications of such Lévy processes in population models and in risk theory. There will be no exam for this course. Each student is expected to give a short presentation on related topics.
Emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.
Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.
This course is an introduction to statistical inference for parametric models. The following topics will be covered:
1. Distribution of functions of several random variables (distribution function and change of variable techniques), sampling distribution of mean and variance of a sample from Normal distribution.
2. Distribution of order statistics and sample quantiles.
3. Estimation: unbiasedness, CramÈr-Rao lower bound and efficiency, method of moments and maximum likelihood estimation, consistency, limiting distributions, delta-method.
4. Sufficiency, minimal sufficiency, completeness, UMVUE, Rao-Blackwell and Lehman-Scheffe theorems.
5. Hypothesis-testing: likelihood-ratio tests.
Text: Introduction to Mathematical Statistics (6th, 7th or 8th Edition), by R.V. Hogg and A.T. Craig, Prentice Hall Inc., 1994.
Recommended reading: (for problems, examples etc) Statistical Inference (2nd Edition), by G. Casella and R. L. Berger, Duxbury, 2002.
Evaluation: Assignments (4), Midterm exam, Final exam.
This course is an introduction to Bayesian modeling in data science and machine learning, demonstrating how to perform inference about hypotheses from data. Topics may include Bayesian decision-making, de Finetti’s representation theorem, Bayesian parametric methods and inference, conjugate models, methods for prior specification and elicitation, hierarchical models, computational approaches to inference, Markov chain Monte Carlo methods (including Metropolis–Hastings), nonparametric Bayesian inference, and Bayesian machine learning. The course will include programming in Python or R.
Régression linéaire. Modèles linéaires généralisés. Méthodes de sélection de variables. Validation de modèles. Modèles mixtes. Équations d'estimation généralisées. Couverture des aspects théoriques et mise en oeuvre pratique avec un logiciel statistique de tous ces modèles et méthodes.
Distribution free procedures for 2-sample problem: Wilcoxon rank sum, Siegel-Tukey, Smirnov tests. Shift model: power and estimation. Single sample procedures: Sign, Wilcoxon signed rank tests. Nonparametric ANOVA: Kruskal-Wallis, Friedman tests. Association: Spearman's rank correlation, Kendall's tau. Goodness of fit: Pearson's chi-square, likelihood ratio, Kolmogorov-Smirnov tests. Statistical software packages used.
Multivariate normal and chi-squared distributions; quadratic forms. Multiple linear regression estimators and their properties. General linear hypothesis tests. Prediction and confidence intervals. Asymptotic properties of least squares estimators. Weighted least squares. Variable selection and regularization. Selected advanced topics in regression. Applications to experimental and observational data.
Distribution theory, stochastic models and multivariate transformations. Families of distributions including location-scale families, exponential families, convolution families, exponential dispersion models and hierarchical models. Concentration inequalities. Characteristic functions. Convergence in probability, almost surely, in Lp and in distribution. Laws of large numbers and Central Limit Theorem. Stochastic simulation.
This course will introduce a range of random graph processes and of random processes on graphs. I intend to cover the following models and topics, time permitting.
Copulas are multivariate distributions whose margins are uniform on the unit interval. They provide a handy tool for the modeling of dependence between variables whose distributions are heterogeneous or involve covariates. This allows in particular for the construction of very versatile dependence models that go beyond the multivariate Gaussian distribution. These models are now extensively used in various applications, e.g., in hydrology, finance, insurance, and risk management. This course will provide an introduction to statistical inference for copula models. Topics include: Sklar's representation theorem; classical copula families; dependence measures; rank-based methods for model estimation, validation and selection; dependence modeling in high-dimensions using vines, hierarchical models and factor copulas; adjustments in the presence of ties.
Tableaux de contingence à plusieurs dimensions. Mesures d'association. Risque relatif, rapport de cote. Tests exacts et asymptotiques. Régression logistique, de Poisson, multinomiale, logistique cumulative. Modèles log-linéaires. Modèles graphiques.
Techniques descriptives. Processus stationnaires. Meilleure prévision linéaire. Modèles ARMA, ARIMA et modèles saisonniers. Estimation et prévision dans les ARMA. Éléments d’analyse spectrale. Modèles ARCH et GARCH.
Fonctions de variables aléatoires, fonction génératrice des moments, quelques inégalités et identités en probabilité, familles de distributions dont la famille exponentielle, vecteurs aléatoires, loi multinormale, espérances conditionnelles, mélanges et modèles hiérarchiques. Théorèmes de convergence, méthodes de simulation, statistiques d'ordre, exhaustivité, vraisemblance. Estimation ponctuelle et par intervalles : construction d'estimateurs et critères d'évaluation, méthodes bayésiennes. Normalité asymptotique et efficacité relative asymptotique.
Espérance conditionnelle. Prédiction. Modèles statistiques, familles exponentielles, exhaustivité. Méthodes d'estimation: maximum de vraisemblance, moindres carrés etc. Optimalité: estimateurs sans biais à variance minimum, inégalité de l'information. Propriétés asymptotiques des estimateurs. Intervalles de confiance et précision. Éléments de base de la théorie des tests. Probabilité critique, puissance en relation avec la taille d'échantillon. Relation entre tests et intervalles de confiance. Tests pour des données discrètes.
Étude des distributions échantillonnales classiques: T2 de Hotelling; loi de Wishart; distribution des valeurs et des vecteurs propres; distribution des coefficients de corrélation. Analyse de variance multivariée. Test d'indépendance de plusieurs sous-vecteurs. Test de l'égalité de matrices de covariance. Sujets spéciaux.
Nombre aléatoire. Simulation de lois classiques. Méthodes d'inversion et de rejet. Algorithmes spécifiques. Simulation des chaines de Markov à temps discret et continu. Solution numérique des équations différentielles ordinaires et stochastiques. Méthode numérique d'Euler et de Runge-Kutta. Formule de Feynman-Kac. Discrétisation. Approximation faible et forte, explicite et implicite. Réduction de la variance. Analyse des données simulées. Sujets spéciaux.
Théorie et application des méthodes classiques d'analyse de données multivariées : analyse en composantes principales, réduction de la dimensionnalité, analyse des correspondances binaire et multiple, analyse discriminante, classification hiérarchique, classification non hiérarchique, choix optimal du nombre de classes. Initiation aux réseaux de neurones artificiels. Utilisation de logiciels statistiques pour le traitement des données.
This is an introductory course on linear time series models, as well as model estimation and prediction techniques for such series. Both frequency domain and time domain techniques are considered.
Lévy Processes are stochastic processes with stationary independent increments. They are often used to describe random phenomena with fluctuations involving jumps.
In this course, we will mainly introduce Lévy Processes with one-sided jumps and the associated fluctuation theory. The following topics will be covered: Lévy-Ito decomposition, subordinators, exponential martingale and Esscher transform, scale functions, solution to the exit problems, potential measures, Wiener-Hopf factorization, reflected Lévy processes and the associated excursion processes. If time allows, we will also briefly introduce applications of such Lévy processes in population models and in risk theory. There will be no exam for this course. Each student is expected to give a short presentation on related topics.
Emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
Thèmes choisis parmi les suivants : analyse exploratoire de données; rééchantillonnage (« jackknife », « bootstrap »); lissage (estimation de densité), régression non paramétrique, « splines »; optimisation (problèmes de maximisation), algorithme espérance maximisation (EM); méthodes de Monte Carlo (introduction, intégration, optimisation).
Exponential families, link functions. Inference and parameter estimation for generalized linear models; model selection using analysis of deviance. Residuals. Contingency table analysis, logistic regression, multinomial regression, Poisson regression, log-linear models. Multinomial models. Overdispersion and Quasilikelihood. Applications to experimental and observational data.
Simple random sampling, domains, ratio and regression estimators, superpopulation models, stratified sampling, optimal stratification, cluster sampling, sampling with unequal probabilities, multistage sampling, complex surveys, nonresponse.
Sufficiency, minimal and complete sufficiency, ancillarity. Fisher and Kullback-Leibler information. Elements of decision theory. Theory of estimation and hypothesis testing from the Bayesian and frequentist perspective. Elements of asymptotic statistics including large-sample behaviour of maximum likelihood estimators, likelihood-ratio tests, and chi-squared goodness-of-fit tests.
Distributions elliptiques. Estimateurs de localisation et dispersion. Estimateur robuste. Corrélations multiple, partielle, canonique. Tests paramétriques, de permutation, du bootstrap. Classification. Analyse en composantes principales. Prévision.
Principes d'inférence : estimation ponctuelle, distribution des estimateurs, test d’hypothèse, région de confiance. Approche bayésienne. Méthodes de rééchantillonnage. Estimation non paramétrique. Applications modernes de la statistique.
Fundamental problems of machine learning in the continuous space: modeling density (energy-based models), modeling samplers (Variational Auto-Encoders), and modeling both (normalizing flows). The limit of the infinite number of generation steps (continuous normalizing glows and diffusion models). Modeling discrete distributions (discrete diffusion models and auto-regressive models).
Processus stochastiques (généralités). Description et caractéristiques des séries chronologiques. Transformées de Fourier. Analyse statistique des séries chronologiques. Analyse spectrale des processus linéaires. Lissage des estimateurs spectraux.
Régression linéaire, modèles mixtes, modèles linéaires généralisés, régression de copule, méthodes non paramétriques, sélection de modèle, erreurs de mesure, données manquantes. Utilisation du logiciel R.
Théorie des modèles linéaires généraux. Théorie des modèles linéaires généralisés. Régression logistique. Modèles log-linéaires.