To register for an ISM course, you must first have you course selection approved by your supervisor and departmental Graduate Program Director. You may then register for the course using the electronic form available on the BCI website (the BCI is the organization that handles inter-university registration). The form will then be sent to the home and host universities' Registrars for approval.
Additional procedures for non-McGill students registering for a course at McGill University:
Once the registration through the BCI website is complete, the student will receive a confirmation. The student must then register for the course at McGill University through the MINERVA registration system.
Important deadlines: Concordia, Laval, McGill, Université de Montréal, UQAM, UQTR, Université de Sherbrooke
Course Schedules:
Online Open Access Courses offered by the CRM and the ISM
Henri Darmon, Université McGill
Modular Forms and Orthogonal Groups
Course site
Antonio Lei, Université Laval
Modular Forms and Elliptic Curves
Course site
Zoom link
Melina Mailhot, Université Concordia
Risk Measures
Zoom link
Javad Mashreghi, Université Laval
Reproducing Kernel Hilbert Space of Analytic Functions
Course site
Iosif Polterovich, Université de Montréal
Geometric Spectral Theory
Course site
The course will focus on the study of elliptic curves over the complex and p-adic numbers. It will cover topics such as: complex uniformisation, Weistrass P-functions, the periods of an elliptic curve, the formal group of an elliptic curve, ordinary and supersingular elliptic curves, integral model of elliptic curves, the local Galois representation.
The main objective of the course is to study geometrically algebraic objects, for example commutative rings with identity. To such a ring we will attach a topological space and a sheaf of rings on it, making it into a geometric object called "affine scheme". We will see that affine schemes can be glued together to give other (non-affine) schemes.
The time of the course: Tuesdays, Fridays 9:00-11:00AM.
Groupes de Lie, espaces tangents et champs de vecteurs lisses, algèbres de Lie, application exponentielle, représentations adjointes et coadjointes, algèbres résolubles et nilpotentes, décomposition en espaces de racines, groupes de Weyl, matrices de Cartan, esquisse de la classification des algèbres de Lie semisimples complexes, présentation de Serre, théorème de Weyl, décomposition en espaces de poids, algèbres enveloppantes, modules de Verma, et un choix selon les intérêts et la formation des étudiants: Catégorie O, algèbres de Lie de dimension infinie, théorie géométrique des représentations, formules de caractère Weyl-Kac et propriétés modulaires.
Les mardis: 13h30-16h20
Lie groups, examples and general theory. Structure theory of Lie algebras. Solvable and nilpotent algebras. Engel's and Lie's theorems. Classification of semisimple Lie algebras. Representation theory of semisimple Lie algebras and compact Lie groups.
Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.
Introduction to Ring Theory: definitions and examples, ideals, quotients and isomorphisms. Euclidean domains, principal ideal domains and unique factorization domains. Polynomial rings and introduction to modules.
This course will revolve around qualitative and quantitative aspects of the Galois inverse problem (GIP), asking which finite groups are realizable over the rationals. Conjecturally all of them do and, furthermore, Malle has proposed a conjectural asymptotic formula for the number of finite extensions of the rationals with a given Galois group and bounded discriminant.
After a warm-up, establishing the GIP in several examples, we will rapidly prove it for the class of (odd) nilpotent groups and discuss the status of Malle's conjecture for nilpotent groups. We next focus on proving the considerably stronger conclusion where GIP is established for all solvable groups (Shafarevich).
After that we will focus on Galois groups with prescribed ramification and establish Shafarevich's theorem on their number of generators and relations (after pro-l completion), prove the Golod--Shafarevich inequality and give examples of infinite class field towers. Finally, we will focus on the theory of random profinite groups developed by Liu and Wood, conjecturally giving a statistical description of such Galois groups in natural families of number fields.
The course will be an introduction to Shimura varieties. It will cover foundational topics such as the notions of Hermitian symmetric domains, variations of Hodge structures, Shimura data, canonical models of Shimura varieties, the Eichler-Shimura isomorphism, Matsushima’s formula, the L2- cohomology of Siegel Shimura varieties.
Corps (extensions, théorie de Galois, corps finis), Anneaux (noethériens et artiniens, radicaux, idéaux premiers et maximaux, localisation, théorème de Wedderburn, Nullstellensatz), Modules (lemme de Schur, modules projectifs et injectifs, suites exactes, produit tensoriel, catégories).
Algebraic groups. Flag varieties and the Borel-Weil theorem. Quantum groups and crystals.
Class Field Theory describes the abelian Galois extensions of local or global fields (for example, finite extensions of the p-adic numbers or the rational numbers) in terms of the internal arithmetic of the field. We aim to cover aspects of both the local and global theory, and along the way learn a little bit of Lubin-Tate theory and Galois cohomology.
Distribution des nombres premiers. Fonction zêta de Riemann et fonctions-L de Dirichlet. Le théorème des nombres premiers, et de Bombieri-Vinogradov. La répartition des nombres premiers consécutifs.
Carquois d'une algèbre, représentations d'algèbres héréditaires, théorie d'Auslander -Reiten, ensembles partiellement ordonnés et catégories d'espaces vectoriels, revêtements d'une algèbre, algèbres auto-injectives, théorie de l'inclinaison.
Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course aims to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern ones such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.
Topics include: Hilbert spaces, Banach spaces, linear functionals, dual spaces, bounded linear operators, adjoints; the Hahn-Banach, Baire caterogy, Banach-Steinhaus, open mapping and closed graph theorems; compact operators, the Fredholm alternative, the spectral theorem; the weak/weak* topologies.
The course is planned to consist of two parts: a short and condensed survey of the basic concepts of the theory of functions of one complex variable (from the Cauchy formula to the Riemann theorem on conformal mapping) and an introduction to the theory of compact Riemann surfaces (from elliptic functions to Abel and Riemann-Roch theorems; the latter will be introduced as a very special case of the index theorem).
Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.
Topics in classical descriptive set theory concerning Polish spaces, regularity properties of sets such as measurability/Baire measurability and their connection with infinite games (determinacy), the Borel and projective sets/hierarchies, and change of topology techniques, as well as more modern topics on definable equivalence relations and classification, Polish group actions, and graph combinatorics on Polish spaces.
Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym. L'étudiant qui a réussi le cours MAT-4000 ou MAT-6000 ne peut s'inscrire à ce cours.
Théorie abstraite de l'intégration. Mesures de Borel et théorème de représentation de Riesz. Espaces Lp. Mesures complexes et théorème de Radon-Nikodym. Intégration sur les espaces produits et le théorème de Fubini. Différentiation.
Le cours se veut une introduction à certains outils d'analyse pour étudier des équations aux dérivées partielles ayant des origines géométriques. Les sujets suivants seront couverts: équation de Laplace, principe du maximum, espaces de Hölder, estimations de Schauder, théorèmes du point fixe, équations elliptiques quasi-linéaires, espaces de Hölder paraboliques, équations paraboliques quasi-linéaires et flots géométriques.
Measure and integration, measure spaces, convergence theorems, Radon-Nikodem theorem, measure and outer measure, extension theorem, product measures, Hausdorf measure, LP-spaces, Riesz theorem, bounded linear functionals on C(X), conditional expectations and martingales.
Fonctions holomorphes, principe d'identité, théorème de l'application ouverte, théorème d'inversion locale, lemme de Schwarz, principe de Phragmén-Lindelöf. Familles normales. Fonctions univalentes, théorèmes de Riemann et de Koebe. Théorème de Runge. Produits infinis. Métriques riemanniennes, théorème de Schwarz-Pick, courbure, théorèmes d'Ahlfors, de Picard et de Montel.
On peut suivre ce cours virtuellement au besoin.
Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
Les thèmes principaux qui seront étudiés dans ce cours sont les quaternions, les algèbres de Clifford ainsi que la théorie des fonctions analytiques généralisées (fonctions pseudo-analytiques). Ces structures seront également utilisées pour considérer certaines applications, principalement en physique quantique. Pour toutes ces structures, nous allons porter une attention particulière aux généralisations des fonctions analytiques complexes. Dans le cas des quaternions et des algèbres de Clifford, les propriétés algébriques ainsi que géométriques seront considérées. La théorie des fonctions pseudo-analytiques généralise et préserve plusieurs caractéristiques de la théorie des fonctions analytiques complexes. Le système de Cauchy-Riemann est alors substitué par un système plus général, appelé équations de Vekua, qui apparaît dans plusieurs problèmes de la physique mathématique.
Examples of applications of statistics and probability in epidemiologic research. Sources of epidemiologic data (surveys, experimental and non-experimental studies). Elementary data analysis for single and comparative epidemiologic parameters.
Statistical methods for multinomial outcomes, overdispersion, and continuous and categorical correlated data; approaches to inference (estimating equations, likelihood-based methods, semi-parametric methods); analysis of longitudinal data; theoretical content and applications.
Common data-analytic problems. Practical approaches to complex data. Graphical and tabular presentation of results. Writing reports for scientific journals, research collaborators, consulting clients.
Multivariable regression models for proportions, rates, and their differences/ratios; Conditional logistic regression; Proportional hazards and other parametric/semi-parametric models; unmatched, nested, and self-matched case-control studies; links to Cox's method; Rate ratio estimation when "time-dependent" membership in contrasted categories.
Advanced applied biostatistics course dealing with flexible modeling of non-linear effects of continuous covariates in multivariable analyses, and survival data, including e.g. time-varying covariates and time-dependent or cumulative effects. Focus on the concepts, limitations and advantages of specific methods, and interpretation of their results. In addition to 3 hours of weekly lectures, shared with epidemiology students, an additional hour/week focuses on statistical inference and complex simulation methods. Students get hands-on experience in designing and implementing simulations for survival analyses, through individual term projects.
Lie groups, examples and general theory. Structure theory of Lie algebras. Solvable and nilpotent algebras. Engel's and Lie's theorems. Classification of semisimple Lie algebras. Representation theory of semisimple Lie algebras and compact Lie groups.
Étude approfondie des séries génératrices en combinatoire. Caractérisation des séries rationnelles algébriques. D-finies. Séries associées aux espèces de structures: séries génératrices et séries indicatrices, théorèmes de substitution. Application au dénombrement de types de structures et de structures asymétriques. Théorème de dissymétrie pour les arbres. Décompositions moléculaire et atomique d'une espèce. Foncteurs analytiques. Liens avec les fonctions symétriques et les représentations linéaires du groupe symétrique.
Dans ce cours, nous explorerons divers problèmes ouverts du domaine. Ceux-ci pourront comprendre certains des thèmes abordés au cours de la conférence:
qui s’est tenu en mai 2022, à la fois « in vitro » et « in vivo » à l’Université de Minnesota. Le site de la conférence contient plusieurs ressources pertinentes (vidéos, transparents, proceedings, blog). Au besoin, les notions préliminaires nécessaires seront abordées dans le cours, et chaque étudiant sera appelé à discuter un problème. Nous y explorerons aussi des approches par le calcul formel permettant d’étudier les questions considérées. Il est possible que de nouveaux outils de cette nature soient développés par le groupe.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Algebraic groups. Flag varieties and the Borel-Weil theorem. Quantum groups and crystals.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
Le contenu du cours sera en partie précisé suivant les intérêts des étudiants. Les grandes lignes sont les suivantes:
- Groupes de permutations: orbite et stabilisateur d'un élément; théorème de Schreier; certaines applications: ordre d'un groupe de permutations; test d'appartenance; forme normale pour les éléments du groupe. Algorithme de Todd-Coxeter pour l'énumération des classes à gauches d'un sous-groupe.
- Bases de Gröbner: bases de Gröbner d'un idéal d'un anneau de polynômes; unicité de la base de Gröbner réduite; applications: égalités d'idéaux; calcul d'intersection d'idéaux; correspondance entre idéaux et ensembles algébrique.
- Permutations et Tableaux: l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth (RSK); ombres de Viennot; jeu de taquin de Schützenberger; évacuation.
- Algorithme X de Knuth: algorithme récursif de parcours en profondeur et à retour sur trace; applications: problème de couverture exacte; Sudoku.
- Algorithmes sur les graphes: arbres étiquetés (code de Prüfer, bijections de Foata et de Joyal, formule de Cayley); arbres couvrants de poids minimal (théorème de Kirchhoff, algorithmes de Prim et de Kruskal); problème du plus court chemin (algorithme de Dijkstra); problème des mariages stables (théorème de Hall, algorithme de Gale-Shapley).
Voici le plan de cours, qui pourra changer légèrement en fonction de l'auditoire:
0. Introduction
1. Rappels de topologie générale
2. Rappels d'analyse des fonctions continues
3. Rappels d'algèbre (corps, anneaux, modules, théorie des catégories)
4. Homologie simpliciale et homologie singulière. Théorème d'approximation des fonctions continues par des fonctions PL. Isomorphisme entre les deux homologies.
5. Exemple: classification des surfaces. Généralisation aux complexes différentiels abstraits.
6. Suites exactes, théorème de Mayer-Vietoris et de Kunneth. Exemples.
7. Cohomologie et dualité de Poincaré.
8. Théorème des coefficients universels.
9. Fibrations. Suite spectrale de Leray. Théorie des faisceaux et cohomologie de Cech.
10. Introduction à la K-théorie.
11. Groupe fondamental et revêtements (galoisiens). Homologie de Novikov.
Iteration of functions, periodic and fixed points bifurcations, Sharkovsky Theory (periodic points of continuous maps of interval), Henon map, complex dynamics, Julia and Mandelbrot Sets, metric spaces, Hausdorff metric, Iterated Function Systems and their attractors, computer graphics using IFS attractors, fractal dimension.
Additional topics may be covered if time permits.
Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications moderne.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
The first two thirds of this course aim, respectively, to introduce the theory of triangulated categories and the theory of persistence - that has as origin ideas in AI and topological data analysis. The last third of the course will describe how these two structures fit together and how this allows the study of wide classes of geometric objects: lagrangian submanifolds of a symplectic manifold; metric spaces; metric graphs and many others.
Le cours se veut une introduction à certains outils d'analyse pour étudier des équations aux dérivées partielles ayant des origines géométriques. Les sujets suivants seront couverts: équation de Laplace, principe du maximum, espaces de Hölder, estimations de Schauder, théorèmes du point fixe, équations elliptiques quasi-linéaires, espaces de Hölder paraboliques, équations paraboliques quasi-linéaires et flots géométriques.
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
Le but de ce cours est de développer les éléments de base de la théorie de classes caractéristiques. Nous commençons avec la classification homotopique des fibrés localement triviaux, avec groupe de structure, sur des espaces paracompact. Nous considérons, plus particulièrement, les fibrés vectoriels et leurs opérations naturelles : $\oplus, \times, \otimes, \wedge$, etc. Ensuite, nous étudions la
théorie des classes caractéristiques : classes de Stiefel-Whitney, classe de Thom, classe d'Euler, classes de Chern, classes de Pontryagin. Nous discutons des approches et interprétations différentes pour ces invariants : axiomatisation, obstructions, cohomologie des espaces classifiant, théorie de Chern-Weil. Chaque approche mène à des applications frappantes.
This class is about the mathematical foundations of Yang-Mills theory and its applications to topology. In the first part of the class, I would like to introduce the mathematical background necessary for the construction of the moduli space of anti-self dual connections (solutions of the Yang-Mills equations in dimension four). In the second part I would like to show how this technology can be employed to study four-manifolds and three-manifolds (instanton Floer homology). If time permits, I will say something about moduli spaces of vector bundles on Riemann curves, or perhaps go through Donaldson’s proof of Narasimhan–Seshadri theorem, that has applications in algebraic geometry and number theory.
Prerequisite: Basic notions and techniques in algebraic geometry ; It would be good to have basic notions of divisors, sheaf theory and their cohomology as normally done in a course on Riemann surfaces but not absolutely necessary. A good course in complex analysis.
Brief Summary: After a brief review of Kahler geometry, Hodge decomposition, coherent sheaves and their related cohomology (one week), notions of positivity, vanishing theorems and various cones in the group of divisors (or line bundles) modulo numerical equivalence (via intersection theory), we take a brief tour of what is proven or conjectured by Mori's MMP (minimal model Program) on the structures and the birational classification of varieties (two more weeks ). We concentrate in the first part of the course on the verification of the case of algebraic surfaces and mention briefly the ideas used in the case of dimension 3 using the modern Fields medal approach of Mori. The rest of the course will discuss the link between complex (non)hyperbolicity and the recent results of BCHM that solved the (good) MMP for the case of varieties of general type and, time permitting, Caucher Birkar's recent Fields Medal result for Fano varieties.
We will use several references but will not follow any particular ones (in any order) ; We will use in particular the book of Kollar-Mori for Mori's MMP and the book of Barth, Peters and Van-de-Ven for the case of surfaces.
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
Voici le plan de cours, qui pourra changer légèrement en fonction de l'auditoire:
0. Introduction
1. Rappels de topologie générale
2. Rappels d'analyse des fonctions continues
3. Rappels d'algèbre (corps, anneaux, modules, théorie des catégories)
4. Homologie simpliciale et homologie singulière. Théorème d'approximation des fonctions continues par des fonctions PL. Isomorphisme entre les deux homologies.
5. Exemple: classification des surfaces. Généralisation aux complexes différentiels abstraits.
6. Suites exactes, théorème de Mayer-Vietoris et de Kunneth. Exemples.
7. Cohomologie et dualité de Poincaré.
8. Théorème des coefficients universels.
9. Fibrations. Suite spectrale de Leray. Théorie des faisceaux et cohomologie de Cech.
10. Introduction à la K-théorie.
11. Groupe fondamental et revêtements (galoisiens). Homologie de Novikov.
Pour un cours d’introduction aux surfaces de Riemann en un trimestre, il faut forcément faire des choix. Le plan de cours proposé consiste à partir de l’origine du sujet dans la théorie des fonctions d’une variable complexe et viser une compréhension du Théorème de Riemann-Roch selon deux approches distinctes relevant de la géométrie algébrique classique puis de l’analyse moderne. Selon son penchant personnel, chaque inscrit au cours pourra alors approfondir le sujet par des lectures personnelles autour des outils les mieux maîtrisés.
Chapitre I : Théorie élémentaire des surfaces de Riemann
- Rappels d’Analyse complexe
- Origines de la notion de surface de Riemann
- Surfaces, structures et atlas complexes, définition d’une surface de Riemann
- Exemples de surfaces de Riemann
- Lien avec les courbes algébriques planes
- Interlude : vision panoramique (suivant Eric Reyssat)
- Fonctions holomorphes et méromorphes, forme normale locale, notion de degré
- Formule de Riemann-Hurwitz
- Prolongement analytique, monodromie et Théorème d’existence de Riemann
- Calcul différentiel et intégral sur les surfaces de Riemann
Chapitre II: Géométrie algébrique classique des surfaces de Riemann
- Fonctions méromorphes et notion de diviseur sur une surface de Riemann
- Equivalence linéaire de diviseurs
- Diviseurs d’intersection, degré d’une courbe projective lisse, Théorème de Bézout
- Problèmes de Mittag-Leffler et H1(D)
- Théorème de Riemann-Roch, Dualité de Serre
- Quelques applications de Riemann-Roch
Chapitre III: Analyse sur les surfaces de Riemann compactes
- Cohomologie de Cech, notion de faisceau, Lemme de Dolbeault, finitude cohomologique
- Suite exacte en cohomologie, Théorème de Dolbeault
- Nouvelle formulation de Riemann-Roch
- Dualité de Brill-Noether-Serre et conséquences
Selon le temps disponible et les intérêts exprimés par les participantes et participants au cours, des sujets spéciaux seront abordés, notamment sous forme d’exposés ou travaux personnels pour conclure ce cours d’introduction aux surfaces de Riemann.
In 1958, Milnor famously disproved the smooth Poincaré conjecture in higher dimensions by demonstrating the existence of exotic 7-spheres (i.e smooth manifolds that are homeomorphic, but not diffeomorphic to the 7-sphere). A few years later, Milnor and Kervaire showed that for any dimension n at least five, there are only finitely many exotic spheres of dimension n. Their work is a meeting point of many beautiful ideas in smooth and algebraic topology and this course will give the background necessary to understand Milnor and Kervaire's work and some of the subsequent developments.
Topics covered will include the h-cobordism theorem, surgery theory, the J-homomorphism and the theory of cobordisms. Other topics may be included depending on time and interest. Background in algebraic topology (homology and homotopy groups) is a prerequisite for this course. Knowledge of characteristic classes and differential topology (transversality and Morse theory) is desirable, but not essential.
Le fil directeur de ce cours est un concept central en géométrie kählérienne actuelle : la K-stabilité. Après un survol de la théorie "classique" des variétés kählériennes, on introduira cette notion, dérivée de la Théorie géométrique des invariants, en précisant les motivations de Yau, Tian et Donaldson à la faire émerger, eu égard, notamment, au problème de Calabi, et on dressera un panorama (le plus complet possible) de l'état de la recherche dans ce domaine.
The course presents an introduction to statistical estimation techniques for insurance data. It is the natural continuation of Risk Theory, which discusses the probabilistic aspects of insurance portfolios. Two approaches to credibility theory are discussed: limited fluctuations and greatest accuracy. Topics covered include American, Bayesian and exact credibility. Bühlmann, Bühlmann-Straub, hierarchical and regression credibility models are derived. Generalized linear models and the issue of robustness will also be discussed. The course prepares for the Credibility part of the Society of Actuaries Exam STAM and the Casualty Actuarial Society Exam MAS II. It also covers more advanced material, as needed to use modern credibility with real insurance data. A grade of B or better is needed to apply to the Canadian Institute of Actuaries for exemption of Exam STAM (see Accredited Programs (concordia.ca).
This course focuses on computational aspects, implementation, continuous-time models, and advanced topics in Mathematical and Computational Finance. We shall cover the following topics (time permitting):
Modèles multivariés de risques sur plusieurs périodes avec dépendance temporelle. Théorie avancée sur les mesures de risque : mesures convexes et quasi convexes de risque, mesures de risque avec distorsion, intégrale de Choquet, allocation du risque, indices de risque. Notions avancées de partage de risque. Modèles de dépendance à grandes dimensions.
Étude de diverses mesures d'intérêts. Fonction d'accumulation et valeur actualisée. Étude de rentes et autres applications financières. Description de contrats d'assurance vie. Fonction de survie. Prestation d'assurances et de rentes. Calcul de primes. Calcul des réserves : contrat de base et contrats généraux. Modèle à décroissances multiples. Applications pratiques.
Les méthodes d'estimation : méthode de vraisemblance, méthode des moments et percentiles, données complètes et incomplètes, applications pour tarification et primes de divers contrats avec paramètres estimés. Tarification a priori avec les modèles linéaires généralisés (GLM) : bases de la tarification en IARD et construction d'un tarif. Théorie de la crédibilité : bayesienne, linéaire, complète et système bonus-malus. Méthodes de provisionnement déterministes et stochastiques en IARD.
Modélisation des risques sur une période (définitions et propriétés). Principales lois pour le nombre de sinistres et le montant de sinistres. Mesures de risque VaR et TVaR. Mutualisation des risques. Principes de calcul de la prime majorée. Méthodes de simulation stochastique. Méthodes récursives d’agrégation. Distributions multivariées et agrégation des risques. Introduction à la théorie des copules. Introduction aux modèles de risques à plusieurs périodes et à la théorie de la ruine. Modèle classique de risque en temps discret. Modèle classique de risque basé sur le processus de Poisson.
Structures à terme, processus stochastiques, modèles et produits dérivés de taux d'intérêt, immunisation et appariement, produits dérivés de crédit, titres adossés à des créances hypothécaires, volatilité.
Mesures et comparaison des risques, Théorie de la ruine en temps discret et continu, Mouvement brownien et temps de premier passage, Modèles de risque de crédit, Concepts et mesures de dépendance, Copules, Applications des modèles de dépendance en actuariat et en finance.
The topics in this Risk Theory course include: aggregate risk models, homogenous and nonhomogenous discrete-time Markov chain models, Poisson processes, coinsurance, effects of inflation on losses, risk measures, dependence (copulas), development triangles and reserving. The emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.
The problem of fitting probability distributions to loss data is studied. In practice, heavy tailed distributions are used (i.e. skewed to the right) which require some special inferential methods. The problems of point and interval estimation, test of hypotheses and goodness of fit are studied in detail under a variety of inferential procedures (empirical, maximum likelihood and minimum distance) and of sampling designs (individual/grouped data, truncation and censoring). Loss data sets serve as illustration of the method. A reasonable understanding of undergraduate mathematical statistics is the only prerequisite for the course. The statistical package S-Plus or the (shareware) statistical software R or the spreadsheet EXCEL application will be used for data analysis. The course prepares for the Loss Models part of the Society of Actuaries (SOA) Exam STAM and the Casualty Actuarial Society (CAS) Exam MAS-I.
This course is a rigorous introduction to mathematical and computational finance. The focus is on the general theory through a thorough study of binomial models in finance. The topics covered include:
Modèle individuel et collectif du risque. Algorithmes récursifs et approximations stochastiques. Problèmes de rétention et de réassurance. Théorie de la ruine. Primes et ordonnancement des risques. Développements récents de la théorie du risque.
Notions de probabilités avancées et martingales. Calcul stochastique et diffusions d'Itô. Théorie formelle de l'arbitrage en temps discret et en temps continu. Théorèmes fondamentaux de la finance. Tarification de produits dérivés sur actions et sur taux d'intérêt. Applications actuarielles et autres sujets avancés.
Ce cours offre une introduction aux méthodes d’inférence pour les modèles à chaîne de Markov cachée (hidden Markov models), aussi connus sous les appellations modèles à changement de régimes (regime-switching models) ou modèles espace-état (state-space models). Ces processus sont des modèles de séries temporelles faisant intervenir un signal markovien observé de façon imparfaite et bruité sous forme de données.
Le cours aborde les propriétés statistiques du modèle, l’estimation des paramètres et les techniques de filtrage, de lissage et de prédiction qui y sont reliées. Les méthodes suivantes seront notamment étudiées : filtre d’Hamilton, algorithme avant-arrière, filtre de Kalman, filtre particulaire, méthodes de Monte Carlo séquentielles et algorithme espérance-maximisation.
Des applications en mathématiques financières seront présentées et l’étudiant sera appelé à implanter plusieurs algorithmes à l’aide du logiciel informatique R.
Modèles discrets. Stratégies de transaction. Arbitrage. Marchés complets. Évaluation des options. Problème d'arrêt optimal et options américaines. Mouvement brownien. Intégrale stochastique, propriétés. Formule d'Itô. Localisation. Introduction aux équations différentielles sotchastiques. Changement de probabilité et théorème de Girsanov. Représentation des martingales et stratégie de couverture. Modèle de Black et Scholes.
Modèle de Black-Scholes; Changements de numéraire; Options exotiques; Options américaines; Modèles à temps discret (GARCH, changements de régime, volatilité stochastique): inférence et simulation; Modèles à temps continu (sauts, volatilité stochastique): inférence et simulation; Modèles de taux d'intérêt: tarification, couverture, inférence et simulation.
Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.
Classification and wellposedness of linear and nonlinear partial differential equations; energy methods; Dirichlet principle. Brief introduction to distributions; weak derivatives. Fundamental solutions and Green's functions for Poisson equation, regularity, harmonic functions, maximum principle. Representation formulae for solutions of heat and wave equations, Duhamel's principle. Method of Characteristics, scalar conservation laws, shocks.
Processus de branchement : modèles de Wright-Fisher, de Moran. Modèles à une infinité d’allèles, de sites. Facteurs d’évolution: sélection, mutation, migration, recombinaison, apparentement. Reconstruction et inférence de réseaux génétiques.
Formal and analytic approaches for modeling intrinsic geometries in data. Algorithms for constructing and utilizing such geometries in machine learning. Applications in classification, clustering, and dimensionality reduction. The course will accommodate anglophone students who are interested in taking it, as well as francophone students.
This course will illustrate some of the most popular numerical methods used to solve linear algebra problems and differential equations. On the linear algebra side, problems of interest include solving linear systems, computing eigenvalues, and matrix factorizations. On the differential equations’ side, the course will present methods for solving ordinary and partial differential equations such as Euler’s method, Runge-Kutta, finite differences, and finite elements. The course includes a computational component in MATLAB/Octave language.
Concentration inequalities, PAC model, VC dimension, Rademacher complexity, convex optimization, gradient descent, boosting, kernels, support vector machines, regression and learning bounds. Further topics selected from: Gaussian processes, online learning, regret bounds, basic neural network theory.
Convex sets and functions, subdifferential calculus, conjugate functions, Fenchel duality, proximal calculus. Subgradient methods, proximal-based methods. Conditional gradient method, ADMM. Applications including data classification, network-flow problems, image processing, convex feasibility problems, DC optimization, sparse optimization, and compressed sensing.
Numerical solution of initial and boundary value problems in science and engineering: ordinary differential equations; partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type. Topics include Runge Kutta and linear multistep methods, adaptivity, finite elements, finite differences, finite volumes, spectral methods.
Systems of conservation laws and Riemann invariants. Cauchy-Kowalevskaya theorem, powers series solutions. Distributions and transforms. Weak solutions; introduction to Sobolev spaces with applications. Elliptic equations, Fredholm theory and spectra of elliptic operators. Second order parabolic and hyperbolic equations. Further advanced topics may be included.
Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications moderne.
Virgule flottante. ÉDOs. Modélisation et simulations. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Valeurs propres et valeurs singulières. Optimisation sans contraintes. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes.
Les thèmes principaux qui seront étudiés dans ce cours sont les quaternions, les algèbres de Clifford ainsi que la théorie des fonctions analytiques généralisées (fonctions pseudo-analytiques). Ces structures seront également utilisées pour considérer certaines applications, principalement en physique quantique. Pour toutes ces structures, nous allons porter une attention particulière aux généralisations des fonctions analytiques complexes. Dans le cas des quaternions et des algèbres de Clifford, les propriétés algébriques ainsi que géométriques seront considérées. La théorie des fonctions pseudo-analytiques généralise et préserve plusieurs caractéristiques de la théorie des fonctions analytiques complexes. Le système de Cauchy-Riemann est alors substitué par un système plus général, appelé équations de Vekua, qui apparaît dans plusieurs problèmes de la physique mathématique.
This course covers most of the materials in the first seven chapters of Probability and Random Processes by Grimmett and Stirzaker. In particular, it covers topics such as generating and characteristic functions and their applications in random walk and branching process, different modes of convergence and an introduction of martingales.
Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.
Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.
Processus de branchement : modèles de Wright-Fisher, de Moran. Modèles à une infinité d’allèles, de sites. Facteurs d’évolution: sélection, mutation, migration, recombinaison, apparentement. Reconstruction et inférence de réseaux génétiques.
Tribus et variables aléatoires. Théorie de l'intégration: théorème de Lebesgue, espace Lp, théorème de Fubini. Construction de mesures, mesure de Radon. Indépendance. Conditionnement.
In the first part of this course we cover some basic topics on Markov chains, optimal stopping problems for Markov chains and discrete time Martingales. The second part starts with an introduction of various exotic properties of Brownian motion. We then introduce stochastic integrals with respect to Brownian motion, Ito's formula together with Girsanov transform and Feyman-Kac formula.
Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.
Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.
This course is an introduction to statistical inference for parametric models. The following topics will be covered:
1. Distribution of functions of several random variables (distribution function and change of variable techniques), sampling distribution of mean and variance of a sample from Normal distribution.
2. Distribution of order statistics and sample quantiles.
3. Estimation: unbiasedness, Cramér-Rao lower bound and efficiency, method of moments and maximum likelihood estimation, consistency, limiting distributions, delta-method.
4. Sufficiency, minimal sufficiency, completeness, UMVUE, Rao-Blackwell and Lehman-Scheffe theorems.
5. Hypothesis-testing: likelihood-ratio tests.
6. Elements of Bayesian estimation and hypothesis-testing.
Text: Introduction to Mathematical Statistics (6th, 7th or 8th Edition), by R.V. Hogg and A.T. Craig, Prentice Hall Inc., 1994. Recommended reading: (for problems, examples etc) Statistical Inference (2nd Edition), by G. Casella and R. L. Berger, Duxbury, 2002. Evaluation: Assignments (4), Midterm exam, Final exam.
This course introduces multivariate statistical analysis, both theory and methods, with focus on the multivariate Normal distribution. It can be seen as a preparatory course, although not a formal prerequisite, for Statistical Learning. Topics covered include:
Text: Applied Multivariate Statistical Analysis, 6th Edition, by R. A. Johnson and D. W. Wichern, Pearson Prentice Hall (2007).
Recommended reading: Linear Statistical Inference and Its Applications, 2nd Edition, by C. R. Rao, Wiley (1973).
Evaluation: Assignments (4), Midterm exam, Final exam
Distribution free procedures for 2-sample problem: Wilcoxon rank sum, Siegel-Tukey, Smirnov tests. Shift model: power and estimation. Single sample procedures: Sign, Wilcoxon signed rank tests. Nonparametric ANOVA: Kruskal-Wallis, Friedman tests. Association: Spearman's rank correlation, Kendall's tau. Goodness of fit: Pearson's chi-square, likelihood ratio, Kolmogorov-Smirnov tests. Statistical software packages used.
Multivariate normal and chi-squared distributions; quadratic forms. Multiple linear regression estimators and their properties. General linear hypothesis tests. Prediction and confidence intervals. Asymptotic properties of least squares estimators. Weighted least squares. Variable selection and regularization. Selected advanced topics in regression. Applications to experimental and observational data.
Distribution theory, stochastic models and multivariate transformations. Families of distributions including location-scale families, exponential families, convolution families, exponential dispersion models and hierarchical models. Concentration inequalities. Characteristic functions. Convergence in probability, almost surely, in Lp and in distribution. Laws of large numbers and Central Limit Theorem. Stochastic simulation.
Conditional probability and Bayes’ Theorem, discrete and continuous univariate and multivariate distributions, conditional distributions, moments, independence of random variables. Modes of convergence, weak law of large numbers, central limit theorem. Point and interval estimation. Likelihood inference. Bayesian estimation and inference. Hypothesis testing.
Principes de l’analyse bayésienne; loi à priori et à postériori, inférence statistique et théorie de la décision. Méthodes computationnelles; méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov. Applications.
Tableaux de contingence. Mesures d'association. Risque relatif et rapport de cote. Tests exacts et asymptotiques. Régression logistique, de Poisson. Modèles log-linéaires. Tableaux de contingence à plusieurs dimensions. Méthodes non paramétriques.
Méthodes graphiques. Estimation des paramètres d'un processus stationnaire. Inversibilité et prévision. Modèles ARMA, ARIMA et estimations de paramètres. Propriétés des résidus. Séries saisonnières. Données aberrantes.
Notions fondamentales de probabilités appliquées à divers domaines de l’intelligence artificielle. Réseaux bayésiens, champs markoviens, diverses méthodes d’inférence (variationnelle, par maximum a posteriori, recuit simulé, etc.), échantillonnage et méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov, séries chronologiques, partitionnement spectral et modèles à variables latentes. Applications en imagerie, en analyse de textes et sur les réseaux de neurones.
Fonctions de variables aléatoires, fonction génératrice des moments, quelques inégalités et identités en probabilité, familles de distributions dont la famille exponentielle, vecteurs aléatoires, loi multinormale, espérances conditionnelles, mélanges et modèles hiérarchiques. Théorèmes de convergence, méthodes de simulation, statistiques d'ordre, exhaustivité, vraisemblance. Estimation ponctuelle et par intervalles : construction d'estimateurs et critères d'évaluation, méthodes bayésiennes. Normalité asymptotique et efficacité relative asymptotique.
Étude des distributions échantillonnales classiques: T2 de Hotelling; loi de Wishart; distribution des valeurs et des vecteurs propres; distribution des coefficients de corrélation. Analyse de variance multivariée. Test d'indépendance de plusieurs sous-vecteurs. Test de l'égalité de matrices de covariance. Sujets spéciaux.
Nombre aléatoire. Simulation de lois classiques. Méthodes d'inversion et de rejet. Algorithmes spécifiques. Simulation des chaines de Markov à temps discret et continu. Solution numérique des équations différentielles ordinaires et stochastiques. Méthode numérique d'Euler et de Runge-Kutta. Formule de Feynman-Kac. Discrétisation. Approximation faible et forte, explicite et implicite. Réduction de la variance. Analyse des données simulées. Sujets spéciaux.
Théorie et application des méthodes classiques d'analyse de données multivariées : analyse en composantes principales, réduction de la dimensionnalité, analyse des correspondances binaire et multiple, analyse discriminante, classification hiérarchique, classification non hiérarchique, choix optimal du nombre de classes. Initiation aux réseaux de neurones artificiels. Utilisation de logiciels statistiques pour le traitement des données.
Statistical analysis of time series in the time domain. Moving average and exponential smoothing methods to forecast seasonal and non-seasonal time series, construction of prediction intervals for future observations, Box-Jenkins ARIMA models and their applications to forecasting seasonal and non-seasonal time series. A substantial portion of the course will involve computer analysis of time series using computer packages (mainly MINITAB). No prior computer knowledge is required.
This course is an introduction to statistical learning techniques. Topics covered include cross-validation, regression methods, classification methods, tree-based methods, introduction to neural networks, unsupervised learning.
This course is an introduction to simulation and Monte Carlo estimation. The following topics will be covered:
1. Simulation of random variables/vectors from their (joint) probability mass function/density function: methods of inverse-transform, accept-reject, composition and factorization (for random vectors).
2. Simulation of homogeneous and non-homogeneous Poisson processes in 1-dimension: methods of inverse-transform and thinning.
3. Some discrete-event simulation models, e.g., 1-server and 2-server queues, insurance-risk model, machine-repair model.
4. Some variance-reduction techniques: methods of anti-thetic variables, control variables, conditional expectation, stratified sampling.
The software R will be extensively used to write simulation codes and will be demonstrated over a few classes.
Text: Simulation, 5th Edition, by Sheldon M. Ross. Recommended reading: A first course in statistical programming with R, 2nd Edition, by W. John Braun and Duncan J. Murdoch (Cambridge University Press). Evaluation: Assignments (4), Midterm exam, Final exam.
Exponential families, link functions. Inference and parameter estimation for generalized linear models; model selection using analysis of deviance. Residuals. Contingency table analysis, logistic regression, multinomial regression, Poisson regression, log-linear models. Multinomial models. Overdispersion and Quasilikelihood. Applications to experimental and observational data.
Sampling theory (including large-sample theory). Likelihood functions and information matrices. Hypothesis testing, estimation theory. Regression and correlation theory.
Processus stochastiques (généralités). Description et caractéristiques des séries chronologiques. Transformées de Fourier. Analyse statistique des séries chronologiques. Analyse spectrale des processus linéaires. Lissage des estimateurs spectraux.
Rappels et compléments sur la théorie du modèle linéaire : moindres carrés, théorèmes de Gauss-Markov et de Cochran, inférence. Modèle à effets fixes et aléatoires. Plan incomplet. Plan à mesures répétées.
Rappels sur la régression linéaire multiple (inférence, tests, résidus, transformations et colinéarité), moindres carrés généralisés, choix du modèle, méthodes robustes, régression non linéaire, modèles linéaires généralisés.
Espérance conditionnelle. Prédiction. Modèles statistiques, familles exponentielles, exhaustivité. Méthodes d'estimation: maximum de vraisemblance, moindres carrés etc. Optimalité: estimateurs sans biais à variance minimum, inégalité de l'information. Propriétés asymptotiques des estimateurs. Intervalles de confiance et précision. Éléments de base de la théorie des tests. Probabilité critique, puissance en relation avec la taille d'échantillon. Relation entre tests et intervalles de confiance. Tests pour des données discrètes.
Théorie des modèles linéaires généraux. Théorie des modèles linéaires généralisés. Régression logistique. Modèles log-linéaires.