To register for an ISM course, you must first have you course selection approved by your supervisor and departmental Graduate Program Director. You may then register for the course using the electronic form available on the BCI website (the BCI is the organization that handles inter-university registration). The form will then be sent to the home and host universities' Registrars for approval.
Additional procedures to register for a course at McGill University:
Once the registration through the BCI website is complete, the student will receive a confirmation. The student must then register for the course at McGill University through the MINERVA registration system.
Important deadlines: Concordia, HEC Montréal, Laval, McGill, Université de Montréal, UQAM, UQTR, Université de Sherbrooke
Course Schedules:
Part 1:
We will discuss the p-adic representations of the absolute Galois group of a finite extension of $Q_\ell$, where $\ell$ is a prime integer different from p.
We will define Weil-Deligne representations, the notion of monodromy modules and we will see the geometric situations in which they appear.
Part 2:
In the second part, we will study p-adic representation of p-adic local fields. We will start with Tate's theorem on the cohomology of C_p, and then introduce various p-adic period rings that will allow us to understand the geometry behind each Galois representation. Several explicit examples (Tate's curves, Hodge--Tate decomposition of elliptic curves) will be provided.
Théorie de Galois : théorème fondamental; fermeture, normalité, groupe de Galois d'un polynôme; corps finis. Algèbre commutative : idéaux premiers, primaires; anneaux noethériens, de Dedekind; radicaux; anneaux simples, semi-simples, premiers, semi-premiers. Modules libres, projectifs, injectifs. Suites exactes. Foncteurs Hom et produit tensoriel.
Review of group theory; free groups and free products of groups. Sylow theorems. The category of R-modules; chain conditions, tensor products, flat, projective and injective modules. Basic commutative algebra; prime ideals and localization, Hilbert Nullstellensatz, integral extensions. Dedekind domains. Part of the material of MATH 571 may be covered as well.Moikael Pichot
This course will be an introduction to modularity lifting and the Taylor-Wiles method. Initially developed by Taylor and Wiles to prove the modularity of semistable elliptic curves over the rationals, their eponymous method has been refined and generalized by many and has become an indispensable tool in the study of Galois representations and automorphic forms.
We will focus on the case of GL(2) over both totally real and CM fields, briefly discussing what happens in higher rank. Along the way, we will also indicate applications of the Taylor-Wiles method beyond modularity lifting.
Singular moduli and their factorisations, following Gross and Zagier. Traces of singular moduli, and modular forms of half integral weight. The theorem of Gross-Kohnen-Zagier. Generalisations via Borcherds' theory of singular theta lifts. p-adic variants, and extensions to real quadratic fields.
Nombres et entiers algébriques. Unités. Norme, trace, discriminant et ramification. Base intégrale. Corps quadratiques, cyclotomiques. Groupes de classes. Décomposition en idéaux premiers. Équations diophantiennes.
Ce cours est une introduction à l'algèbre avancée.
Fondations:
Théorie des catégories:
Théorie des modules:
Carquois d'une algèbre, représentations d'algèbres héréditaires, théorie d'Auslander -Reiten, ensembles partiellement ordonnés et catégories d'espaces vectoriels, revêtements d'une algèbre, algèbres auto-injectives, théorie de l'inclinaison.
The course will follow chapter II of Hartshorne's book and will develop the basic tools of the theory of schemes: sheaves of abelian groups and rings on topological spaces, the spectrum of a ring with its structure sheaf, the fiber product of schemes, properness and separatedness of morphisms of schemes. A special importance will be given to solving the problems in the text.
The course will start recalling what are elliptic curves, from the point of view of Riemann surfaces and algebraic geometry. We will then study the following topics: the Selmer group; complex multiplication and Heegner points; Neron models; elliptic curves over local fields and their formal group. More topics can be treated according to the taste of the audience.
Completion of the topics of MATH 570. Rudiments of algebraic number theory. A deeper study of field extensions; Galois theory, separable and regular extensions. Semi-simple rings and modules. Representations of finite groups.
Théorème de Freiman-Ruzsa, transformation de Dyson, théorèmes de Van der Waerden et de Roth-Szemeredi-Gowers.
Content: the Erdös-Kac theorem; Poissonian distribution of prime factors, of cycles, and of irreducible factors; elements of sieve theory; distribution of divisors of integers, and of invariant sets of permutations; Erdos's multiplication table problem and its generalizations; the Luczak-Pyber theorem; applications to the irreducibility and the Galois group of random polynomials.
La théorie de la représentation des groupes et une théorie algébrique dont les ramifications s’étendent à de très nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’à la Physique te à la Chimie. L’apprentissage de cette théorie permettra entre autre à l’étudiant d’appréhender d’autres théories algébriques de la représentation.
Descripteur : Représentations linéraires des groupes finis. Sous-représentations, théorème de Mashke; représentations irréductibles. Théorie des caractères. Décomposition en composantes isotypiques. Produits tensoriels; représentation induites. Représentations linéaires des groupes compacts. Exemples: groupes cycliques, diédraux, symétriques: tores, groupes de rotations.
Starting with classical inequalities for convex sets and functions, the course’s aim is to present famous geometric inequalities like the Brunn-Minkowski inequality and its related functional form, Prekopa-Leindler, the Blaschke-Santalo inequality, the Urysohn inequality, as well as more modern results such as the reverse isoperimetric inequality, or the Brascamp-Lieb inequality and its reverse form. In the process, we will touch upon log-convex functions, duality for sets and functions and, generally, extremum problems.
Topics include: Hilbert spaces, Banach spaces, linear functionals, dual spaces, bounded linear operators, adjoints; the Hahn-Banach, Baire caterogy, Banach-Steinhaus, open mapping and closed graph theorems; compact operators, the Fredholm alternative, the spectral theorem; the weak/weak* topologies.
Introduction : explication des raisons de l'introduction de l'intégrale de Lebesgue. Espaces mesurables. Intégrale : intégrale des fonctions simples, extension, théorème de convergence monotone, théorème de Fatou. Fonctions intégrales. Exemples classiques (Lebesgue, Lebesgue-Stieltjes, etc.). Théorème de la convergence dominée. Modes de convergence. Décompositions des mesures. Produits de mesures : théorèmes de Tonelli et Fubini. Théorème de Riesz et de Radon-Nicodym. L'étudiant qui a réussi le cours MAT-4000 ou MAT-6000 ne peut s'inscrire à ce cours.
Ce cours vise l'acquisition des notions fondamentales de l'analyse fonctionnelle. Les thèmes traités sont les suivants : espaces normés, opérateurs linéaires, espaces de Banach et espaces de Hilbert; théorème de Hahn-Banach, théorème de Baire, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte, théorème du graphe fermé, théorème de Stone-Weierstrass et théorème d'Arzelà-Ascoli; opérateurs compacts; introduction à la théorie spectrale; topologies faibles, théorème d'Alaoglu.
Ce cours porte sur les résultats classiques pour les équations aux dérivées partielles : l'équation de Poisson, l'équations de la chaleur, l'équations des ondes, l'équation de transport; la classification des équations du second ordre, les principes de maximum, l'inégalité de Harnack, le lemme de Hopf, les solutions faibles, le lemme de Lax-Milgram, la régularité de Sobolev et de Hölder de solutions faibles, le calcul de variations, l'équation des surfaces minimales.
Review of theory of measure and integration; product measures, Fubini's theorem; Lp spaces; basic principles of Banach spaces; Riesz representation theorem for C(X); Hilbert spaces; part of the material of MATH 565 may be covered as well.
Banach and Hilbert spaces, theorems of Hahn-Banach and Banach-Steinhaus, open mapping theorem, closed graph theorem, Fredholm theory, spectral theorem for compact self-adjoint operators, spectral theorem for bounded self-adjoint operators. Additional topics to be chosen from: Lorentz spaces and interpolation, Banach algebras and the Gelfand theory, distributions and Sobolev spaces, The von Neumann-Schatten classes, symbolic calculus of Hilbert space operators, representation theory and harmonic analysis, semigroups of operators, Krein-Milman theorem, tensor products of Hilbert spaces and Banach spaces, fixed point theorems.
Ensembles mesurables, mesure de Lebesgue, théorèmes de Lusin et de Egorov, intégrale de Lebesgue, théorème de Fubini, espaces Lp, éléments de la théorie ergodique, mesure et dimension de Hausdorff, ensembles fractals.
Espaces d’Hilbert, de Banach, théorèmes de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, topologies faibles, espaces réflexifs, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.
The first part of the course will cover the basic topics in the theory of linear partial differential equations, such as the wave equation, the heat equation and the Laplace equation. The theory of distributions and Sobolev spaces will be also presented. The second part of the course will focus on elements of spectral theory. In particular, geometric properties of Laplace eigenvalues and eigenfunctions will be discussed in depth.
Le but du cours sera d'étudier les équations aux dérivées partielles linéaires à l'aide des opérateurs pseudodifférentiels. Les sujets suivants seront abordés:
1. Théorie des distributions, espaces de Sobolev et transformée de Fourier
2. Opérateurs pseudodifférentiels sur l'espace euclidien: définition, action sur les fonctions et composition
3. Opérateurs pseudodifférentiels sur une variété et symbole principal
4. Opérateurs elliptiques linéaires: régularité elliptique, spectre, application à la théorie de Hodge, opérateurs de Fredholm
5. Noyau de la chaleur: construction, propriétés de base, démonstration de la loi de Weyl et déterminant du laplacien
6. L'ensemble des fronts d'onde et le théorème de propagation des singularités de Hörmander (si le temps le permet)
Page web du cours: http://www.cirget.uqam.ca/rochon/MAT7213/
Séries de Fourier, théorèmes de convergence, théorème de Fejér. Transformée de Fourier, théorème de convolution, théorème d'inversion, théorème de Plancherel, formule de Poisson. Transformée de Fourier rapide. Espaces de Hilbert : bases orthonormées, polynômes orthogonaux, ondelettes de Haar. Théorie des ondelettes : analyses multirésolutions, ondelettes père et mère, transformée d'ondelette rapide, intégrabilité et moments. Exemples.
Topics may be chosen from combinatorial set theory, Goedel's constructible sets, forcing, large cardinals and descriptive set theory.
Continuation of topics from MATH 564. Signed measures, Hahn and Jordan decompositions. Radon-Nikodym theorems, complex measures, differentiation in Rn, Fourier series and integrals, additional topics.
Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.
Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.
Examples of applications of statistics and probability in epidemiologic research. Sources of epidemiologic data (surveys, experimental and non-experimental studies). Elementary data analysis for single and comparative epidemiologic parameters.
Statistical methods for multinomial outcomes, overdispersion, and continuous and categorical correlated data; approaches to inference (estimating equations, likelihood-based methods, semi-parametric methods); analysis of longitudinal data; theoretical content and applications.
Common data-analytic problems. Practical approaches to complex data. Graphical and tabular presentation of results. Writing reports for scientific journals, research collaborators, consulting clients.
Multivariable regression models for proportions, rates, and their differences/ratios; Conditional logistic regression; Proportional hazards and other parametric/semi-parametric models; unmatched, nested, and self-matched case-control studies; links to Cox's method; Rate ratio estimation when "time-dependent" membership in contrasted categories.
Advanced applied biostatistics course dealing with flexible modeling of non-linear effects of continuous covariates in multivariable analyses, and survival data, including e.g. time-varying covariates and time-dependent or cumulative effects. Focus on the concepts, limitations and advantages of specific methods, and interpretation of their results. In addition to 3 hours of weekly lectures, shared with epidemiology students, an additional hour/week focuses on statistical inference and complex simulation methods. Students get hands-on experience in designing and implementing simulations for survival analyses, through individual term projects.
Honours level introduction to linear optimization and its applications: duality theory, fundamental theorem, sensitivity analysis, convexity, simplex algorithm, interior point methods, quadratic optimization, applications in game theory.
Foundations of game theory. Computation aspects of equilibria. Theory of auctions and modern auction design. General equilibrium theory and welfare economics. Algorithmic mechanism design. Dynamic games.
Étude approfondie des séries génératrices en combinatoire. Caractérisation des séries rationnelles algébriques. D-finies. Séries associées aux espèces de structures: séries génératrices et séries indicatrices, théorèmes de substitution. Application au dénombrement de types de structures et de structures asymétriques. Théorème de dissymétrie pour les arbres. Décompositions moléculaire et atomique d'une espèce. Foncteurs analytiques. Liens avec les fonctions symétriques et les représentations linéaires du groupe symétrique.
This course is intended as an introduction to the theory of plane partitions and related combinatorial objects. It will cover an historical introduction to this topic, connections to other combinatorial objects, symmetric functions and representation theory as well as the "mysterious connection" to alternating sign matrices (ASMs). Further relevant topics are perfect matchings, Kuo's condensation, lozenge tilings, nonintersecting lattice paths, the Lindström-Gessel-Viennot Theorem, the condensation method for determinant evaluation and RSK-like bijections. More advanced topics could include poset partitions, connections to statistical physics including vertex models, shifted plane partitions, and a detailed elaboration of symmetry classes of plane partitions and their relation to ASMs.
Théorème de Freiman-Ruzsa, transformation de Dyson, théorèmes de Van der Waerden et de Roth-Szemeredi-Gowers.
Le contenu du cours sera en partie précisé suivant les intérêts des étudiants. Les grandes lignes sont les suivantes:
La théorie de la représentation des groupes et une théorie algébrique dont les ramifications s’étendent à de très nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’à la Physique te à la Chimie. L’apprentissage de cette théorie permettra entre autre à l’étudiant d’appréhender d’autres théories algébriques de la représentation.
Descripteur : Représentations linéraires des groupes finis. Sous-représentations, théorème de Mashke; représentations irréductibles. Théorie des caractères. Décomposition en composantes isotypiques. Produits tensoriels; représentation induites. Représentations linéaires des groupes compacts. Exemples: groupes cycliques, diédraux, symétriques: tores, groupes de rotations.
- Groupes de permutations: orbite et stabilisateur d'un élément; théorème de Schreier; certaines applications: ordre d'un groupe de permutations; test d'appartenance; forme normale pour les éléments du groupe. Algorithme de Todd-Coxeter pour l'énumération des classes à gauches d'un sous-groupe.
- Bases de Gröbner: bases de Gröbner d'un idéal d'un anneau de polynômes; unicité de la base de Gröbner réduite; applications: égalités d'idéaux; calcul d'intersection d'idéaux; correspondance entre idéaux et ensembles algébrique.
- Permutations et Tableaux: l'algorithme de Robinson-Schensted-Knuth (RSK); ombres de Viennot; jeu de taquin de Schützenberger; évacuation.
- Algorithme X de Knuth: algorithme récursif de parcours en profondeur et à retour sur trace; applications: problème de couverture exacte; Sudoku.
- Algorithmes sur les graphes: arbres étiquetés (code de Prüfer, bijections de Foata et de Joyal, formule de Cayley); arbres couvrants de poids minimal (théorème de Kirchhoff, algorithmes de Prim et de Kruskal); problème du plus court chemin (algorithme de Dijkstra); problème des mariages stables (théorème de Hall, algorithme de Gale-Shapley).
Iterated Function Systems:
The mathematical fundations: metric spaces, the Hausdorff space of subsets and its metric, the theorem about the completeness of the Hausdorf space. The symbolic dynamics and “codes” on the attractor of IFS.
Applications: Attractors of the IFS. Fractal approximation. Fractal compression of pictures.
Complex Dynamics: General introduction to complex dynamics, Julia and Fatou sets, dynamics of polynomials and rational functions, Mandelbrot set.
If time allows additional topics might be covered.
Rappels sur les systèmes linéaires. Systèmes non linéaires : linéarisation et méthode de Lyapounov. Solutions périodiques : application de Poincaré, théorème de Poincaré-Bendixon. Variétés répulsives et attractives. Introduction à la stabilité structurelle et théorème de Peixoto. Variétés neutres, formes normales et application à la théorie locale des bifurcations. Exemple de Smale et bifurcation de points homocliniques.
Dynamical systems, phase space, limit sets. Review of linear systems. Stability. Liapunov functions. Stable manifold and Hartman-Grobman theorems. Local bifurcations, Hopf bifurcations, global bifurcations. Poincare Sections. Quadratic maps: chaos, symbolic dynamics, topological conjugacy. Sarkovskii's theorem, periodic doubling route to chaos. Smale Horseshoe.
Flots discrets et continus. Équations différentielles non linéaires, techniques classiques d’analyse de dynamique, existence et stabilité de solutions, variétés invariantes, bifurcations, formes normales, systèmes chaotiques. Applications moderne.
Approfondir les propriétés de base des nombres réels. Étudier la topologie des espaces métriques. Introduction à l'espace des fractales via les systèmes de fonctions itérées et la dynamique complexe. Exploration des fractales 3D générées à l'aide de la dynamique bicomplexe.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
The course will cover the following topics: free group and its subgroups, uniqueness of decomposition into free product. Groups acting on trees, splitting into free product with amalgamation. Bass-Serre theory. Cayley graph, SL(2,Z), isometry groups of the hyperbolic plane. Isoperimetric inequality, word problem, Dehn’s algorithm. Small cancellation groups. Quasi-isometries and quasi-geodesics. Groups hyperbolic in the sense of Gromov. Boundaries of hyperbolic groups, Tits alternative. Ends of groups. Gromov’s theorem on groups with polynomial growth.
The course will review a number of recent constructions in Lagrangian topology. It will consist of four chapters:
I. Basic notions of symplectic topology;
II. Tools ( elements of homological algebra; loop spaces and cobordism; Morse theory and its symplectic bigger brothers - Floer theory, pearl and cluster homology, Fukaya categories; filtrations and coefficient rings); III. From topology to algebra and back through cobordism;
IV. Some computations.
Le but du cours sera d'étudier les équations aux dérivées partielles linéaires à l'aide des opérateurs pseudodifférentiels. Les sujets suivants seront abordés:
1. Théorie des distributions, espaces de Sobolev et transformée de Fourier
2. Opérateurs pseudodifférentiels sur l'espace euclidien: définition, action sur les fonctions et composition
3. Opérateurs pseudodifférentiels sur une variété et symbole principal
4. Opérateurs elliptiques linéaires: régularité elliptique, spectre, application à la théorie de Hodge, opérateurs de Fredholm
5. Noyau de la chaleur: construction, propriétés de base, démonstration de la loi de Weyl et déterminant du laplacien
6. L'ensemble des fronts d'onde et le théorème de propagation des singularités de Hörmander (si le temps le permet)
Page web du cours: http://www.cirget.uqam.ca/rochon/MAT7213/
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
The course will be in three parts:
1) Introduction to hyperbolic manifolds, hyperbolic geometry and geometric structures on manifolds.
2) Foundational results hyperbolic 3-manifolds: Mostow rigidity, the thick-thin decomposition and Thurston's Dehn filling theorem.
3) Geometry of knot complements: volumes, essential surfaces, A-polynomial etc. (actual topics covered may change based on time and student interests)
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
This course will be an introduction to Calabi-Yau manifolds. Topics that will likely be covered include:
- Miyaoka-Yau Chern number inequalities and uniformization
- Uniqueness of Kähler structure of projective spaces
- The Bogomolov-Tian-Todorov theorem on unobstructed deformations
- K3 surfaces
K-theory, its relations with cohomology theories, Adams operations, applications to vector fields, differential operators, the Atiyah-Singer index theorem, its applications in geometry and topology.
Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.
Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Préliminaires sur les variétés topologiques. Décomposition de Heegard. Les théorèmes de Papakyriakopoulous. Le théorème de décomposition en variétés premières et la conjecture de Kneser sur le produit libre. Surfaces plongées dans les 3-variétés, variétés de Haken, hiérarchies et la déformation d'équivalence d'homotopie. Espaces fibrés de Seifert. Décomposition des 3-variétés suivant une famille caractéristique de Tores. Structures géométriques sur les 3-variétés.
Le cours porte sur un développement de la théorie de Hodge, avec comme point de départ la structure de Hodge d’une courbe et, plus généralement, d’une variété de Kähler. On développe rapidement la théorie des variétés de Kähler et leurs dégénérescences en faisant référence à des livres classiques. Sont ensuite abordés des exemples classiques en exhibant leur rôle dans la classification des variétés algébriques et dans l’étude de leurs espaces de module, en incluant une introduction à la théorie des variations de structures de Hodge. On touchera également à des outils analytiques simples tels l'hyperbolicité pour pouvoir aborder quelques problèmes globaux dans le sujet. Si le temps le permet, on parlera finalement des notions de stabilité, de la correspondance de Donaldson-Uhlenbeck-Yau et ses généralisations, ou encore on donnera quelques rudiments de théorie de Hodge non abélienne.
The course looks at statistical estimation techniques for insurance data with heterogeneous risk classes. Two classical approaches to credibility theory are discussed: limited fluctuations and greatest accuracy. Topics covered include American, Bayesian and exact credibility. Bühlmann, Bühlmann-Straub, hierarchical and regression credibility models are derived. Generalized linear models, credibility regression trees and the issue of robustness will also be discussed. The course prepares for the Credibility part of the Society of Actuaries Exam STAM and the Casualty Actuarial Society Exam MAS II and give partial exemption from the Canadian Institute of Actuaries.
This course focuses on computational aspects, implementation, continuous-time models, and advanced topics in Mathematical and Computational Finance. We shall cover the following topics (time permitting):
Mesures et comparaison des risques, Théorie de la ruine en temps discret et continu, Mouvement brownien et temps de premier passage, Modèles de risque de crédit, Concepts et mesures de dépendance, Copules, Applications des modèles de dépendance en actuariat et en finance.
Modèles discrets. Stratégies de transaction. Arbitrage. Marchés complets. Évaluation des options. Problème d'arrêt optimal et options américaines. Mouvement brownien. Intégrale stochastique, propriétés. Formule d'Itô. Localisation. Introduction aux équations différentielles sotchastiques. Changement de probabilité et théorème de Girsanov. Représentation des martingales et stratégie de couverture. Modèle de Black et Scholes.
Tribus et variables aléatoires. Théorie de l'intégration: théorème de Lebesgue, espace Lp, théorème de Fubini. Construction de mesures, mesure de Radon. Indépendance. Conditionnement.
Structures à terme, processus stochastiques, modèles et produits dérivés de taux d'intérêt, immunisation et appariement, produits dérivés de crédit, titres adossés à des créances hypothécaires, volatilité.
This course is an introduction to the analysis of individual risks encountered in various insurance and credit risk contexts, such as risk scoring and pricing, capital reserving, marketing and claims management. In the past, modeling techniques for insurance and credit risks have been developed separately, and the aim is to put together an inventory of relevant results on such individual risks that are currently scattered in these two domains. Special emphasis will be placed on their implementation using R.
Ce cours-séminaire est une introduction au contrôle stochastique optimal. Il portera principalement sur la résolution du problème de dividendes optimales de Bruno de Finetti et les variantes publiées plus récemment.
Pré-requis: connaissances élémentaires sur le mouvement brownien, la formule d'Itô et le processus de Poisson composé.
If needed, this course will be given in English.
This course is an introduction to reinforcement learning techniques. It requires extensive programming with the R language. Topics covered include: Multi-armed bandit problem, Markov Decision Problems, Dynamic Programming, Monte-Carlo solution methods, Temporal difference methods, Multi-period Approximation methods, Policy gradient.
Development, analysis and effective use of numerical methods to solve problems arising in applications. Topics include direct and iterative methods for the solution of linear equations (including preconditioning), eigenvalue problems, interpolation, approximation, quadrature, solution of nonlinear systems.
Classification and wellposedness of linear and nonlinear partial differential equations; energy methods; Dirichlet principle. Brief introduction to distributions; weak derivatives. Fundamental solutions and Green's functions for Poisson equation, regularity, harmonic functions, maximum principle. Representation formulae for solutions of heat and wave equations, Duhamel's principle. Method of Characteristics, scalar conservation laws, shocks.
SVM and kernel methods. Proof of generalization using concentration of measure.
Formal and analytic approaches for modeling intrinsic geometries in data. Algorithms for constructing and utilizing such geometries in machine learning. Applications in classification, clustering, and dimensionality reduction.
The course will accommodate anglophone students who are interested in taking it, as well as francophone students.
Sparsity is a key principle in real-world applications such as image or audio compression, statistical data analysis, and scientific computing. Compressed sensing is the art of measuring sparse objects (like signals or functions) using the minimal amount of linear measurements. This course is an introduction to the mathematics behind these techniques: a wonderful combination of linear algebra, optimization, numerical analysis, probability, and harmonic analysis.
Topics covered include: l1 minimization, iterative and greedy algorithms, incoherence, restricted isometry analysis, uncertainty principles, random Gaussian sampling and random sampling from bounded orthonormal systems (e.g., partial Fourier measurements), applications to signal processing and computational mathematics.
Rappel sur les E.D.P. Notions de distributions. Espaces de Sobolev. Problèmes aux limites elliptiques : formulation variationnelle, existence et unicité, exemples. Méthodes des différences finies : problèmes elliptiques, paraboliques, équation de transport. Éléments finis pour les problèmes elliptiques : dimensions 1 et 2, éléments finis de Lagrange, estimation d'erreur, intégration numérique.
The formulation and treatment of realistic mathematical models describing biological phenomena through such qualitative and quantitative mathematical techniques as local and global stability theory, bifurcation analysis, phase plane analysis, and numerical simulation. Concrete and detailed examples will be drawn from molecular, cellular and population biology and mammalian physiology.
Numerical solution of initial and boundary value problems in science and engineering: ordinary differential equations; partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type. Topics include Runge Kutta and linear multistep methods, adaptivity, finite elements, finite differences, finite volumes, spectral methods.
Systems of conservation laws and Riemann invariants. Cauchy-Kowalevskaya theorem, powers series solutions. Distributions and transforms. Weak solutions; introduction to Sobolev spaces with applications. Elliptic equations, Fredholm theory and spectra of elliptic operators. Second order parabolic and hyperbolic equations. Further advanced topics may be included.
Branching processes, Wright-Fisher and Moran models, infinite alleles model. Evolutionary factors: selection, mutation, migration, recombination. Reconstruction and inferences of genetic networks.
The course will accommodate anglophone students who are interested in taking it, as well as francophone students.
Virgule flottante. ÉDOs. Modélisation et simulations. Méthodes directes et itératives pour la résolution de systèmes linéaires et non-linéaires. Gestion de données. Valeurs propres. ÉDPs elliptiques et paraboliques. Équation de Black-Scholes.
The course aims at introducing the notion of Lie group and Lie algebra, with focus on concrete matrix representations. We will start with a minimalistic review of necessary notions of differential geometry and move progressively into the theory of the classification of semisimple Lie algebras (and groups). We will also discuss some representation theory.
After the introduction, the main topics we aim at covering are: Connection between Lie groups and Lie Algebras (Baker-Cambpell-Hausdorff); general theory of Lie algebras; nilpotent, solvable and semisimple algebras; Classical simple Lie groups and algebras; classification (Dynkin diagrams); representation theory (Weyl theorem, weight spaces, irreducible reps, characters); integration over groups and Haar measure.
We will keep the prerequisites to a minimum.
The course concerns modern entropic information theory centred around coding algorithms. It will follow the book “The Ergodic Theory of Discrete Sample Paths” by Paul C. Shields AMS Graduate Studies in Mathematics, Vol 13, 1996, with digressions concerning more recent developments. The course will continue with a research seminar in the Winter 2021. Various research opportunities (post-doctoral, PhD, masters, and undergraduate level) related to the material of the course and the seminar will be available starting Summer 2021. Besides the students in mathematics and statistics, this course might be of interest to mathematically inclined students in electrical engineering and computer science. Staring with the seminal work of Shannon, most of the central topics of the course originated in the field of electrical engineering/information transmission.
Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.
Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.
L'objectif du concours est de présenter les notions principales derésolution des équations aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours,nous présentons les sujets suivants :
EDP non linéaires du premier ordre. Solutions à l'aide de la méthode deMonge, Formulation du problème de Cauchy, Intégrations complètes et lescrochets de Jacobi et de Piosson, Les équations de Hamilton-Jacobi.
EDP du deuxième ordre hyperbolique, elliptique et parabolique.Classification des EDP du second ordre par la méthode de Beltrami,Théorème d'existence des solutions et théorème de Cauchy-Kowalewska,Intégrale intermédiaire pour les équations linéaires de type hyperbolique,Problème de Sturm-Liouville et polynômes orthogonaux, Résolution par laméthode de cascade de Laplace, Transformation d'homographe et de Legendre,Méthode d'intégration de Riemann, Méthode de la moyenne sphérique, Méthoded'Hadamard et le principe de Duhamel, Fonction de Green et solutionfondamentale. Unification de presque toutes les méthodes connues pourtrouver les solutions exactes et analytiques par la théorie des groupes.
Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.
Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales. Introduction au mouvement brownien.
Tribus et variables aléatoires. Théorie de l'intégration: théorème de Lebesgue, espace Lp, théorème de Fubini. Construction de mesures, mesure de Radon. Indépendance. Conditionnement.
Characteristic functions: elementary properties, inversion formula, uniqueness, convolution and continuity theorems. Weak convergence. Central limit theorem. Additional topic(s) chosen (at discretion of instructor) from: Martingale Theory; Brownian motion, stochastic calculus.
Mouvement brownien, intégrale stochastique, formule d’Itô, équations différentielles stochastiques, théorèmes de représentation, théorème de Girsanov. Formule de Black et Scholes.
Ce cours-séminaire est une introduction au contrôle stochastique optimal. Il portera principalement sur la résolution du problème de dividendes optimales de Bruno de Finetti et les variantes publiées plus récemment.
Pré-requis: connaissances élémentaires sur le mouvement brownien, la formule d'Itô et le processus de Poisson composé.
If needed, this course will be given in English.
Probabilistic graphical models are a framework for representing large systems of random variables with complex interactions. Theory of probabilistic graphical models studies probability distributions on directed and undirected graphs and combines statistical and optimization theory to develop effective computer algorithms. It has been used in many applications in machine learning, computer vision, natural language processing and bioinformatics.
This course introduces probabilistic graphical models from the very basics to some commonly used algorithms in machine learning.
i) Forms of graphical representation: Bayesian networks; Markov random fields; undirected versus directed models
ii) Inference: variable elimination; belief propagation; MAP inference, sampling based inference; variational inference
iii) Learning: maximal likelihood estimators for Bayesian networks; maximal likelihood estimation with gradient descent; Bayesian learning
References and Required Reading:
Main textbook:
Koller, Daphne, and Nir Friedman. “Probabilistic graphical models: principles and techniques”. MIT press, 2009.
Other references:
Murphy, Kevin P. “Machine learning: a probabilistic perspective”. MIT press, 2012.
Wainwright, Martin J., and Michael I. Jordan. “Graphical models, exponential families, and variational inference.” Foundations and Trends in Machine Learning, 2008.
Grading will be based on bi-weekly theoretical assignments from the readings and on a final project.
Prerequisites: advanced courses in probability theory and statistical inference
This course is an introduction to reinforcement learning techniques. It requires extensive programming with the R language. Topics covered include: Multi-armed bandit problem, Markov Decision Problems, Dynamic Programming, Monte-Carlo solution methods, Temporal difference methods, Multi-period Approximation methods, Policy gradient.
Extreme events on financial markets are very difficult to predict and few models are capable of accounting for these characteristics. The theory of extreme values is an important statistical discipline allowing for a more proper modeling of rare events. In this course, we present the theory of extreme values necessary to solve problems in finance, economics and financial engineering. The analysis tools required to study such data are also studied. The proper analysis of extreme values, including methods of estimation, quantification of uncertainty, diagnostics, and maximal utilisation of available data are considered. We also make extensive use of R, a freely available language and environment for statistical computing and graphics.
Notions de probabilité : variables aléatoires, lois de probabilité, méthodes de calcul multidimensionnel, notions de convergence et théorèmes limites. Estimation ponctuelle et par intervalles de confiance : définitions, inférence par la méthode du maximum de vraisemblance. Test d'hypothèses : lemme de Neyman-Pearson, tests uniformément les plus puissants, tests basés sur la théorie de la vraisemblance.
Régression linéaire. Modèles linéaires généralisés. Méthodes de sélection de variables. Validation de modèles. Modèles mixtes. Équations d'estimation généralisées. Couverture des aspects théoriques et mise en oeuvre pratique avec un logiciel statistique de tous ces modèles et méthodes.
Distribution free procedures for 2-sample problem: Wilcoxon rank sum, Siegel-Tukey, Smirnov tests. Shift model: power and estimation. Single sample procedures: Sign, Wilcoxon signed rank tests. Nonparametric ANOVA: Kruskal-Wallis, Friedman tests. Association: Spearman's rank correlation, Kendall's tau. Goodness of fit: Pearson's chi-square, likelihood ratio, Kolmogorov-Smirnov tests. Statistical software packages used.
Multivariate normal and chi-squared distributions; quadratic forms. Multiple linear regression estimators and their properties. General linear hypothesis tests. Prediction and confidence intervals. Asymptotic properties of least squares estimators. Weighted least squares. Variable selection and regularization. Selected advanced topics in regression. Applications to experimental and observational data.
Distribution theory, stochastic models and multivariate transformations. Families of distributions including location-scale families, exponential families, convolution families, exponential dispersion models and hierarchical models. Concentration inequalities. Characteristic functions. Convergence in probability, almost surely, in Lp and in distribution. Laws of large numbers and Central Limit Theorem. Stochastic simulation.
SVM and kernel methods. Proof of generalization using concentration of measure.
Bayesian statistical inference and decision making; de Finetti’s representation; parametric methods; conjugate models; hierarchical models; computational approaches to inference; Monte Carlo methods; bootstrap methods; Markov chain Monte Carlo methods; Metropolis–Hastings; advancedMCMCmethods; sequential Monte Carlo; approximate Bayesian computation; non-parametric Bayesian inference; semiparametric Bayesian inference.
General introduction to computational methods in statistics; optimization methods; EM algorithm; random number generation and simulations; bootstrap, jackknife, cross-validation, resampling and permutation; Monte Carlo methods: Markov chain Monte Carlo and sequential Monte Carlo; computation in the R language.
Conditional probability and Bayes’ Theorem, discrete and continuous univariate and multivariate distributions, conditional distributions, moments, independence of random variables. Modes of convergence, weak law of large numbers, central limit theorem. Point and interval estimation. Likelihood inference. Bayesian estimation and inference. Hypothesis testing.
Étude du « bootstrap ». Estimation du biais et de l'écart-type. Intervalles de confiance et tests. Applications diverses, incluant la régression et les données dépendantes. Étude du « jackknife », de la validation croisée et du sous-échantillonnage.
Tableaux de contingence. Mesures d'association. Risque relatif et rapport de cote. Tests exacts et asymptotiques. Régression logistique, de Poisson. Modèles log-linéaires. Tableaux de contingence à plusieurs dimensions. Méthodes non paramétriques.
Méthodes graphiques. Estimation des paramètres d'un processus stationnaire. Inversibilité et prévision. Modèles ARMA, ARIMA et estimations de paramètres. Propriétés des résidus. Séries saisonnières. Données aberrantes.
Fonctions de variables aléatoires, fonction génératrice des moments, quelques inégalités et identités en probabilité, familles de distributions dont la famille exponentielle, vecteurs aléatoires, loi multinormale, espérances conditionnelles, mélanges et modèles hiérarchiques. Théorèmes de convergence, méthodes de simulation, statistiques d'ordre, exhaustivité, vraisemblance. Estimation ponctuelle et par intervalles : construction d'estimateurs et critères d'évaluation, méthodes bayésiennes. Normalité asymptotique et efficacité relative asymptotique.
Tribus et variables aléatoires. Théorie de l'intégration: théorème de Lebesgue, espace Lp, théorème de Fubini. Construction de mesures, mesure de Radon. Indépendance. Conditionnement.
Étude des distributions échantillonnales classiques: T2 de Hotelling; loi de Wishart; distribution des valeurs et des vecteurs propres; distribution des coefficients de corrélation. Analyse de variance multivariée. Test d'indépendance de plusieurs sous-vecteurs. Test de l'égalité de matrices de covariance. Sujets spéciaux.
Nombre aléatoire. Simulation de lois classiques. Méthodes d'inversion et de rejet. Algorithmes spécifiques. Simulation des chaines de Markov à temps discret et continu. Solution numérique des équations différentielles ordinaires et stochastiques. Méthode numérique d'Euler et de Runge-Kutta. Formule de Feynman-Kac. Discrétisation. Approximation faible et forte, explicite et implicite. Réduction de la variance. Analyse des données simulées. Sujets spéciaux.
Concepts élémentaires: paradigme bayésien, principe de vraisemblance, loi a priori et a posteriori. Information a priori, lois a priori non informatives et fonctions de perte. Estimation ponctuelle, région PHDP, cote de Bayes. Calcul bayésien.
Théorie des modèles linéaires généraux. Théorie des modèles linéaires généralisés. Régression logistique. Modèles log-linéaires.
The emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed. The topics include (but are not limited to) aggregate risk models, homogenous and nonhomogenous discrete-time Markov chain models, Poisson processes, coinsurance, effects of inflation on losses, copulas, risk measures (VaR, TVaR), claim reserving.
This course introduces classical time series concepts: trend and seasonal pattern identification, stationarity, autocorrelation and partial autocorrelation, ARMA processes, estimation and prediction, model diagnostics and possibly GARCH and regime-switching models.
In the first part of this course we cover some basic topics on Markov chains, optimal stopping problems for Markov chains and discrete time Martingales. The second part starts with an introduction of various exotic properties of Brownian motion. We then introduce stochastic integrals with respect to Brownian motion, Ito's formula together with Girsanov transform and Feyman-Kac formula.
This course is an introduction to statistical learning techniques. Some applications to finance and insurance will be illustrated. Topics covered include: Cross-validation, Linear and non-linear regression and classification methods, Shrinkage approaches, Variable selection, Neural networks, Support vector machines, Classification and regression trees, Unsupervised Learning (Clustering and Principal Component Analysis).
This course will cover selected topics from asymptotic theory of statistical inference, i.e., properties of statistical inference procedures when sample-size is large. Needless to say, these properties are obtained via taking limit as sample-size goes to infinity. Even in moderately complex statistical models the large-sample properties, such as variance of an estimator, are less cumbersome than the exact ones, i.e., those for a fixed sample-size. Both parametric and non-parametric framework will be considered. Topics to be covered include:
Functional Delta-method, U-statistics, M-estimators, Rank statistics, Local asymptotic normality (LAN).
Texts: Serfling, 'Approximation theorems of mathematical statistics' (John Wiley, 1980), van der Vaart, 'Asymptotic statistics' (Cambridge University Press, 1998) and journal articles.
Evaluation: Assignments (3) and class presentations of assigned journal articles.
Réduction de la dimensionnalité : par exemple, analyse en composantes principales et analyse canonique des corrélations. Classification non supervisée : classification hiérarchique, non hiérarchique et sur la base de modèles, évaluation de la qualité et choix du nombre de groupes. Classification supervisée : classifieurs linéaires et non linéaires, évaluation de la qualité des classifieurs.
Thèmes choisis parmi les suivants : analyse exploratoire de données; rééchantillonnage (« jackknife », « bootstrap »); lissage (estimation de densité), régression non paramétrique, « splines »; optimisation (problèmes de maximisation), algorithme espérance maximisation (EM); méthodes de Monte Carlo (introduction, intégration, optimisation).
Exponential families, link functions. Inference and parameter estimation for generalized linear models; model selection using analysis of deviance. Residuals. Contingency table analysis, logistic regression, multinomial regression, Poisson regression, log-linear models. Multinomial models. Overdispersion and Quasilikelihood. Applications to experimental and observational data.
Simple random sampling, domains, ratio and regression estimators, superpopulation models, stratified sampling, optimal stratification, cluster sampling, sampling with unequal probabilities, multistage sampling, complex surveys, nonresponse.
Sampling theory (including large-sample theory). Likelihood functions and information matrices. Hypothesis testing, estimation theory. Regression and correlation theory.
Principes d'inférence; estimation ponctuelle et distribution des estimateurs, approximation normale, point de selle et « bootstrap »; tests d'hypothèses; robustesse, inférence bayésienne, pseudo- et quasi vraisemblance, estimation non paramétrique.
Rappels et compléments sur la théorie du modèle linéaire : moindres carrés, théorèmes de Gauss-Markov et de Cochran, inférence. Modèle à effets fixes et aléatoires. Plan incomplet. Plan à mesures répétées.
Rappels sur la régression linéaire multiple (inférence, tests, résidus, transformations et colinéarité), moindres carrés généralisés, choix du modèle, méthodes robustes, régression non linéaire, modèles linéaires généralisés.