Probabilités

Description du programme

La théorie des probabilités est l’étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l’incertitude. Les spécialistes de cette discipline au sein de l’ISM s’intéressent à un large éventail de problèmes théoriques et appliqués où les probabilités discrètes et continues ont un rôle à jouer. Leurs travaux concernent notamment le développement et l’analyse de modèles probabilistes pour des phénomènes physiques, biologiques, statistiques et informatiques. Ils étudient entre autres la physique statistique dans un environnement aléatoire, les processus évolutifs en biologie, les systèmes à portée variable, les paysages énergétiques aléatoires, l’analyse de la structure de données au moyen d’arborescences aléatoires, la génétique et la biologie des populations.

Plusieurs membres du groupe font également partie du laboratoire de probabilités du CRM.

Membres du programme

Formation

Les étudiants intéressés à poursuivre leurs études graduées dans l'un ou l'autre des domaines mentionnés ci-dessus sont invités s'inscrire au programme. Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Les étudiants intégrés au programme devraient maîtriser les fondements de la théorie des probabilités. Ces étudiants devront prendre les cours intermédiaires suivants: théorie de la mesure et théorie des probabilités. Ils devront ensuite suivre des cours spécialisés.

Cours 2016-17

Automne

Advanced Probability Theory 1

Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.

Prof. Linan Chen

MATH 587

Institution: Université McGill

Topics in Probability and Statistics: Brownian Motion

History: 

"Extremely minute particles of solid matter, whether from organic or inorganic substances, when suspended in pure water, or in some other aqueous fluids, exhibit motions for which I am unable to account, and which from their irregularity and seeming independence resemble in a remarkable degree the less rapid motions of some of the simplest animalcules of infusions."

    --Robert Brown, 1829. 

The theory of Brownian motion is one of the great interdisciplinary success stories of mathematics. After the initial observations by Brown (a biologist) and important, independent contributions by Thiele (statistics), Bachelier (mathematical finance), Einstein and Smoluchowski (physicists) in the period 1880-1910, a rigorous construction was given by Norbert Wiener (mathematician) in 1923. Today, the theory of Brownian motion plays an important role in all these fields, and in many more. 

Outline: 

This course will rigorously introduce and describe the fundamental properties of Brownian motion and related stochastic processes, in particular:

  • Construction of Brownian motion, basic properties of Brownian sample paths. 
  • Brownian motion as a Markov process; Brownian motion as a martingale. 
  • Continuity properties, dimensional doubling
  • Donsker's invariance principle, arcsine laws
  • The law of the iterated logarithm
  • Recurrence and transience, occupation measures and Green's functions
  • Brownian local time
  • Stochastic integrals with respect to Brownian motion; Tanaka's formula; Feynman-Kac formulae

 Some of the following topics will also be addressed, time permitting. 

  • Hausdorff dimensions of (subsets of) Brownian motion sample paths
  • Polar sets, intersections and self-intersections of Brownian motion: 
  • Fast times and slow times.
  • The Brownian continuum random tree
  • Introduction to SLE
  • Introduction to the theory of continuous martingales. 
  • Introduction to Lévy processes
  • Itô's excursion theory for Brownian motion. 
  • Gaussian processes, the Gaussian free field. 

 Textbook: Brownian motion, by Peter Mörters and Yuval Peres, plus other sources as needed. 

 Prerequisite: Math 587 or permission of instructor. 

Prof. Louigi Addario-Berry

MATH 598

Institution: Université McGill

Probabilités - Université de Montréal

Espace de probabilité, variables aléatoires, indépendance, espérance mathématique, modes de convergence, lois des grands nombres, théorème central limite, espérance conditionnelle et martingales.

Prof. Alexander Fribergh

MAT 6717

Institution: Université de Montréal

Hiver

Large Deviations and Applications

The theory of large deviations studies probabilities of events which, in a large sample, are exponentially rare in the number of samples. We will cover standard methods including large deviations for i.i.d. sequences, occupation measures, and diffusions with small noise. This theory has found many applications in finance and risk management, simulation and sampling, as well as operations research and statistical mechanics. The main part of the course will cover: Introduction to large deviations, the large deviations principle, Sanov's theorem and method of types, Cramer's theorem, Gartner-Ellis theorem, concentration inequalities, large deviations for Markov chains, contraction principle, Varadhan's and Bryc's lemmas, sample path large deviations. 

The prerequisites for the course are an advanced course in probability theory and in stochastic processes; including LLNs, CLTs, Markov chains, martingales, Brownian motion.

Prof. Lea Popovic

MAST 679 (MAST 881) L

Institution: Concordia University