Probabilités

Description du programme

La théorie des probabilités est l’étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l’incertitude. Les spécialistes de cette discipline au sein de l’ISM s’intéressent à un large éventail de problèmes théoriques et appliqués où les probabilités discrètes et continues ont un rôle à jouer. Leurs travaux concernent notamment le développement et l’analyse de modèles probabilistes pour des phénomènes physiques, biologiques, statistiques et informatiques. Ils étudient entre autres la physique statistique dans un environnement aléatoire, les processus évolutifs en biologie, les systèmes à portée variable, les paysages énergétiques aléatoires, l’analyse de la structure de données au moyen d’arborescences aléatoires, la génétique et la biologie des populations.

Plusieurs membres du groupe font également partie du laboratoire de probabilités du CRM.

Membres du programme

Formation

Les étudiants intéressés à poursuivre leurs études graduées dans l'un ou l'autre des domaines mentionnés ci-dessus sont invités s'inscrire au programme. Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Les étudiants intégrés au programme devraient maîtriser les fondements de la théorie des probabilités. Ces étudiants devront prendre les cours intermédiaires suivants: théorie de la mesure et théorie des probabilités. Ils devront ensuite suivre des cours spécialisés.

Cours 2018-19

Automne

Advanced Probability Theory 1

Probability spaces. Random variables and their expectations. Convergence of random variables in Lp. Independence and conditional expectation. Introduction to Martingales. Limit theorems including Kolmogorov's Strong Law of Large Numbers.

Prof. Linan Chen

MATH 587

Institution: Université McGill

Hiver

Advanced Probability 2

Characteristic functions: Elementary properties, Inversion formula, Uniqueness, convolution and continuity theorems. 

Weak convergence: Portmanteau theorem, Sequential compactness, tightness, Prohorov's theorem, Polish spaces, Central limit theorem, Skorokhod's representation theorem.

Stochastic processes: General theory. Kolmogorov Extension theorem, Kolmogorov continuity theorem. Regular probability spaces and conditional distributions, probability kernels.  Construction of Brownian motion, Donsker's theorem

Exchangeability: De Finetti's theorem,  The Aldous-Hoover theorem. 

Other topics if time permits. 

Prof. Louigi Addario-Berry

MATH 589

Institution: Université McGill

Processus de Lévy et applications

Ce cours est une introduction aux processus de Lévy et, plus particulièrement, à la théorie des fluctuations pour les processus de Lévy spectralement négatifs (SNLPs), dont le processus de Poisson composé et le mouvement brownien avec dérive sont des cas particuliers. Des applications en théorie de la ruine, en recherche opérationnelle et/ou en finance mathématique seront discutés, selon l'intérêt des étudiants inscrits.

Horaire: MA et JE, 14h-15h30 (sujet à changement après le premier cours)

Prof. Jean-François Renaud

MAT 998D

Institution: Université du Québec à Montréal

Topics in Probability & Statistics: Rare Events and Applications

The theory of large deviations studies probabilities of events which, in a large sample, are exponentially rare in the number of samples. We will cover standard methods including large deviations for i.i.d. sequences, correlated variables, and occupation measures. This theory has found many applications in finance and risk management, simulation and sampling, as well as operations research and statistical mechanics. The main part of the course will cover: Introduction to large deviations, the large deviations principle, Sanov’s theorem and method of types, Cramer’s theorem, Gartner-Ellis theorem, concentration inequalities, large deviations for Markov chains. We will also discuss the application of the theory to constructing efficient sampling mechanisms, such as importance sampling. The prerequisites for the course are basic probability theory and stochastic processes.

Prof. Lea Popovic

MAST 679/4 I (STAT 497 & MAST 881)

Institution: Concordia University