Géométrie et topologie

Description du programme

La géométrie différentielle et la topologie sont des disciplines fondamentales des mathématiques dont la richesse et la vitalité à travers l’histoire reflètent leur lien profond avec notre appréhension de l’univers. Elles forment un des carrefours névralgiques des mathématiques modernes. En effet, le développement récent de plusieurs domaines des mathématiques doit beaucoup à la géométrisation des idées et des méthodes; en particulier, c’est le cas pour la physique mathématique et la théorie des nombres.

Dans ce sujet assez large, les domaines de recherche principaux du groupe sont : la classification topologique des variétés en dimension 3, la classification des métriques kählériennes spéciales, l’étude des invariants symplectiques (particulièrement en dimension 4), les équations aux dérivées partielles non linéaires en géométrie riemannienne, en géométrie convexe et en relativité générale, géométrie de Poisson et quantification de la déformation, et les systèmes dynamiques hamiltoniens.

La plupart des chercheurs du groupe font partie du  CIRGET, le Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. Le centre organise des événements scientifiques ainsi que plusieurs séminaires hebdomadaires.

Membres du programme

Formation

Les coordonnateurs du programme envisagent trois niveaux de cours dans le cheminement de l'étudiant:

  1. Le premier niveau (les cours d'introduction ne relèvent pas de l'ISM) est constitué de deux cours d'introduction à la géométrie et à la topologie, à être augmentés de cours d'analyse et d'algèbre. Ces cours d'introduction seront donnés à chaque année, dans au moins une des universités participantes.
  2. Le deuxième niveau devrait initier l'étudiant aux domaines principaux du sujet et lui donner une certaine culture de base, par exemple en groupes de Lie, géométrie algébrique, géométrie riemannienne, topologie de basse dimension, et analyse des équations aux dérivées partielles. Ces cours se donneront une fois tous les deux ans environ.
  3. Le troisième niveau est constitué de cours plus spécialisés. En plus, tous les étudiants du programme devraient normalement participer au séminaire de géométrie et de topologie.

Cours 2023-24

Automne

Manifolds

Topics from differentiable manifolds, tangent space, cotangent space, immersions, orientation, vector fields, differentiable forms, integration on manifolds, Riemannian metrics, curvature tensors, Bonnet-Myers Theorem and Synge Theorem, fundamental group, manifolds of negative curvature, the sphere theorem, eigenvalues of Riemannian manifolds, and de Rham theory.

Prof. Alina Stancu

MAST657 / MAST857

Institution: Concordia University

Geometry and Topology I

Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.

Prof. Joel Kamnitzer

MATH 576

Institution: Université McGill

Topics in Geometry and Topology: Metric nonpositive curvature

Textbook: Martin Bridson and André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature, complementary reading:  Michael W.Davis: The geometry and topology of Coxeter groups.

 Syllabus: This will be a course on curvature defined in metric terms instead of differential-geometric. We will start with studying a handful of examples: hyperbolic geometry, complex hyperbolic geometry, symmetric spaces. We will give some motivation from differential geometry but we will introduce the spaces of metric non-positive curvature using a purely metric condition. We will discuss singular examples of such spaces such as trees or polyhedral complexes, in particular cube complexes. We will prove the Cartan-Hadamard theorem saying that if a simply connected metric space is locally nonpositively curved, then it is globally nonpositively curved.

 We will discuss isometries and groups of isometries acting on such spaces. We will prove the flat torus theorem, the fixed-point theorem for finite subgroups, and we will discuss the decision problems such as the word problem and the conjugacy problem. We will define the boundary at infinity of such a space. We will discuss further examples such as Coxeter groups and buildings. Finally, we will mention constructions using complexes of groups.

Prof. Piotr Przytycki

MATH 599/706

Institution: Université McGill

A Survey of Modern Geometric Structures and Challenges (non-credited course)

Target Audience: Second-degree mathematics/physics undergraduates - PhD students

This course introduces several of the principal geometric structures relevant to the description of classical mechanics and classical field theories. Basic knowledge of differential geometry is assumed, including vector and principal bundles, Poincaré's lemma, and calculus on manifolds. Half of the course delves into standard topics in symplectic, Poisson, and Dirac geometry, while the latter segments focus on structures pertinent to contemporary research problems. These include contact and multisymplectic geometry, along with their Marsden-Weinstein reductions. Notably, contact geometry has experienced a revival in recent years, with significant attention directed toward its application in the study of Hamiltonian systems. Additionally, its analogue for field theories, k-contact geometry, has also attracted interest. I will review modern attempts at devising a multisymplectic reduction, which has remained unsolved for approximately three decades. More information on the subject can be found at https://delucasaraujo.wixsite.com/uniwersytet/blank-2.

Room 5448, Pavillon André-Aisenstadt
Université de Montréal
Fridays, 10:30-12:30
September 8 - December 15

Prof. Javier de Lucas Araujo (Simons-CRM Professor)

Non-credited course

Institution: Université de Montréal

Topologie algébrique I

Groupe fondamental. Théorie des revêtements. Groupes d'homotopie de dimensions supérieures. Homologie singulière relative, homologie simpliciale, théorème d'approximation simpliciale. Relation entre le groupe fondamental et le premier groupe d'homologie. Théorème d'excision. Suite exacte de Mayer-Vietoris. Homologie des sphères, degré des applications entre sphères, applications. Théorème de Jordan-Brouwer. Complexes C.W. et discussion des théorèmes de base de la théorie de l'homotopie: théorème de Whithead, théorème de Hurewicz. Homologie cellulaire, caractéristique d'Euler. Le théorème de point fixe de Lefschetz.

Prof. Steven Boyer

MAT 7032

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire en géométrie et topologie : Variétés et espace de modules d’un point de vue des courbes

On commencera par un cours rapide de la géométrie algébrique complexe concentré d’abord sur le cas de courbes avec les courbes elliptiques comme modèle. On parlera des aspects saillants des bases de la géométrie birationelle et des espaces de modules mais d’un point de vue surtout sur les courbes et leur rôle omniprésent. Puisque les courbes holomorphes viennent naturellement, une petite partie du cours sera sur la géométrie hyperbolique complexe basé par exemple d’une partie du livre classique de S. Lang. On va étudier de finitude et rigidité des courbes complexes et leur conjectures actuelles qui sont analogues des conjectures en géométrie arithmétiques classiques de Mordell et de Shafarevich concernant la finitude des points rationnelles dans le cas de variétés et des espaces de modules. En même temps, on traitera le cas où la rigidité ne se réalise pas et surtout le célèbre résultat de “bend & break” de Mori concernant l’existence des courbes rationnelles dans une variété et ses consequences en géométrie birationnelle. On va développer un sens des avances récentes en géométrie birationnelle (incluant possiblement BCHM) et en espaces de modules et finir avec des solutions partielles des conjectures clefs qui sont ouvertes. 

Pré-requis: (1) Une bonne connaissance de l’analyse complexe. (2) Soit une grande motivation soit des connaissances de base sur les variétés comme dans un cours de géométrie différentielle, de surfaces de Riemann ou d’un cours en géométrie algébrique. 

Prof. Steven Lu

MAT 993

Institution: Université du Québec à Montréal

Hiver

Introduction to Algebraic Geometry

Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz.  The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities.  Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy.  Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves.  Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.

Prof. Brent Pym

MATH 518

Institution: Université McGill

Geometry and Topology 2

Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.

Prof. Joel Kamnitzer

MATH 577

Institution: Université McGill

Géométrie différentielle - UdeM

Variétés différentiables, formes différentielles, fibrés. Partitions de l’unité. Groupes à un paramètre de difféomorphismes, dérivée et crochet de Lie. Intégration et théorème de Stokes. Cohomologie de De Rham. Éléments de géométrie riemannienne.

Prof. Dylan Cant

MAT 6330

Institution: Université de Montréal

Topologie algébrique II

Homologie avec coefficients, théorème des coefficients universels. Cohomologie singulière, théorème de coefficients universels pour la cohomologie. Produits, théorème de Künneth. Orientation et dualité dans les variétés. Axiomes d'Eilenberg-Steenrod. Cohomologie de de Rham, de Cech, d'Alexander. Théorème de de Rham. Foncteurs d'homotopie et foncteurs représentables. Théories d'homologie et cohomologie généralisées: K-théorie, cobordisme. Quelques applications élémentaires de la K-théorie et du cobordisme. Homologie avec coefficients locaux.

Prof. Duncan McCoy

MAT 8230

Institution: Université du Québec à Montréal

Géométrie riemannienne

Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.

Prof. Julien Keller

MAT 9231

Institution: Université du Québec à Montréal

Séminaire de géométrie et topologie : Géométrie Kählérienne des variétés toriques

Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons la notion de variété torique, de deux points de vue complémentaires : le point de vue de la géométrie symplectique et les actions hamiltoniennes (la théorie de Delzant) et le point de vue de la géométrie algébrique complexe (la théorie des polytopes entiers et les éventails). Dans une deuxième partie du cours, nous nous spécialiserons dans l'étude de la géométrie riemannienne des variétés toriques et décrirons les métriques riemanniennes compatibles en termes de fonctions convexes lisses sur le polytope de Delzant correspondant (la théorie d'Abreu-Guillemin). Ceci nous conduira à notre objectif final qui est de présenter la résolution récente (obtenue par Chen-Cheng en 2021) de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, donnant une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes du polytope de Delzant correspondant, pour qu’une variété torique admette une métrique riemannienne compatible de courbure scalaire constante.

Le seul pré-requis est un premier cours de géométrie différentielle sur les variétés.  Le cours servira de préparatif pour l'école doctorale SMS  Flots géométriques et méthodes variationnelles en géométrie riemannienne et complexe: méthodes classiques et modernes (3-14 juin 2024).

Prof. Vestislav Apostolov

MAT 993U

Institution: Université du Québec à Montréal

Homéomorphismes pseudo-Anosov des surfaces

Les homéomorphismes pseudo-Anosov d'une surface jouent un rôle central dans la classification de Nielsen-Thurston des classes d'isotopie d'homéomorphismes de surface. Ils ont fourni une riche source de directions de recherche en topologie et en systèmes dynamiques depuis les années 80. Ce cours est une introduction au sujet et a pour but d'équiper l'auditoire d'un bagage suffisant pour qu'il puisse ensuite explorer la littérature dans les domaines qu'il juge intéressants. Nous aborderons, entre autres, les sujets suivants : les train tracks, la théorie de Teichmuller de base, une preuve de la classification de Nielsen-Thurston, la théorie des faces fibrées de Thurston-Fried, et les triangulations veering. Les prérequis pour ce cours sont des notions de base en topologie différentielle (variétés, métriques, flots) et en topologie algébrique (groupe fondamental, homologie, cohomologie).

Prof. Chi Cheuk Tsang

MAT993V

Institution: Université du Québec à Montréal

Sujets choisis en géométrie: Représentations des groupes et algèbres de Lie

La théorie des représentations est l’étude des actions d’un groupe sur un espace vectoriel. Cette perspective s’avère extrêmement puissante et ce sujet est très actif en recherche mathématique moderne, en plus d’avoir une panoplie d’applications, particulièrement en physique.

Contenu
• Représentations des groupes finis : tables de caractères, classification.
• Groupes et algèbres de Lie : groupes classiques, systèmes de racines, classification.
• Représentations des groupes et algèbres de Lie : constructions, exemples, poids, classification.
• Applications : isomorphismes accidentels, espaces homogènes, invariants, formes automorphes.

Préalables

Un cours d’algèbre linéaire et un cours d’analyse multivariée

Prof. Jean-Philippe Burelle

MAT 775

Institution: Université de Sherbrooke