Physique mathématique

Description du programme

Les principaux domaines de recherches du groupe sont:

  • systèmes intégrables classiques et quantiques;
  • méthodes statistiques complètement résolubles;
  • méthodes de transformation spectrale directes et inverses;
  • applications aux systèmes nonlinéaires cohérents en mécanique des fluides, des solides, en optique et plasmas;
  • la théorie spectrale des matrices aléatoires et des opérateurs aléatoires;
  • processus aléatoires intégrables, partitions aléatoires, croissance aléatoire;
  • croissance laplacienne et gaz coulombien logarithmique;
  • méthodes asymptotiques en analyse spectrale;
  • problèmes de fondement en mécanique classique et en mécanique statistique quantique;
  • solutions aux équations nonlinéaires classiques des champs (théorie de jauge, gravité);
  • l'analyse des symétries d'équations aux dérivées partielles;
  • les quasi-cristaux;
  • la théorie des champs conformes;
  • la théorie de la représentation des groupes de Lie et des groupes quantiques;
  • phénomènes de percolation;
  • problèmes de fondement en quantification (quantification stochastique et géométrique; états cohérents);
  • structures mathématiques des théories des champs classiques et quantiques (théorie de jauge; gravité quantique).

La plupart des membres du groupe sont également membres du Laboratoire de physique mathématique du CRM.

Membres du programme

Formation

Le programme accueille des étudiants ayant de bonnes connaissances en physique et en mathématiques. Un diplôme de second cycle dans l'une de ces disciplines ainsi qu'une solide formation dans l'autre sont essentiels. L'étudiant intéressé intégrer ce programme doit être familier avec les sujets suivants:

Physique: mécanique classique; mécanique statistique; électrodynamique classique; mécanique quantique; relativité.
Mathématiques: analyse réelle, analyse fonctionnelle; analyse complexe; équations différentielles; théorie des groupes et algèbre; théorie de la mesure.

Outre les cours explicitement offerts cette année, le cadre général des cours ci-dessus est recommandé aux étudiants faisant leurs études dans ce programme. Les besoins et la préparation précédente de chaque étudiant(e) détermineront quels des cours devront être suivis. Le choix et l'horaire seront décidés en consultation avec le directeur de recherche. Quoique les cours listés pourront être disponibles en un ou plusieurs départements participants, les titres et numéros de sigles sont donnés afin de faciliter les correspondances. Dans la liste de cours qui suit, un astérisque (*) signifie un cours (niveau maîtrise) qui est obligatoire pour tous les étudiants dans le programme, et (*m) signifie un cours qui est obligatoire pour les étudiants qui n'ont pas suivi un cours équivalent au niveau du baccalauréat. La notation suivante est utilisée pour indiquer le niveau et la fréquence des cours offerts:

  • A= cours offert au moins une fois par année à une des universités participantes
  • B= cours offert tous les deux ans à une des universités participantes
  • C= cours offert selon la demande à une des universités participantes
  • b= cours de base (niveau maîtrise)
  • i= cours intermédiaire (maîtrise ou doctorat)
  • s= cours spécialisé (maîtrise ou doctorat)

(*) 1. Méthodes mathématiques en physique. (A, b)

  • McGill: Phys. 198-612 - Advanced Mathematical Physics I
  • McGill: Phys. 198-613 - Advanced Mathematical Physics II
  • McGill: Math 189-585 - Integral Equations and Transforms
  • McGill: Math 189-586 - Applied Partial Differential Equations
  • Univ. de Montréal: Mat 6435 - Equations de la physique

(*m) 2. Mécanique quantique mathématique (A, b)

  • Concordia: Math 684/854 - Quantum mechanics / Quantization techniques

(*m) 3. Mécanique analytique (B,b)

  • McGill: Math 189-561 - Analytic Mechanics

4. Théorie quantique des champs (A, i)

  • McGill: Phys. 198-673 Theoretical High Energy Physics
  • Univ. de Montréal: Phys. 6812 - Théorie des champs I
  • Univ. de Montréal: Phys. 6822 - Théorie des champs II

5. Mécanique statistique (A, i)

  • Concordia: Phys 661 - Nonequilibrium statistical mechanics
  • McGill: Phys 198-559 - Statistical mechanics

6. Rélativité générale (B, b)

7. Sujets spéciaux en physique mathématique (C, s)

  • Concordia MAST 856A- Selected Topics in Mathematical Physics

8. Algèbres de groupes de Lie (A, b)

  • Concordia: Math 694 - Lie groups
  • Univ. de Montréal: Math 6681Q - Algèbre: sujets spéciaux
  • Univ. de Montréal MAT 6633 - Théorie des groupes de Lie
  • UQAM: Mat 7410 - Groupes et algèbres de Lie

9. Variétés différentiables (A, b)

  • Concordia: Math 656 - Differential geometry
  • McGill: Math 189-576 - Geometry and topology I
  • McGill: Math 189-577 - Geometry and topology II
  • Univ. de Montréal: Math 6323 - Variétés différentiables
  • UQAM: Mat 8131 - Géométrie différentielle

10. Analyse fonctionnelle (A, b)

  • Concordia: Math 662 - Functional analysis I
  • McGill: Math 189-635 - Functional analysis
  • Univ. de Montréal: Math 6112- Analyse fonctionelle I

11. Equations différentielles (A, i)

  • Concordia: Math 666 - Differential equations
  • McGill: Math 189-575 - Partial differential equations
  • Univ. de Montréal: Math 6180 - Equations différentielles

Cours 2023-24

Automne

A Survey of Modern Geometric Structures and Challenges (non-credited course)

Target Audience: Second-degree mathematics/physics undergraduates - PhD students

This course introduces several of the principal geometric structures relevant to the description of classical mechanics and classical field theories. Basic knowledge of differential geometry is assumed, including vector and principal bundles, Poincaré's lemma, and calculus on manifolds. Half of the course delves into standard topics in symplectic, Poisson, and Dirac geometry, while the latter segments focus on structures pertinent to contemporary research problems. These include contact and multisymplectic geometry, along with their Marsden-Weinstein reductions. Notably, contact geometry has experienced a revival in recent years, with significant attention directed toward its application in the study of Hamiltonian systems. Additionally, its analogue for field theories, k-contact geometry, has also attracted interest. I will review modern attempts at devising a multisymplectic reduction, which has remained unsolved for approximately three decades. More information on the subject can be found at https://delucasaraujo.wixsite.com/uniwersytet/blank-2.

Room 5448, Pavillon André-Aisenstadt
Université de Montréal
Fridays, 10:30-12:30
September 8 - December 15

Prof. Javier de Lucas Araujo (Simons-CRM Professor)

Non-credited course

Institution: Université de Montréal

Hiver

Équations aux dérivées partielles (UQTR)

L'objectif du concours est de présenter les notions principales de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours, nous présentons les sujets suivants :

EDP non linéaires du premier ordre. Solutions à l'aide de la méthode de Monge (description analytique du cône de Monge et le ruban caractéristique). Intégration complète et le crochet de Jacobi (méthode de Charpit et méthode de Jacobi), Méthode de Lagrange pour les équations de Hamilton-Jacobi.

EDP du deuxième ordre hyperbolique, elliptique et parabolique. Classification des EDP du second ordre par la méthode de Beltrami, Théorème d'existence des solutions et théorème de Cauchi-Kowaleska, Intégrale intermédiaire pour les équations linéaires de type hyperbolique, Résolution par la méthode de cascade de Laplace, Méthode d'intégration de Riemann, Problème de Sturm-Liouville et polynômes orthogonaux, Méthode de la moyenne sphérique, Méthode d'Hadamard et le principe de Duhamel, Fonction de Green et solution fondamentale.

Système quasilinéaire du premier ordre. Solution de rang 1 (ondes de Riemann), Superposition des ondes de Riemann (Solution de rang k>1), Systèmes en involution, Estimé du degré de liberté d'une solution au sens de Cartan.

Prof. Michel Grundland

MAP-6019

Institution: Université du Québec à Trois-Rivières