Geometry and topology are fundamental disciplines of mathematics whose richness and vitality, evident throughout human history, reflect a deep link to our experience of the universe. They are a focal point of modern mathematics and indeed several domains of mathematics have recently shown a strong trend towards a geometrization of ideas and methods: two cases in point are mathematical physics and number theory.
Within this broad subject, the main areas of research of the group include the topological classification of 3-dimensional manifolds; quantization of Hitchin systems and the geometric Langlands program; classification of special Kähler metrics; the study of symplectic invariants, especially in dimension 4; non-linear partial differential equations in Riemannian geometry, convex geometry, and general relativity; and Hamiltonian dynamical systems.
Most of the researchers in the group are also membres of CIRGET, the Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. The Center organizes scientific events as well as several weekly seminars.
Students interested in this program are expected to progress through three levels of courses.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
The course will cover the following topics: free group and its subgroups, uniqueness of decomposition into free product. Groups acting on trees, splitting into free product with amalgamation. Bass-Serre theory. Cayley graph, SL(2,Z), isometry groups of the hyperbolic plane. Isoperimetric inequality, word problem, Dehn’s algorithm. Small cancellation groups. Quasi-isometries and quasi-geodesics. Groups hyperbolic in the sense of Gromov. Boundaries of hyperbolic groups, Tits alternative. Ends of groups. Gromov’s theorem on groups with polynomial growth.
The course will review a number of recent constructions in Lagrangian topology. It will consist of four chapters:
I. Basic notions of symplectic topology;
II. Tools ( elements of homological algebra; loop spaces and cobordism; Morse theory and its symplectic bigger brothers - Floer theory, pearl and cluster homology, Fukaya categories; filtrations and coefficient rings); III. From topology to algebra and back through cobordism;
IV. Some computations.
Le but du cours sera d'étudier les équations aux dérivées partielles linéaires à l'aide des opérateurs pseudodifférentiels. Les sujets suivants seront abordés:
1. Théorie des distributions, espaces de Sobolev et transformée de Fourier
2. Opérateurs pseudodifférentiels sur l'espace euclidien: définition, action sur les fonctions et composition
3. Opérateurs pseudodifférentiels sur une variété et symbole principal
4. Opérateurs elliptiques linéaires: régularité elliptique, spectre, application à la théorie de Hodge, opérateurs de Fredholm
5. Noyau de la chaleur: construction, propriétés de base, démonstration de la loi de Weyl et déterminant du laplacien
6. L'ensemble des fronts d'onde et le théorème de propagation des singularités de Hörmander (si le temps le permet)
Page web du cours: http://www.cirget.uqam.ca/rochon/MAT7213/
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
The course will be in three parts:
1) Introduction to hyperbolic manifolds, hyperbolic geometry and geometric structures on manifolds.
2) Foundational results hyperbolic 3-manifolds: Mostow rigidity, the thick-thin decomposition and Thurston's Dehn filling theorem.
3) Geometry of knot complements: volumes, essential surfaces, A-polynomial etc. (actual topics covered may change based on time and student interests)
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
This course will be an introduction to Calabi-Yau manifolds. Topics that will likely be covered include:
- Miyaoka-Yau Chern number inequalities and uniformization
- Uniqueness of Kähler structure of projective spaces
- The Bogomolov-Tian-Todorov theorem on unobstructed deformations
- K3 surfaces
K-theory, its relations with cohomology theories, Adams operations, applications to vector fields, differential operators, the Atiyah-Singer index theorem, its applications in geometry and topology.
Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann. Le préalable exigé est une connaissance de base de l'analyse complexe.
Contenu: Surfaces de Riemann compactes. Structures complexes engendrées par une métrique. Applications holomorphes. Revêtements ramifiés de la sphère de Riemann, formule de Riemann-Hurwitz. Topologie et formes différentielles sur les surfaces de Riemann. Différentielles abéliennes, Jacobien. Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann compactes. Théorème d'Abel. Théorème de Riemann-Roch. Fonctions théta, fonctions de Weierstrass. Aperçu des courbes algébriques.
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité et de De Rham. Variations première et seconde, champs de Jacobi, cut locus. Théorème de Bonnet-Myers, théorème de Synge, théorème de Cartan-Hadamard. Théorème de comparaison de Rauch, Alexandrov et Toponogov. Submersion riemannienne, espaces homogènes riemanniens, espaces symétriques, l'exemple de l'espace projectif complexe. Théorème de Hodge-De Rham. Théorème de Bochner. Volume, théorèmes de Bishop et de Heintze-Karcher. Sous-variétés, seconde forme fondamentale, équation de Gauss. Inégalités isopérimétriques. Géométrie spectrale. Théorème de finitude de Cheeger.
Préliminaires sur les variétés topologiques. Décomposition de Heegard. Les théorèmes de Papakyriakopoulous. Le théorème de décomposition en variétés premières et la conjecture de Kneser sur le produit libre. Surfaces plongées dans les 3-variétés, variétés de Haken, hiérarchies et la déformation d'équivalence d'homotopie. Espaces fibrés de Seifert. Décomposition des 3-variétés suivant une famille caractéristique de Tores. Structures géométriques sur les 3-variétés.
Le cours porte sur un développement de la théorie de Hodge, avec comme point de départ la structure de Hodge d’une courbe et, plus généralement, d’une variété de Kähler. On développe rapidement la théorie des variétés de Kähler et leurs dégénérescences en faisant référence à des livres classiques. Sont ensuite abordés des exemples classiques en exhibant leur rôle dans la classification des variétés algébriques et dans l’étude de leurs espaces de module, en incluant une introduction à la théorie des variations de structures de Hodge. On touchera également à des outils analytiques simples tels l'hyperbolicité pour pouvoir aborder quelques problèmes globaux dans le sujet. Si le temps le permet, on parlera finalement des notions de stabilité, de la correspondance de Donaldson-Uhlenbeck-Yau et ses généralisations, ou encore on donnera quelques rudiments de théorie de Hodge non abélienne.