Geometry and topology are fundamental disciplines of mathematics whose richness and vitality, evident throughout human history, reflect a deep link to our experience of the universe. They are a focal point of modern mathematics and indeed several domains of mathematics have recently shown a strong trend towards a geometrization of ideas and methods: two cases in point are mathematical physics and number theory.
Within this broad subject, the main areas of research of the group include the topological classification of 3-dimensional manifolds; classification of special Kähler metrics; the study of symplectic invariants, especially in dimension 4; non-linear partial differential equations in Riemannian geometry, convex geometry, and general relativity; Poisson geometry and deformation quantization; and Hamiltonian dynamical systems.
Most of the researchers in the group are also membres of CIRGET, the Centre interuniversitaire de recherche en géométrie différentielle et topologie. The Center organizes scientific events as well as several weekly seminars.
Students interested in this program are expected to progress through three levels of courses.
Basic point-set topology, including connectedness, compactness, product spaces, separation axioms, metric spaces. The fundamental group and covering spaces. Simplicial complexes. Singular and simplicial homology. Part of the material of MATH 577 may be covered as well.
The first two thirds of this course aim, respectively, to introduce the theory of triangulated categories and the theory of persistence - that has as origin ideas in AI and topological data analysis. The last third of the course will describe how these two structures fit together and how this allows the study of wide classes of geometric objects: lagrangian submanifolds of a symplectic manifold; metric spaces; metric graphs and many others.
Le cours se veut une introduction à certains outils d'analyse pour étudier des équations aux dérivées partielles ayant des origines géométriques. Les sujets suivants seront couverts: équation de Laplace, principe du maximum, espaces de Hölder, estimations de Schauder, théorèmes du point fixe, équations elliptiques quasi-linéaires, espaces de Hölder paraboliques, équations paraboliques quasi-linéaires et flots géométriques.
Rappels de topologie et d'analyse. Variétés et applications différentiables, fibré tangent et différentielle d'une application. Théorème du rang constant et formes normales. Partition de l'unité et applications. Transversalité, théorème de Sard et énoncé du théorème de Thom. Tenseurs et formes différentielles, dérivée de Lie et dérivée extérieure. Intégration sur les variétés, théorème de Stokes. Distributions, théorème de Frobenius, feuilletages, Fibrés vectoriels et principaux, les connexions comme systèmes différentiels.
Le but de ce cours est de développer les éléments de base de la théorie de classes caractéristiques. Nous commençons avec la classification homotopique des fibrés localement triviaux, avec groupe de structure, sur des espaces paracompact. Nous considérons, plus particulièrement, les fibrés vectoriels et leurs opérations naturelles : $\oplus, \times, \otimes, \wedge$, etc. Ensuite, nous étudions la
théorie des classes caractéristiques : classes de Stiefel-Whitney, classe de Thom, classe d'Euler, classes de Chern, classes de Pontryagin. Nous discutons des approches et interprétations différentes pour ces invariants : axiomatisation, obstructions, cohomologie des espaces classifiant, théorie de Chern-Weil. Chaque approche mène à des applications frappantes.
This class is about the mathematical foundations of Yang-Mills theory and its applications to topology. In the first part of the class, I would like to introduce the mathematical background necessary for the construction of the moduli space of anti-self dual connections (solutions of the Yang-Mills equations in dimension four). In the second part I would like to show how this technology can be employed to study four-manifolds and three-manifolds (instanton Floer homology). If time permits, I will say something about moduli spaces of vector bundles on Riemann curves, or perhaps go through Donaldson’s proof of Narasimhan–Seshadri theorem, that has applications in algebraic geometry and number theory.
Prerequisite: Basic notions and techniques in algebraic geometry ; It would be good to have basic notions of divisors, sheaf theory and their cohomology as normally done in a course on Riemann surfaces but not absolutely necessary. A good course in complex analysis.
Brief Summary: After a brief review of Kahler geometry, Hodge decomposition, coherent sheaves and their related cohomology (one week), notions of positivity, vanishing theorems and various cones in the group of divisors (or line bundles) modulo numerical equivalence (via intersection theory), we take a brief tour of what is proven or conjectured by Mori's MMP (minimal model Program) on the structures and the birational classification of varieties (two more weeks ). We concentrate in the first part of the course on the verification of the case of algebraic surfaces and mention briefly the ideas used in the case of dimension 3 using the modern Fields medal approach of Mori. The rest of the course will discuss the link between complex (non)hyperbolicity and the recent results of BCHM that solved the (good) MMP for the case of varieties of general type and, time permitting, Caucher Birkar's recent Fields Medal result for Fano varieties.
We will use several references but will not follow any particular ones (in any order) ; We will use in particular the book of Kollar-Mori for Mori's MMP and the book of Barth, Peters and Van-de-Ven for the case of surfaces.
Basic properties of differentiable manifolds, tangent and cotangent bundles, differential forms, de Rham cohomology, integration of forms, Riemannian metrics, geodesics, Riemann curvature.
Affine varieties. Radical ideals and Hilbert's Nullstellensatz. The Zariski topology. Irreducible decomposition. Dimension. Tangent spaces, smoothness and singularities. Projective spaces and projective varieties. Regular functions and morphisms. Rational maps and indeterminacy. Blowing up. Divisors and linear systems. Projective curves. Additional topics may be covered at the discretion of the instructor.
CW-complexes, cellular approximation theorem. Homotopy groups, long exact sequence for a fiber bundle. Whitehead theorem. Freudenthal suspension theorem. Singular and cellular homology and cohomology. Hurewicz theorem. Mayer-Vietoris sequence. Universal coefficients theorem. Cup product, Kunneth formula, Poincare duality.
Le laplacien et la théorie elliptique. Espaces de Sobolev. Éléments de la géométrie spectrale. Applications analytiques et topologiques à la géométrie riemannienne, symplectique ou kahlerienne.
Voici le plan de cours, qui pourra changer légèrement en fonction de l'auditoire:
0. Introduction
1. Rappels de topologie générale
2. Rappels d'analyse des fonctions continues
3. Rappels d'algèbre (corps, anneaux, modules, théorie des catégories)
4. Homologie simpliciale et homologie singulière. Théorème d'approximation des fonctions continues par des fonctions PL. Isomorphisme entre les deux homologies.
5. Exemple: classification des surfaces. Généralisation aux complexes différentiels abstraits.
6. Suites exactes, théorème de Mayer-Vietoris et de Kunneth. Exemples.
7. Cohomologie et dualité de Poincaré.
8. Théorème des coefficients universels.
9. Fibrations. Suite spectrale de Leray. Théorie des faisceaux et cohomologie de Cech.
10. Introduction à la K-théorie.
11. Groupe fondamental et revêtements (galoisiens). Homologie de Novikov.
Pour un cours d’introduction aux surfaces de Riemann en un trimestre, il faut forcément faire des choix. Le plan de cours proposé consiste à partir de l’origine du sujet dans la théorie des fonctions d’une variable complexe et viser une compréhension du Théorème de Riemann-Roch selon deux approches distinctes relevant de la géométrie algébrique classique puis de l’analyse moderne. Selon son penchant personnel, chaque inscrit au cours pourra alors approfondir le sujet par des lectures personnelles autour des outils les mieux maîtrisés.
Chapitre I : Théorie élémentaire des surfaces de Riemann
- Rappels d’Analyse complexe
- Origines de la notion de surface de Riemann
- Surfaces, structures et atlas complexes, définition d’une surface de Riemann
- Exemples de surfaces de Riemann
- Lien avec les courbes algébriques planes
- Interlude : vision panoramique (suivant Eric Reyssat)
- Fonctions holomorphes et méromorphes, forme normale locale, notion de degré
- Formule de Riemann-Hurwitz
- Prolongement analytique, monodromie et Théorème d’existence de Riemann
- Calcul différentiel et intégral sur les surfaces de Riemann
Chapitre II: Géométrie algébrique classique des surfaces de Riemann
- Fonctions méromorphes et notion de diviseur sur une surface de Riemann
- Equivalence linéaire de diviseurs
- Diviseurs d’intersection, degré d’une courbe projective lisse, Théorème de Bézout
- Problèmes de Mittag-Leffler et H1(D)
- Théorème de Riemann-Roch, Dualité de Serre
- Quelques applications de Riemann-Roch
Chapitre III: Analyse sur les surfaces de Riemann compactes
- Cohomologie de Cech, notion de faisceau, Lemme de Dolbeault, finitude cohomologique
- Suite exacte en cohomologie, Théorème de Dolbeault
- Nouvelle formulation de Riemann-Roch
- Dualité de Brill-Noether-Serre et conséquences
Selon le temps disponible et les intérêts exprimés par les participantes et participants au cours, des sujets spéciaux seront abordés, notamment sous forme d’exposés ou travaux personnels pour conclure ce cours d’introduction aux surfaces de Riemann.
In 1958, Milnor famously disproved the smooth Poincaré conjecture in higher dimensions by demonstrating the existence of exotic 7-spheres (i.e smooth manifolds that are homeomorphic, but not diffeomorphic to the 7-sphere). A few years later, Milnor and Kervaire showed that for any dimension n at least five, there are only finitely many exotic spheres of dimension n. Their work is a meeting point of many beautiful ideas in smooth and algebraic topology and this course will give the background necessary to understand Milnor and Kervaire's work and some of the subsequent developments.
Topics covered will include the h-cobordism theorem, surgery theory, the J-homomorphism and the theory of cobordisms. Other topics may be included depending on time and interest. Background in algebraic topology (homology and homotopy groups) is a prerequisite for this course. Knowledge of characteristic classes and differential topology (transversality and Morse theory) is desirable, but not essential.
Le fil directeur de ce cours est un concept central en géométrie kählérienne actuelle : la K-stabilité. Après un survol de la théorie "classique" des variétés kählériennes, on introduira cette notion, dérivée de la Théorie géométrique des invariants, en précisant les motivations de Yau, Tian et Donaldson à la faire émerger, eu égard, notamment, au problème de Calabi, et on dressera un panorama (le plus complet possible) de l'état de la recherche dans ce domaine.