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There are increasingly important links between the study of discrete structures on the one hand and classical mathematics such as algebra, analysis, geometry and number theory on the other. The exploration of these deeper interactions is mutually beneficial to both areas as new problems and insights are developed. This work will have important applications in areas such as computer science, physics, computational geometry, computational biology, operations research and cryptography.
Modern computational tools play an important role in this program. In particular, the use and development of algorithms and software for algebraic computation are an important aspect of the program.
Research interests of the members of the group include: enumerative and algebraic combinatorics, commutative and non-commutative algebra, theoretic computer science, the combinatorics of words, and computational biology.
Researchers in this group are afficilated with two research groups:
This program is designed for strong graduate students with an interest in discrete mathematics and/or some theoretical aspects of computer science. There are no formal programme requirements beyond the departmental requirements. However basic courses in combinatorics, graph theory and algorithms are highly recommended.
Ensembles partiellement ordonnés (« posets »); complexes simpliciaux associés aux posets; posets associés aux polytopes; treillis (distributifs, modulaires, semimodulaires, géométriques). Propriétés de Sperner; théorèmes de Dilworth et de Greene. Aspects combinatoires de la topologie algébrique (« la topologie des posets »). Polytopes et la théorie de Ehrhart.
Lemme de Zorn. Catégories et foncteurs: notions et exemples de base: catégories de structures mathématiques, monoïde, catégorie des ensembles; section, rétraction, exemples géométriques et algébriques. Foncteurs et transformations naturelles: exemples de base, catégories de foncteurs. Équivalence de catégories: exemples de base. Modules. Théorèmes d'homomorphisme et d'isomorphisme. Sommes et produits directs, modules libres. Modules de type fini sur un anneau principal et applications aux formes canoniques des matrices. Modules noethériens et artiniens: exemples et propriétés de base. Modules indécomposables, théorème de Krull-Schmidt. Anneaux et polynômes: nilradical et localisation; élimination classique, ensembles algébriques, théorème des zéros de Hilbert. Théorie des corps: groupe de Galois, résolution par radicaux; indépendance algébrique, degré de transcendance, dimension des ensembles algébriques irréductibles; corps ordonnables, 17<+>e<+> problème de Hilbert.
Cette théorie est au carrefour de l'algèbre non commutative et de la théroie des automates finis.
Séries rationnelles et séries reconnaissables. Théorème de Schützenberger. Représentations linéaires minimales des séries rationneles à coefficients dans un corps. Liens avec la théorie des automates et des langages, théorème de Kleene. Théorie des expressions rationnelles. Liens avec les suites k-régulières et les suites automatiques. Séries rationnelles d'une variable et suites satisfaisant une récurrence linéaire. Extension du semi-anneau de coefficients. Séries rationnelles à coefficients positifs. Algèbres syntaxiques semi-simples. Liens avec le problème de Burnside des matrices et semi-anneau tropical.
L’objectif du cours est de présenter les structures discrètes standards et les principales méthodes d’énumération. Les sujets suivants seront présentés :
Modules; suites exactes; complexes de chaînes; homologie d'un complexe de chaînes; homologie simpliciale et singulière; cohomologie; formule des coefficients universels; foncteurs Tor et Ext; formule de Künneth; anneau de cohomologie singulière.
Modules; exact sequences; chain complexes; homology of a chain complex; simplicial and singular homology; cohomology; universal coefficient theorems; Tor and Ext functors; the Künneth formula; the ring structure on singular cohomology.
La théorie de la représentation des groupes et une théorie algébrique dont les ramifications s’étendent à de très nombreux domaines des mathématiques ainsi qu’à la Physique te à la Chimie. L’apprentissage de cette théorie permettra entre autre à l’étudiant d’appréhender d’autres théories algébriques de la représentation.
Descripteur : Représentations linéraires des groupes finis. Sous-représentations, théorème de Mashke; représentations irréductibles. Théorie des caractères. Décomposition en composantes isotypiques. Produits tensoriels; représentation induites. Représentations linéaires des groupes compacts. Exemples: groupes cycliques, diédraux, symétriques: tores, groupes de rotations.
Le contenu du cours sera en partie précisé suivant les intérêts des étudiants. Les grandes lignes sont les suivantes :