Algèbre et théorie des nombres

Description du programme

L'étude du groupe de Galois du corps des nombres algébriques est un sujet de grand intérêt pour les chercheurs dans ce programme. Afin d'étudier ce groupe, on utilise ses représentations dans d'autres objets algébriques, géométriques ou analytiques. Cela amène des liens avec des groupes algébriques, des variétés analytiques (réelles, complexes ou p-adiques) et la théorie de Lie. Ces relations sont subtiles et, pour progresser dans la théorie des nombres, il faut en avoir une connaissance plus approfondie. Par exemple, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, selon laquelle toutes les courbes elliptiques définies sur le corps des nombres rationnels sont modulaires, implique le dernier théorème de Fermat.

Depuis quelques années, en raison de la disponibilité d'ordinateurs puissants et de logiciels tels que MAPLE, CAYLEY et PARI, des calculs de grande échelle se sont avérés très importants dans la vérification et la formulation des conjectures. Le calcul algébrique est en pleine évolution grâce au développement d'algorithmes plus rapides pour faire les calculs.

Les établissements membres de l'Institut regroupent un grand nombre de chercheurs en théorie des nombres, courbes elliptiques, géométrie arithmétique, groupes algébriques, théorie des groupes et algèbres de Lie, algèbre commutative, théorie des représentations des groupes et algèbres de Lie, théorie de Galois, groupes profinis et calcul algébrique, théorie des représentations des algèbres associatives, algèbre homologique et catégorique, théorie des anneaux et des modules.

Plusieurs membres du regroupement font partie du Centre interuniversitaire en calcul mathématique algébrique (CICMA), un centre de recherche interuniversitaire qui organise beaucoup d'événements scientiques.

Membres du programme

Formation

Ce programme s'adresse aux étudiants gradués ayant une solide formation en algèbre, en théorie des groupes, en théorie des nombres (algébriques et/ou analytiques) ainsi qu'en géométrie algébrique. Les professeurs associés au programme s'intéressent à la fois aux aspects théoriques et informatiques de ces thèmes de recherche.

Il n'y a pas de prérequis spécifiques autres que ceux exigés par chaque département. Cependant les recommandations suivantes devraient être suivies et les cours devraient être choisis en consultation avec un professeur appartenant au groupe responsable du programme.

Tous les étudiants devraient maîtriser les bases de l'algèbre en suivant les cours adéquats d'introduction (théorie des groupes, algèbre commutative, groupes de Galois, théorie des nombres) dans l'un ou l'autre des établissements membres de l'Institut.

Les étudiants devraient par la suite suivre des cours plus spécialisés dans leur champ d’intérêt et/ou dans un domaine complémentaire.

Les étudiants sont encouragés à participer à des séminaires avancés et à suivre des cours dans leur domaine de recherche.

Cours 2018-19

Automne

Elliptic Curves

This course will cover the basic theory of elliptic curves and algebraic curves. The prerequisites for this course is the standard background in abstract algebra (groups, rings, field extensions, Galois theory etc). A first course in algebraic number theory is recommended, but not mandatory. The course is open to all graduate students, either at the master or the Ph.D. level.

Recommended Textbook: J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves.

Prof. Chantal David

MAST 699/2 E / 833/2

Institution: Concordia University

Introduction to Class Field Theory

The course will describe the statement and proofs of the main results of class field theory, both local and global, following the treatment given in the textbook of Cassels-Frolich, which shall be followed fairly closely.

Prof. Henri Darmon

MATH

Institution: Université McGill

Théorie algébrique des nombres

Les sujets traités comprennent:

  • Nombres et entiers algébriques
  • Unités
  • Norme, trace, discriminant et ramification
  • Base intégrale
  • Corps quadratiques, cyclotomiques
  • Groupes de classes
  • Décomposition en idéaux premiers
  • Équations diophantiennes.

Prof. Matilde Lalin

MAT 6617

Institution: Université de Montréal

Méthodes de crible et applications

Ceci est un cours d'introduction aux méthodes de crible et à leurs applications. Après avoir passé en revue quelques éléments de base dans la théorie probabiliste des nombres, nous présenterons et étudierons les principaux objets de la théorie des cribles. En particulier, nous allons développer le crible combinatoire et le crible de Selberg et les utiliser pour prouver diverses estimations sur les nombres premiers. Nous utiliserons ensuite la théorie des cribles pour étudier les fonctions L et établir le théorème de Linnik. La preuve de ce résultat fournit un point d'entrée naturel à la théorie des estimations de sommes bilinéaires et au développement du grand crible. Comme application de ce cercle d'idées, nous allons démontrer le théorème de Bombieri-Vinogradov. Le cours se terminera par une discussion des récents développements spectaculaires sur les écarts bornés et les grands entre les nombres premiers.

Prof. Dimitris Koukoulopoulos

MAT6684V

Institution: Université de Montréal

Hiver

Topics in Algebra & Number Theory: Elliptic Curves II

This course will cover advanced topics in the theory of elliptic curves. It is intended as a continuation of the course “Elliptic Curves” to be taught by Prof. David in the Fall at Concordia University. Although it is not required to take David’s course, I will assume that students know the material covered in David’s course. The exact selection of topics will be determined once a more precise syllabus for David’s course becomes available, but they will mostly be chosen from Silverman’s books on elliptic curves.

Prof. Eyal Goren

MATH 596

Institution: Université McGill

La distribution des nombres premiers

The goal of this course is to give a complete proof of the prime number theorem, a proof that will help the student appreciate many of the important theorems in the subject. We will review in detail the motivation for the prime number theorem (and other conjectures and theorems about prime numbers), and focus on the background needed in both number theory and analysis (so that students feel comfortable with the techniques used). Then we will prove the prime number theorem and begin to appreciate the importance of the Riemann Hypothesis.  Having gone slowly over this we will be ready to use these ideas in many different directions. Our only scheduled goal will be to prove Dirichlet's theorem, that there are infinitely many primes in each reduced residue class a mod q, though we will at least sketch how to estimate how many primes like in each such class.  Moreover, if things go well, we will apply these ideas to primes in short intervals, in short arithmetic progressions, study least quadratic non-residues, ....

Tues and Thurs 10:30-12:30 in room 5183

Prof. Andrew Granville

MAT6627

Institution: Université de Montréal

Analyse p-adique et groupe de Lie p-adique

Les sujets traités comprennent: Nombres p-adiques, corps p-adiques, topologie p-adique, théorie d'évaluation, théorie de ramification, groupe pro-fini, groupe pro-p, p-groupe puissant, groupe uniformément puissant, structure de Lie sur des groupes pro-p, algèbre d'Iwasawa, théorème de structure sur les modules d'Iwasawa.

Prof. Antonio Lei

MAT 7390

Institution: Université Laval

Algèbre: sujets spéciaux (Algèbres et modules)

Algèbres et morphismes, modules sur une algèbre, morphismes et suites exactes, modules de morphismes. Catégorie de modules, produits et sommes directs, équivalence de catégories. Foncteurs Hom, exactitude de foncteurs, modules projectifs et injectifs. Produits tensoriels de modules, théorèmes de Watts, algèbre tensorielle et extérieure. Algèbres des chemins d'un carquois. Modules artiniens et noethériens, suite de composition, théorème de Jordan-Hölder. Radicaux de modules, socle et coiffe.

Sources principales

• I Assem, Algèbres et modules, Masson et Les presses de l'Université d'Ottawa (1997).
• I Assem, D Simson, A Skowronski, Elements of the representation theory of associative algebras, Cambridge University Press (2006).

Prof. Yvan Saint-Aubin

MAT6681Q

Institution: Université de Montréal