# Actuarial and Financial Mathematics

Source: Luis Villa del Campo, Times Square - NASDAQ

## Program Description

Actuarial and financial mathematics are mathematics applied to insurance and finance problems. The group concentrates its activites on the development and use of probabilistic and statistical methods to analyze problems with a financial impact on society. The promotion of graduate studies in actuarial and financial mathematics is also at the heart of the mission of the group.

The research interests, and therefore also teaching interests, of the members are generally in the area of property and casualty insurance and actuarial statistics, actuarial finance and financial mathematics, as well as the mathematics of risk and ruin theory. In particular:

• ratemaking and loss reserving for property and casualty insurance
• solvency of financial institutions
• financial and actuarial innovation in insurance: pricing and hedging for variable annuities and equity-linked insurance products
• impact of natural catastrophes, climate change and other extreme risks
• dependence models
• risk measures
• claims frequency and severity models
• stochastic control of risk processes and stochastic optimization
• Big Data in insurance

## 2017-18 Course Listings

### Credibility Theory

The course presents an introduction to statistical estimation techniques for insurance data.

Two classical approaches to credibility theory are discussed: limited fluctuations and greatest accuracy. Topics covered include American, Bayesian and exact credibility. Bühlmann, Bühlmann-Straub, hierarchical and regression credibility models are derived. Generalized linear models and the issue of robustness will also be discussed.

Text:   Loss Models, From Data to Decision, by S.A. Klugman, H.H Panjer, and G. E. Willmot, Wiley, 4th Edition, 2012 (or the 3rd Edition, 2008).

Other References: A Course in Credibility Theory and its Applications, by H. Bühlmann and A. Gisler, Springer Universitext, 2005.

The course prepares for the Credibility part of the Society of Actuaries Exam C and the Casualty Actuarial Society Exam 4. It also covers more advanced material, as needed to use modern credibility with real insurance data.

### Mathematical and Computational Finance II

This course focuses on computational aspects, implementation, continuous-time models, and advanced topics in Mathematical and Computational Finance.  We shall cover the following topics (time permitting):

• Calibration and implementation
• Brownian motion and stochastic calculus
• Elements of continuous time finance
• PDE methods
• Monte-Carlo methods
• Exotic derivatives
• Risk management
• Other topics

### Calcul numérique en ingénierie financière

Le but de ce cours est de couvrir les différentes méthodes de calcul numérique utilisées en ingénierie financière. Bien qu'une part théorique soit utile et nécessaire, l'emphase est sur la recherche de solutions pratiques aux problèmes, à travers des routines programmées soi-même ou à travers l'utilisation judicieuse de logiciels. On cherchera toujours une compréhension suffisante de la théorie pour pouvoir appliquer intelligemment les routines existantes, en les adaptant aux besoins d'applications particulières.
On traitera principalement des domaines de l'optimisation et de la résolution numérique des équations aux dérivées partielles, mais on discutera aussi de la résolution de systèmes d'équations, d'approximation de fonctions et d'intégration numérique.

### Numerical Methods in Finance

The course is designed for the study of numerical methods in finance, with an emphasis on numerical methods for the pricing of contingent claims. The reading material covers earlier developments as well as current research issues such as quasi random numbers, Markov chain approximations, finite elements and Monte Carlo methods for the pricing of American securities. Some of the material will be presented in class by the instructors. However, the course will generally involve presentations and discussions of the assigned readings by the students.
The course will be taught in both languages (French and English).

### Calcul stochastique I - automne

Le cours est basé sur l'étude des principaux outils de la théorie de la probabilité qui sont utilisés en finance et en ingénierie financière. Bien que les applications soient liées à ces domaines et que de nombreux exemples seront étudiés en classe et lors des travaux, c'est un cours de mathématiques, ce qui implique la démonstration des résultats. Le principal objectif de ce cours est de rendre l'étudiant à l'aise avec les concepts mathématiques qu'il doit couramment employer en ingénierie financière : processus de diffusion, mesure neutre au risque, la structure de l'information, les martingales, etc.

Le cours est divisé en deux principaux blocs : le premier concernant les modèles à temps discret et le second traitant des modèles à temps continu. Chacune de ces parties est à nouveau subdivisée : une section plus théorique où l'on introduit les concepts mathématiques et une deuxième section dans laquelle ses outils mathématiques sont utilisés.

### Calcul stochastique II

Le principal objectif de ce second cours de calcul stochastique est d'étudier le calcul stochastique en présence de sauts en se concentrant sur les processus qui sont généralement impliqués en ingénierie financière.

### Méthodes statistiques en ingénierie financière

La complexité des modèles utilisés en ingénierie financière rend nécessaire l'utilisation de méthodes statistiques avancées. Dès qu'un modèle doit être mis en application, l'un des premiers problèmes rencontrés est l'estimation des paramètres du modèle. Se pose ensuite la question de la précision des estimations et de son influence sur les étapes subséquentes de l'implantation.

Le cours présente les outils statistiques permettant l'utilisation et l'implantation de modèles dans plusieurs aspects de l'ingénierie financière : évaluation d'options, risque de crédit, réplication de fonds de couverture, etc. Nous couvrirons les méthodes d'estimation (maixmum de vraisemblance, méthode de moments, estimation non-paramétrique, transformation de données), leur précision (intervalles de confiance, information de Fisher, rééchantillonnnage, méthode delta, quantiles), et ce dans le cadre de processus stochastiques couramment utilisés en ingénierie financière (mouvement brownien géométrique, processus avec sauts, modèles à volatilité aléatoire, modèles avec changement de régme, etc.) Nous verrons aussi l'estimation et l'ajustement de modèles de dépendance pour plusieurs facteurs de risque, ainsi que les méthodes de filtrage, permettant d'estimer les paramètres des modèles dont certaines des composantes ne sont pas observables, tel le bénéfice de détention, etc.

### Analyse mathématique du risque

Mesure mathématique des risques financiers. Notion de valeur à risque. Utilisation des mesures de risque. Limitations des mesures connues et développement récents. Modèles stochastiques des réserves. Théorie de la ruine.

### Levy Processes

This course gives a brief introduction of fluctuation theory for spectrally negative Levy processes. It covers  topics including Levy-Khintchine formula, Wiener-Hopf factorization and exit problems for spectrally negative Levy processes. Some applications in risk theory will be discussed. The lectures are  based on Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications and Gerber-Shiu Risk Theory both authored by Andreas Kyprianou.

### Risk Theory

Risk theory forms the core part of Property-Casualty Insurance mathematics. The course gives an introduction to classical models and applies them to some common problems of interest in risk theory. The emphasis is on the probabilistic aspects (stochastic processes) although some estimation (inference) questions will also be discussed.  The topics include (but are not limited to) aggregate risk models, homogeneous and non-homogeneous discrete-time Markov chain models, Poisson processes, coinsurance, effects of inflation on losses, risk measures (VaR, TVaR). The course prepares for the Risk Theory portion of Exams C of the Society of Actuaries and Exam 4 of the Casualty Actuarial Society.

### Loss Distributions

The problem of fitting probability distributions to loss data is studied. In practice, heavy tailed distributions are used which require some special inferential methods. The problems of point and interval estimation, test of hypotheses and goodness of fit are studied in detail under a variety of inferential procedures and of sampling designs. The course also covers more advanced material, as needed to use modern loss models with real insurance data.

The course prepares for the Loss Models part of the Society of Actuaries Exam C and the Casualty Actuarial Society Exam 4. It also covers more advanced material, as needed to use modern statistics, such as GLMs with real insurance data.

### Simulation Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est une technique numérique largement utilisée permettant de solutionner des problèmes généralement trop complexes pour qu'une solution analytique soit disponible. En ingénierie financière, elle est utilisée comme outil pour tarifer des produits dérivés, évaluer la distribution de la valeur d'un portefeuille comportant divers instruments, calculer des mesures de risque, etc.

Dans ce cours, nous aborderons les fondements mathématiques de cette méthode et nous l'appliquerons à des problèmes d'ingénierie financière. Comme certains problèmes sont complexes et nécessitent un effort de programmation important, certains cours seront substitués à des périodes en laboratoire où les étudiants pourront mettre en oeuvre la théorie vue en classe.

Le langage de programmation utilisé est Matlab.

### Stochastic Calculus I

This course covers the main tools of probability theory that are used in finance and financial engineering.  Besides the theoretical concepts and proofs, many applications in finance are presented rigorously.  The first half of the course is in discrete time, while the second half is about continuous time models.  For each of these two parts, there is a theoretical component in which the basic concepts such as martingales, stochastic integrals and diffusion processes are introduced and a more applied segment where the mathematical tools are applied to financial problems.

### Statistique en actuariat

Ce cours vise à permettre à l'étudiant de:

•  Savoir analyser l'impact des facteurs exogènes et endogènes sur les risques par des modèles de prévision avancés;
•  Utiliser les outils statistiques afin de segmenter les risques en assurance;
•  Calculer la prime d'assurance a priori et a posteriori;
•  Utiliser les outils informatiques avancés en actuariat (SAS, R, MATLAB, C++).

Ce cours vise à introduire les notions de segmentation des risques de la tarification en assurance, en utilisant divers outils statistiques. Les modèles de prévision pour le nombre et le coût des réclamations seront abordés afin d'inclure les caractéristiques du risque dans le calcul de la prime. La notion d'hétérogénéité en assurance et sa modélisation mathématique seront abordées, de même que les modèles hiérarchiques ou données longitudinales en assurance et en finance.

### Méthodes stochastiques en finance II

Dans le cadre du cours, nous aborderons les sujets suivants:
- Options exotiques et américaines;
- Produits d'assurance liés aux marchés financiers (fonds distincts ou variable annuities);
- Modèles financiers à temps discret (GARCH, changements d'états, volatilité stochastique);
- Techniques de filtrage;
- Modèles financiers à temps continu (Heston, sauts, combinaison des deux);
- Modèles pour le taux d’intérêt (taux court, taux à terme);
Les travaux pratiques aborderont également les méthodes numériques liées à ces contrats et modèles.
Préalables : Un cours de calcul stochastique de niveau maitrise, habilités de programmation (MATLAB, R, C/C++, etc.)

### Finance mathématique

Cours d'introduction à la finance mathématique de niveau intermédiaire. Le but de ce cours est de donner une perspective large de la théorie moderne des finances mathématiques en se concentrant sur le problème de l'évaluation et de la couverture des produits dérivés. Nous étudierons les notions de base de la théorie de l'arbitrage en temps discret et continu. Dans le cadre discret, nous analyserons formellement les aspects théoriques qui permettent le développement des principales formules d'évaluation des produits dérivés. Nous dériverons en particulier la formule Black-Scholes comme un cas limite. L'étude de la théorie en temps continu se concentrera sur les modèles de diffusion. A l'aide de ces outils, nous étudierons les principaux modèles de taux d'intérêt et leurs applications dans l'évaluation des produits dérivés. Ce cours couvrira de façon générale des sujets tels que : Modèles binomiaux, théorèmes fondamentaux, marchés complets et incomplets, formules Black-Scholes, modèles de diffusion, lemme d'Itô, des modèles de taux d'intérêt et du marché des obligations.

### Méthodes d'inférence pour les modèles à chaîne de Markov cachée

Modèles à chaîne de Markov cachée (hidden Markov models), modèles à changement de régimes (regime-switching models), modèles à espace d’état (state space models),  méthodes d’inférence, techniques de filtrage et de lissage, filtre d’Hamilton,  filtre de Kalman, filtre particulaire, méthodes de Monte Carlo séquentielles, algorithme espérance-maximisation, applications actuarielles et financières,  utilisation d’un logiciel informatique (ex.: R ou MATLAB)