École découverte de l’ISM : La Géométrie et la combinatoire des variétés de Hessenberg

6 au 10 juin 2022

Des développements relativement nouveaux relient la géométrie des variétés de Hessenberg et des fonctions symétriques et leur combinatoire associée. Ils ont montré que la géométrie (équivariante) et la topologie des variétés de Hessenberg sont intimement liées à un problème profond non résolu dans la théorie des fonctions symétriques (et quasi-symétriques) appelé la conjecture de Stanley-Stembridge.

Le sujet des variétés de Hessenberg se situe à l’intersection fructueuse de la géométrie algébrique, de la combinatoire et de la théorie des représentations géométriques. Une contribution fondamentale dans ce domaine, il y a plus de dix ans, a été la construction par Julianna Tymoczko d’une action du groupe symétrique sur les anneaux de cohomologie des variétés de Hessenberg semi-simples régulières. L’action de Tymoczko a fourni le premier lien entre les variétés de Hessenberg et les fonctions symétriques, car les représentations des groupes symétriques donnent lieu à des fonctions symétriques via la carte caractéristique de Frobenius.

Le second lien a été développé via la notion de fonction symétrique chromatique d’un graphe, introduite par Richard Stanley en 1995 comme une généralisation du polynôme chromatique classique d’un graphe. La conjecture de Stanley-Stembridge concerne la structure des fonctions symétriques chromatiques d’une famille spéciale de graphes ; elle affirme que les fonctions symétriques chromatiques de ces graphes sont des combinaisons linéaires non négatives de fonctions symétriques élémentaires. Cette conjecture est encore ouverte.

Une relation étroite entre les fonctions symétriques chromatiques et les variétés de Hessenberg a été découverte par John Shareshian et Michelle Wachs, qui ont associé un graphe à chaque variété régulière semi-simple de Hessenberg et formulé une conjecture reliant la fonction symétrique chromatique du graphe à la fonction symétrique associée à la variété de Hessenberg via l’action de Tymoczko. Leur conjecture a depuis été prouvée, et il y a lieu d’espérer que d’autres progrès sur la conjecture de Stanley-Stembridge pourront être réalisés en comprenant mieux la relation entre ces deux domaines.

L’école d’été est destinée aux étudiants aux cycles supérieurs spécialisés en géométrie ou en combinatoire, et l’objectif est d’introduire les théories des variétés de Hessenberg et des fonctions symétriques de manière à ce qu’un étudiant puisse avoir accès aux développements passionnants qui lient ces domaines.