École découverte de l’ISM:
Avancées en Combinatoire Géométrique et en Théorie des Représentations : Polytopes de Flux, Algèbres Aimables et Posets associés

La combinatoire géométrique et la théorie des représentations sont deux domaines importants des mathématiques qui sont de plus en plus étroitement liés. Cette école d’été mettra en lumière les nouveaux développements reliant la théorie des représentations des algèbres aimables et la géométrie et la combinatoire des polytopes de flux et des permutrees avec des mini-cours dans ces sujets, suivis d’un atelier d’une journée et demie.

Les mini-cours s’adressent aux étudiants de troisième cycle spécialisés dans la théorie des représentations ou en combinatoire. L’objectif de l’atelier est d’aider les participants à se familiariser rapidement avec les aspects du sujet avec lesquels ils sont moins familiers, afin que toutes et tous soient en mesure d’apprécier les problèmes et les directions de recherche discutés lors de l’atelier.

De l’aide financière sera disponible pour couvrir une partie des frais de déplacement des étudiant.e.s venant de l’extérieur de Montréal. Pour postuler, veuillez envoyer un CV et une lettre de recommandation avant le 1^er avril à haedrich.alexandra@uqam.ca.

Veuillez noter que les inscriptions sont désormais fermées et que toute nouvelle inscription sera placée sur notre liste d’attente.

Description

La motivation de l’école d’été est que les triangulations des polytopes de flux des graphes sont profondément liées aux ordres partiels provenant à la fois des algèbres aimables et du modèle unifié des permutrees. Ces liens éclairent des problèmes non résolus dans ces domaines, tels que le calcul du h^*-polynôme des polytopes de flux, la caractérisation des posets de tau-tilting des algèbres aimables et la réalisation géométrique de tous les permutrees.

Un flux dans un graphe orienté acyclique G est un étiquettage de chaque arête par un nombre réel non négatif de sorte que la somme des poids entrants soit égale à la somme des poids sortants à chaque sommet interne. Le polytope de flux F_G est constitué des flux de G pour lesquels le flux total sortant des sommets sources est égal à 1. Les points de réseau de F_G présentent un intérêt en théorie des représentations car ils sont liés à la fonction de partition vectorielle de Kostant. De manière surprenante, le volume de F_G est lié au nombre de flux entiers d’un polytope de flux apparenté.

En 2012, motivés par les algèbres amassées, Danilov–Karzanov–Koshevoy (DKK) ont introduit une famille de triangulations unimodulaires régulières de F_G qui dépendent d’un ordre des arêtes entrantes et sortantes du graphe G. Les graphes duaux de ces triangulations comprennent des réalisations géométriques de posets qui sont fondamentales en combinatoire ; par exemple, ils ont été utilisés pour réaliser des posets qui généralisent l’associaèdre et le permutaèdre. Des questions restent ouvertes sur la structure de poset de ces graphes duaux et sur la manière de calculer les h*-polynômes des polytopes de flux.

Les algèbres aimables sont des algèbres de dimension finie introduites par Assem et Skowroński en 1987 et qui bénéficient d’un regain d’intérêt en raison des aspects combinatoires de leurs catégories de modules et des liens avec la symétrie miroir homologique. Elles ont une riche combinatoire liée aux surfaces avec des points marqués et des complexes dites non-kissing. En 2022, von Bell–Braun–Bruegge–Haely–Peterson–Serhiyenko–Yip ont trouvé une connexion entre les triangulations DKK des polytopes de flux de certains graphes et les posets tau-tilting des algèbres aimables. Ce lien leur a permis, entre autres, de démontrer que le graphe dual de ces triangulations définit un treillis, ces polytopes de flux sont Gorenstein, et les h-polynômes de ces triangulations sont unimodaux.

Les permutrees sont une famille de posets introduite par Pilaud et Pons en 2016 pour unifier plusieurs posets importants — tels que les algèbres booléennes, l’ordre faible du groupe symétrique, le treillis de Tamari — dans un objet qui possède à la fois des informations géométriques et algébriques. Les arbres cambriens de Nathan Reading, liés à la combinatoire de Catalan-Coxeter, sont d’autres cas particuliers de permutations. Certains de ces posets sont connus pour être les graphes duaux de triangulations de polytopes de flux, et c’est un problème ouvert que de déterminer si tous les permutrees peuvent être réalisés comme des graphes duaux de triangulations de polytopes de flux.

Références:

[1] Welleda Baldoni and Michele Vergne. “Kostant partitions functions and flow polytopes”. In: Transform. Groups 13.3-4 (2008), pp. 447–469.issn:1083-4362.doi:10.1007/s00031-008-9019-8
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[2] Welleda Baldoni-Silva, Jesus A. De Loera, and Michele Vergne. “Counting integer flows in networks”. In: Found. Comput. Math. 4.3 (2004), pp. 277–314. issn: 1615-3375. doi:10.1007/s10208-003-0088-8
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[3] Matias von Bell et al. “A unifying framework for the ν-Tamari lattice and principal order ideals in Young’s lattice”. In:Combinatorica 43.3 (2023), pp. 479–504. issn: 0209-9683.doi:10.1007/s00493-023-00022-x
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[4] Matias von Bell et al. Triangulations of Flow Polytopes, Ample Framings, and Gentle Algebras. 2022.
arXiv: 2203.01896 [math.CO]

[5] Thomas Brustle et al. “On the combinatorics of gentle algebras”. In: Canad. J. Math. 72.6 (2020), pp. 1551–1580.issn: 0008-414X. doi:10.4153/s0008414x19000397.
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[6] Rafael S. González D’León et al. Realizing the s-permutahedron via flow polytopes. 2023.
arXiv:2307.03474 [math.CO]

[7] Vladimir I. Danilov, Alexander V. Karzanov, and Gleb A. Koshevoy. “Coherent fans in the space of flows in framed graphs”. In: 24th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2012). pp. 481–490.

[8] Karola Mészáros and Alejandro H. Morales. “Volumes and Ehrhart polynomials of flow poly-topes”. In: Math. Z. 293.3-4 (2019), pp. 1369–1401. issn: 0025-5874.doi:10.1007/s00209-019-02283-z.
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[9] Karola Mészáros, Alejandro H. Morales, and Jessica Striker. “On flow polytopes, order poly-topes, and certain faces of the alternating sign matrix polytope”. In: Discrete Comput. Geom.62.1 (2019), pp. 128–163. issn: 0179-5376.doi:10.1007/s00454-019-00073-2
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[10] Vincent Pilaud and Viviane Pons. “Permutrees”. In: Algebr. Comb. 1.2 (2018), pp. 173–224.doi:10.5802/alco,
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[11] Nathan Reading. “Cambrian lattices”. In: Adv. Math.205.2 (2006), pp. 313–353. issn: 0001-8708.doi:10.1016/j.aim.2005.07.010
https://doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.010

[12] Christian Stump, Hugh Thomas, and Nathan Williams. Cataland: Why the Fuss? 2018.
arXiv:1503.00710